数列与函数、不等式相结合

数列与函数、不等式相结合问题
一．方法综述
数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略
类型一 数列中的恒成立问题 【例1】已知等差数列
满足
，
，数列满足
，记数列
的前项和为，若对于任意的，
，不等式
恒成立，则实数的取值
范围为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【举一反三】已知数列的首项，其前项和为，且满足，
若对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 类型二 数列中的最值问题 【例2】已知数列满足，
，则使
的正整数的最小值是（ ） A ．2018
B ．2019
C ．2020
D ．2021 【举一反三】已知数列
，
的前项和分别为，，且
，
，
，若恒成立，则的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．49
D ．
类型三 数列性质的综合问题
{}n a 1a a =n n S ()2
142,n n S S n n n N -++=≥∈1,n n n N a a ++∈<a ()3,5()4,6[)3,5[)4,6
【例3】已知等差数列的前n 项和为，若1≤≤3，3≤≤6，则的取值范围是_______．
【举一反三】已知数列的首项为数列的前项和若恒成
立，则的最小值为______． 类型四 数列与函数的综合问题 【例4】已知函数
的定义域为，当
时，
，且对任意的实数，
，
恒成立，若数列
满足（）且，则下列结论成立
的是（ ） A ． B ． C ．
D ．
【举一反三】已知数列
中，
，若对于任意的
，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
类型五 数列与其他知识综合问题 【例5】将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和
．若，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. B. 不存在，使得
C. 对，且，都有
D. 以上说法都不对
【举一反三】1.如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数
的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，
12,,
,n a a a {}n a {}
n a n 12n n S a a a =++
+()*1,n n a a R n N λλ+=∈∈(
)111n
n a S λλ
-=
-*
n N
∈0n S =*
m n N ∀∈、m n ≠m n S S n n n n A B C D n n A B x ,n n C D ()1
(0)f x x x x
=+>n B ()(),02,n n n N +≥∈n n n n A B C D n a
则（ ）
A. 220
B. 216
C. 212
D. 208 类型六 数列与基本不等式结合的问题 【例7】已知正项等比数列
满足：
，若存在两项
使得
，则
的最小值为
A ．
B ．
C ．
D ．
【举一反三】已知函数，若
，则的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
三．强化训练 一、选择题
1．已知正项等比数列满足 ，若存在两项，，使得，则的最小值
为（ ） A ．
B ．
C ．3
D ．
2.已知数列的前项和为，，且满足，若，，则的最小值
为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．0
2310a a a +++
=
3.在正项等比数列中，，．则满足的最大正整数的值为（）
A．10 B．11 C．12 D．13
4.若数列的通项公式分别为，且，对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
5．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
6．已知等比数列的公比，其前n项的和为，则与的大小关系是
A．B．C．D．
7．已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为
A．16 B．9 C．5 D．4
二、填空题
8．已知数列的前项和.若是中的最大值，则实数的取值范围是_____．
9．已12．【重庆市南开中学2019届高三第三次检测】在正项递增等比数列中，，记
，，则使得成立的最大正整数为__________．
知数列的前项和为，，当时，，若恒成立，则正数的取值范围为____________．
10．已知数列的前项和为，若，则使成立的的最大值是_____．
11．在正项递增等比数列中，，记，，则使得
成立的最大正整数为__________．
12.已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，若对一切，
恒有，则m能取到的最大正整数是______．
13、设数列的前n项和为，，且，若，则n的最大值为______．。