2021年高三第一次模拟考试 数学文 含答案

2021年高三第一次模拟考试数学文含答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）
1．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1）、（1，2）、（2，4）、（3，5），其回归方程为=bx+0.9，则b的值等于（）
A． 1.3 B．﹣1.3 C．1.4 D．﹣1.4
2．函数y=f（2e x），则导数y′=（）
A．2f′（2e x）B．2e x f′（x）C．2e x f′（e x）D．2e x f′（2e x）
3．已知点P的极坐标为（2，），那么过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）
A．ρsinθ= B．ρsinθ=2 C．ρcosθ= D．
ρcosθ=2
4．吉安市高二数学竞赛中有一道难题，在30分钟内，学生甲内解决它的概率为，学生乙能解决它的概率为，两人在30分钟内独立解决该题，该题得到解决的概率为（）A．B．C．D．
5．函数f（x）=3x﹣x3的单调递增区间是（）
A．[﹣1，1] B．[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1]
C．[1，+∞）及（﹣∞，﹣1] D．[﹣，]
6．xx年吉安市教育局实施“支教”活动，某县级中学有3位数学教师和6位语文教师到3所乡级中学开展“支教”活动，每所乡级中学分配1位数学教师和2位语文教师，不同的分配方案有（）
A．1080种B．540种C．270种D． 180种
7．从标有数字3，4，5，6，7的五张卡片中任取2张不同的卡片，事件A=“取到2张卡片上数字之和为偶数”，事件B=“取到的2张卡片上数字都为奇数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．
8．设x2+x7=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a6（x+1）6+a7（x+1）7，则a6=（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8
9．若关于x的方程x2+4x+|m﹣1|+2|m|=0（m∈R）有实根，则m的取值范围是（）A．m≥或m≤﹣1 B．﹣1≤m≤0 C．﹣1≤m≤ D．
0≤m≤
10．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[m，n]上的两个函数，若函数y=f（x）+g（x）在x∈[m，n]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[m，n]上是“相互函数”；若f（x）=﹣4lnx﹣5x与g（x）=x2+3x+a在区间[1，e]上是相互函数，则a的取值范围为（）A．[1，4ln2）B．[﹣e2+2e+4，4ln2）C．（4ln2，+∞）D．[1，﹣e2+2e+4]
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．设X，Y是两个离散型随机变量，X～B（4，），Y=2X﹣1，则离散型随机变量Y的数学期望EY=_________．
12．已知函数f（x）=2lnx+x2，若f（x2﹣1）≤1，则实数x的取值范围是_________．13．式子（+）n的展开式中第4项为常数项，且常数项为T，则：sinxdx=_________．14．已知函数f（x）=，则f（x）的值域为_________．
15．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：
①3是函数y=f（x）的极大值点；
②1是函数y=f（x）的极值点；
③当x＞3时，f（x）＞0恒成立；
④函数y=f（x）在x=﹣2处切线的斜率小于零；
⑤函数y=f（x）在区间（﹣2，3）上单调递减．
则正确命题的序号是_________（写出所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．（12分）（1）点P是椭圆+=1上的动点，求点P到直线4x+3y=12的最大距离；
（2）已知圆C的参数方程（α为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=m，且直线l与圆C相切，求实数m的值．
17．（12分）吉安市农业银行的一个办理储蓄的窗口，有一些储户办理业务，假设每位储户办理业务的所需时间相互独立，且该窗口办理业务不间断，对以往该窗口储户办理业务的所需时间统计结果如下：
1 2 3 4 5
办理业务所需
时间（分）
频率0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
从第一个储户办理业务时计时，
（1）求到第3分钟结束时办理了业务的储户都办完业务的概率；
（2）第三个储户办理业务恰好等待4分钟开始办理业务的概率．
18．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣4x+b，（a∈R，b∈R）
（1）若函数f（x）有最小值3，求f（1）+2a的最小值；
（2）若b=﹣4a，解关于x的不等式f（x）＞﹣8．
19．（12分）某校高二（1）班举行游戏中，有甲、乙两个盒子，这两个盒子中各装有大小、形状完全相同，但颜色不同的8个小球，其中甲盒子中装有6个红球、2个白球，乙盒子中装有7个黄球、1个黑球，现进行摸球游戏，游戏规则：从甲盒子中摸一个红球记4分，摸出一个白球记﹣1分；从乙盒子中摸出一个黄球记6分，摸出一个黑球记﹣2分．
（1）如果每次从甲盒子摸出一个球，记下颜色后再放回，求连续从甲盒子中摸出3个球所得总分（3次得分的总和）不少于5分的概率；
（2）设X（单位：分）为分别从甲、乙盒子中各摸一个球所获得的总分，求X的数学期望．
20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣2m）（nx+2）（m＞0，n＞0）为偶函数．
