实验三抽样定理与信号恢复

抽样定理与信号恢复
一、实验目的
1、验证抽样定理，进一步理解抽样过程。

2、掌握对频谱混叠现象的分析。

2、深入理解信号恢复的条件。

二、实验原理
1、离散信号不仅可从离散信号源获得，也可从连续信号抽样获得。

抽样信号()()()s x t x t P t =⋅，其中()x t 为连续信号（例如三角波），()P t 是周期为s T 的矩形窄脉冲。

s T 又称抽样间隔，s 1/s F T =称为抽样频率，()s x t 为抽样信号波形。

()x t 、()P t 、()s x t 波形如图1。

图1 连续信号抽样过程
2、连续周期信号经周期矩形脉冲抽样后，抽样信号的频谱
()(j )S ()j ω2
s s a s m m t A X X m T ωτωω+∞
=-∞=⋅-⎡⎤⎣⎦∑ 它包含了原信号频谱以及重复周期为s f （2s s f ω
π
=）、幅度按S ()2s a m A T ωττ规律变化的原信号
频谱，即抽样信号的频谱是原信号频谱的周期性延拓。

因此，抽样信号占有的频带比原信号频带宽得多。

以三角波被矩形脉冲抽样为例。

三角波的频谱：
1124X j ()()k k k E A k k k ωπσωωσωωπ∞
∞
=-∞
=-∞=-=-∑∑()
抽样信号的频谱：
121
(j )4()()2s s a
s k m m A X E S k m T k
ωττωσωωωπ∞
=-∞=-∞
=∙--∑ 取三角波的有效带宽为13ω，其抽样信号频谱如图2所示。

11
11
111s
1s
（a ）三角波频谱 （b ）抽样信号频谱
图2 抽样信号频谱图
3、抽样信号在一定条件下可以恢复出原信号，其条件是2s f f B ≥，其中
s f 为抽样频率，
f B 为原信号占有频带宽度。

由于抽样信号频谱是原信号频谱的周期性延拓，因此，只要通
过一截止频率为c f （s m m c f f f f ≤≤-，m f 是原信号频谱中的最高频率）的低通滤波器就能恢复出原信号。

如果2s f f B <，则抽样信号的频谱将出现混迭，此时将无法通过低通滤波器获得原信号。

图3 实际低通滤波器在截止频率附近频率特性曲线
在实际信号中，仅含有限频率成分的信号是极少的，大多信号的频率成分是无限的，并且实际低通滤波器在截止频率附近频率特性曲线不够陡峭（如图3所示），若使2s f f B =，
c m f f f B ==，恢复出的信号难免有失真。

为了减小失真，应将抽样频率s f 取高（>2s f f B ），
低通滤波器满足s m m c f f f f <<-。

为了防止原信号的频带过宽而造成抽样后频谱混迭，实验中常采用前置低通滤波器滤除高频分量，如图3所示。

若实验中选用的原信号频带较窄，则不必设置前置低通滤波器。

三、实验设备
1、信号与系统实验箱一台
本实验采用了凌特公司生产的LTE-XH-03A 信号与系统综合实验箱。

该实验系统由9个模块组成（见图4）；本实验主要使用了其中的“信号源及频率计模块”S2以及“抽样定理及滤波器模块”S3（见图5）。

图4 实验箱整体架构
（a）“信号源及频率计模块”S2 （b）“抽样定理及滤波器模块”S3
图5 本实验使用到的模块
2、双踪示波器一台
本实验需要使用双踪示波器一台，主要用于观察和对比原始信号和抽样信号的波形，以及原始信号和恢复信号的波形。

四、实验内容
1、信号抽样：异步抽样
开关S2拨至“异步”，使得抽样频率分别为1KHz,2KHz,4KHz, 8KHz，分别观察和对比频率f=500Hz，幅度A=5V的正弦波原始信号和抽样信号的波形。

需要说明的是“异步”，为了贴近实际的信号抽样过程，被抽样信号的产生时钟与开关信号的产生时钟不是同一时钟源，并且抽样频率连续可调。

2、信号抽样：同步抽样
开关S2拨至“同步”，使得抽样频率分别为1KHz,2KHz,4KHz, 8KHz，分别观察和对比频率f=500Hz，幅度A=5V的正弦波原始信号和抽样信号的波形。

需要说明的是“同步”，为了便于试验操作时信号的观察，被抽样信号的产生时钟与开关信号的产生时钟是同一时钟源。

3、信号恢复：同步抽样信号的恢复
开关S2拨至“同步”，使得抽样频率分别为1KHz,2KHz,4KHz, 8KHz，分别观察和对比频率500Hz，2500Hz，幅度A=5V原始信号和恢复信号的波形。

五、实验步骤
1、产生频率f=500Hz，幅度A=5V的正弦波作为被抽信号
（1）将扫频开关S3拨至“OFF”档；
（2）按动波形切换开关S4，选择正弦波档；
（3）调节模拟输出幅度调节旋钮W1，使P2处输出正弦波幅度A=5V；
（4）调节频率调节旋钮ROL1,使P2处输出正弦波频率f=500Hz。

2、信号抽样：异步抽样
（1）连接模块S2中模拟信号源输出端P2与模块S3中连续信号输入端P17 ；
（2）开关S2拨至“异步”，用示波器对比观察模块S2中TP2处原始信号（示波器CH1）以及模块S3中TP20处抽样信号（示波器CH2）的波形；
（3）调整模块S3中电位器W1，使得抽样频率分别为1KHz,2KHz,4KHz, 8KHz，观察抽样信号的变化。

（4）记录实验数据和图形，填写表1。

表1 幅度A=5V，f=500Hz的正弦波的异步抽样实验记录
3、信号抽样：同步抽样
（1）保持模块S2中模拟信号源输出端P2与模块S3中连续信号输入端P17的连接；
（2）连接模块S2中时钟输出P5与模块S3上外部开关信号输入点P18；
（3）开关S2拨至“同步”，用示波器对比观察模块S2中TP2处原始信号（示波器CH1）以及模块S3中TP20处抽样信号（示波器CH2）的波形；
（4）调整模块S2中时钟频率设置按钮S7 ，使得抽样频率分别为1KHz,2KHz,4KHz, 8KHz，观察抽样信号的变化。

（5）记录实验数据和图形，填写表2。

表2 幅度A=5V，f=500Hz的正弦波的同步抽样实验记录
4、信号恢复：同步抽样信号的恢复
（1）保持“同步”，调整模块S2中时钟频率设置按钮S7，使得抽样频率为4KHz；
（2）连接模块S3中抽样信号输出端P20与低通滤波器输入端P19；
（3）用示波器对比观察模块S2中TP2处原始信号（示波器CH1）以及模块S3中TP22处恢复信号（示波器CH2）的波形；
（4）单独调节模块S2中频率调节旋钮ROL1，使P2处输出信号频率变为f=2.5KHz，
对比观察示波器中的原始信号和恢复信号波形的变化；
（5）调节模块S2中频率调节旋钮ROL1,使P2处输出正弦波频率f=500Hz；调整模块S2中时钟频率设置按钮S7，使得抽样频率分别为2KHz和1KHz,对比观察示波器中的原始信号和恢复信号波形的变化；
（6）调整模块S2中时钟频率设置按钮S7，使得抽样频率为8KHz,调节模块S2中频率调节旋钮ROL1,使P2处分别输出正弦波频率f=500Hz和2.5KHz，对比观察示波器中的原始信号和恢复信号波形的变化。

（7）记录实验数据和图形，填写表3、4。

原始信号：
（5）中抽样频率2KHz:
（5）中抽样频率1KHz:
表3 幅度A=5V，f=500Hz的正弦波的同步抽样和恢复实验记录表
表4 幅度A=5V，f=2500Hz的正弦波的同步抽样和恢复实验记录表
六、实验思考题
1、如何从抽样信号的时域波形判读抽样频率？
答：找到抽样信号的图形1轮廓，确定一个周期T，那么对应的抽样频率应该为F=1/T
2、异步抽样与同步抽样的不同点？
答：异步抽样所得的近似于原信号的离散信号列相对于原信号来说只保证了大概波形轮廓不变，但是其相位发生了变化，而同步抽样不仅保证了大概波形轮廓不变，而且对于相位没有发生改变。

3、对f=500Hz的正弦波进行抽样再恢复时，实际抽样频率要达到多少Hz
（1KHz？2KHz？4KHz？8KHz？）才不失真，为什么？
答：理论上1KHZ刚刚为临界不失真频率点，但实际不可能做到，受过渡带影响，所以应至少为2kHZ甚至4KHZ才能不失真。

4、理论上抽样信号只要通过一截止频率为fc（fm≤fc≤fs-fm，fm是原信号
频谱中的最高频率）的低通滤波器就能恢复出原信号，那么实际低通滤波器相比较理想低通滤波器来说，在无失真恢复原信号时还需要考虑哪些影响？
答：答：需要考虑实际低通滤波器的延迟带宽，以及信号的噪声，以及原信号的最高频率可能与理论值不符合。

七、心得体会
本次实验利用信号实验箱，验证了抽样定理与同步抽样信号的恢复。

此次实验，为我与姜荃合作完成，并共用数据。

在实验中，我们按照指导书以及教员PPT上的提示连接实验箱，最终完成了所有实验内容。

从记录的波形来看，信号抽样的实验十分成功，波形清晰，与理论符合较好。

在同步抽样信号的恢复实验中，由于未正确调整波形相对位置及比例大小，导致高频率抽样的恢复信号不是十分清晰，与原波形不是十分符合。

但从记录的峰峰值以及频率、周期可以看出，恢复情况良好。

通过此次实验，更直观的理解了抽样与信号恢复的过程。

在以后的实验中，我会更加注意细节，不仅做对实验，还要做好实验。