（1）若k≤f（2）+6m恒成立，求k的取值范围；
（2）当m=1时，若函数g（x）=（a﹣2）lnx+f（x）在区间（2，3）内不是单调函数，求实数a的取值范围．
21．（14分）设函数f（x）=e x（ax+b）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+2bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）若函数F（x）=f（x）+g（x）﹣2（e x+x），试判断函数F（x）的零点个数，并说明理由；
（3）若函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值为φ（t），解关于t的不等式φ（t）≤4e2．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．解：（1）由题意，设点P的坐标为（3cosθ，4sinθ），
则点P到直线4x+3y=12的距离是
d==；
当sin（θ+）=﹣1时，点P到直线4x+3y=12的最大距离为；
（2）圆C的标准方程是（x﹣1）2+y2=4，
直线l的直角坐标方程为2x+y=m；
∵直线l与圆C相切，
∴=2，
解得m=2±2；
∴实数m的值为2±2．
17．解：（1）记该事件为事件A，事件A包括①第一个储户办理业务所需时间为3分钟，②第一个储户办理业务所需时间为1分钟且第二个储户办理业务所需的时间为2分钟；
③第一个储户办理业务所需时间为2分钟且第二个储户办理业务所需的时间为1分钟；④连续3个储户业务均用了1分钟，
所以P（A）=0.3+2×0.2×0.3+0.23=0.428．
（2）记第三个储户办理业务恰好等待4分钟开始办理业务为事件B，第三个储户业务办理等待4分钟开始办理包括①第一个储户办理业务用了2分钟，且第二个储户办理业务用了2分钟
②第一个储户办理业务用了1分钟，且第二个储户办理业务用了3分钟，③第一个储户办理业务用了3分钟，且第二个储户办理业务用了1分钟，
则P（B）=0.3×0.3+2×0.2×0.3=0.21．
18．解：（1）函数f（x）有最小值3，
∴a＞0，=3，
∴b=+3，f（1）=a﹣4+b=a+﹣1，
∴f（1）+2a=3a+﹣1≥2﹣1=4﹣1．
即f（1）+2a的最小值为4﹣1．
（2）当b=﹣4a时，不等式f（x）＞﹣8，可化为ax2﹣4x﹣4a+8＞0，
①当a=0时，不等式即为﹣4x+8＞0，x＜2，
②当a＞0时，原不等式即为（x﹣2）[x﹣（﹣2）]＞0，
当a＞1时，x＞2或x＜﹣2，
当a=1时，x≠2，
当0＜a＜1时，x＞﹣2或x＜2，
③当a＜0时，原不等式即为（x﹣2）[x﹣（﹣2）]，即﹣2＜x＜2，
∴当a＜0时不等式的解集为（﹣2，2），
当a=0时，不等式的解集为（﹣∞，2），
当1＞a＞0时，原不等式解集为（﹣2，+∞）∪（﹣∞，2）
当a=1时，原不等式解集为（x|x≠2，x∈R}，
当a＞1时，原不等式解集为（2，+∞）∪（﹣∞，﹣2）
19．解：（1）设连续从甲盒子中摸出的3个球中，
红球有x个，则白球有3﹣x个，
由题意知4x﹣（3﹣x）≥5，
解得x≥，
∵x∈N*，且x≤3，∴x=2或x=3，
∴连续从甲盒子中摸出3个球所得总分（3次得分的总和）不少于5分的概率：p==．
（2）由题意知X可能取值分别为10，5，2，﹣3，
∵每次摸球相互独立，
∴P（X=10）==，
P（X=5）==，
P（X=2）==，
P（X=﹣1）==，
∴X的数学期望EX==．
20．解：（1）由已知得：f（x）=nx2+（2﹣2mn）x﹣4m，
又f（x）为偶函数，∴2﹣2mn=0，即mn=1，
∴f（2）=4n﹣4m，
∴f（2）+6m=4n+2m≥2=4，
又k≤f（2）+6m恒成立，
∴k≤[f（2）+6m]min=4，
∴k的范围是（﹣∞，4]；
（2）由（1）得：m=1时，n=1，
∴f（x）=x2﹣4，
∴g（x）=（a﹣2）lnx+x2﹣4，
∴g′（x）=，
①a≥2时，g′（x）＞0，则g（x）在（2，3）单调递增，
②a＜2时，g′（x）=，
又函数g（x）在区间（2，3）内不是单调函数，
∴2＜＜3，
∴﹣16＜a＜﹣6，
∴a的范围是（﹣16，﹣6）．
21．解：（1）∵f（x）=e x（ax+b），g（x）=x2+2bx+2
∴f′（x）=e x（ax+a+b），g′（x）=2x+2b，
由题意它们在x=0处有相同的切线，
∴f′（0）=a+b=g′（0）=2b，∴a=b，
f（0）=b=g（0）=2，∴a=b=2，
∴f（x）=2e x（x+1），g（x）=x2+4x+2．
（2）由题意F（x）=2xe x+x2+2x+2，
∴F′（x）=2（e x+1）（x+1），
由F′（x）＞0，得x＞﹣1；由F′（x）＜0，得x＜﹣1，
∴F（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上单调递减，
∴F（x）极小值=F（﹣1）=1﹣＞0，
∴函数F（x）的零点个数为0．
（3）f′（x）=2e x（x+2），由f′（x）＞0，得x＞﹣2，
由f′（x）＜0，得x＜﹣1，∴F（x）在（﹣2，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣2）单调调递减，
∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2．
①当﹣3＜t＜﹣2时，f（x）在（t，﹣2）单调递减，（﹣2，t+1）单调递增，
∴．
②当t≥﹣2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，
∴
∴φ（t）=，
当﹣3＜t＜﹣2时，φ（t）≤4e2，
当t≥﹣2时，φ（t）=2e t（t+1），
当﹣2≤t≤﹣1时，φ（t）≤4e2，
当t＞﹣1时，φ（t）=2e t（t+1）是增函数，又φ（2）=6e2，
∴﹣1＜t≤2，
∴不等式φ（t）≤4e2的解集为（﹣3，2]．
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