人教版高三数学下学期多选题单元 期末复习自检题检测试卷

一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足()01
()12
f x f x +=-=0，且()f x 在
()00,1x x +上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（
）
A ．01()12
f x +=- B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．()f x 的最小正周期为3
D ．()f x 在()0,303上的零点个数最少为202
个 【答案】AC 【分析】
由题意知()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，有01()12f x +=-且23
π
ω=
，进而可判断A 、B 、C 的正误，又[0,303]上共有101个周期，最多有203个零点，最少有202个零点，进而可知()0,303零点个数最少个数，即知D 的正误. 【详解】
由()01
()12
f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，
∴()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，即01()12
f x +=-，
002(1)()3
x x πωϕωϕω++-+==
， ∴()f x 的最小正周期为23T π
ω
=
=，故A 、C 正确，B 错误；
在[0,303]上共有101个周期，若每个周期有两个零点时，共有202个零点，此时区间端点不为零点；若每个周期有三个零点时，共有203个零点，此时区间端点为零点； ∴()0,303上零点个数最少为201个，即每个周期有三个零点时，去掉区间的两个端点，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：由条件推出()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，可确定01()2
f x +及最小正周期，再由正弦函数的性质判断()0,303上零点个数，进而确定最少有多少个零点.
2．已知函数()
3
log,09
2sin,917 44
x x
f x
x x
ππ
⎧<<
⎪
=⎨⎛⎫
+≤≤
⎪
⎪
⎝⎭
⎩
，若()()()()
f a f b f c f d
===，且a b c d
<<<，则（）
A．1
ab=
B．26
c dπ
+=
C．abcd的取值范围是()
153,165
D．+++
a b c d的取值范围是
316
28,
9
⎛⎫
⎪
⎝⎭
【答案】ACD
【分析】
作出函数()
f x的图象，利用对数的运算性质可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】
由
3
log2
x≤可得
3
2log2
x
-≤≤，解得
1
9
9
x
≤≤.
作出函数()
f x的图象如下图所示：
由图象可得
1
19111517
9
a b c d
<<<<<<<<<，
由
33
log log
a b
=，可得
33
log log
a b
-=，即()
333
log log log0
a b ab
+==，得1
ab=，A选项正确；
令()
442
x
k k Z
πππ
π
+=+∈，解得()
41
x k k Z
=+∈，
当()
9,17
x∈时，令94117
k
<+<，解得24
k
<<，由于k Z
∈，3
k
∴=，
所以，函数[]
()
2sin9,17
44
x
y x
ππ
⎛⎫
=+∈
⎪
⎝⎭
的图象关于直线13
x=对称，
则点()(
),c f c 、()()
,d f d 关于直线13x =对称，可得26c d +=，B 选项错误；
()()()2
2613169153,165abcd c c c =-=--+∈，C 选项正确； 126a b c d a a
+++
=+
+，下面证明函数1
y x x =+在()0,1上为减函数，
任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，则
()12121212121111y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()121221121212
1x x x x x x x x x x x x ---=-+=， 1201x x <<<，则120x x -<，1201x x <<，所以，12y y >，
所以，函数1
y x x
=+
在()0,1上为减函数， 119a <<，则13162628,9a b c d a a ⎛
⎫+++=++∈ ⎪⎝
⎭，D 选项正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3．定义域和值域均为[]
,a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中
0a c b >>>，下列四个结论中正确有（ ）
A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解
B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解
C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解
D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解
【答案】ABD
【分析】
通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】
由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；
当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，
方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，
方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，2
0t =，3t b =，
方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；
对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】
思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；
（3）确定直线()1,2,3,
,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、
2a 、3a 、
、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a +++
+.
4．已知53a =，85b =，则（ ） A ．a b < B ．
11
2a b
+> C ．11a b a b
+
<+ D ．b a a a b b +<+
【答案】ABD 【分析】
根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确． 【详解】
解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，5
8log b =，
因为33
4443
553
3535log 3log 54
<⇒<⇒<=， 又由3
3
444
3
883
5858log 5log 84
>⇒>⇒>=
，所以a b <，选项A 正确； 35lo 01g a <=<，5
80log 1b <=<，则
11a >，11b >，所以11
2a b +>，选项B 正确；
因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，
1
1ab
>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+
-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以11
a b a b
+>+，故选项C 不正确； 由
1324a <<和3
14
b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．
5．已知函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对(),y f x x R =∈，当
12,(,0]x x ∈-∞时，
()()2121
0f x f x x x -<-成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒
成立，则a 的可能取值为（ ）
A ．
B ．1-
C ．1 D
【答案】BC 【分析】
由已知得函数()f x 是偶函数，在[0,)+∞上是单调增函数，将问题转化为2
|2||21|ax x <+对
任意的x ∈R 恒成立，由基本不等式可求得范围得选项． 【详解】
因为函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以函数()y f x =的图象关于直线
0x =（即y 轴）对称，所以函数()f x 是偶函数.
又12,(,0]x x ∈-∞时，
()()2121
0f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数.
且()()
2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，所以2
|2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成
立，
当0x =时，01<恒成立，当0x ≠时，2|21|11
|||||||||2|22x a x x x x x
+<
=+=+，
又因为1|||
|2x x +=≥
||2
x =
时，等号成立，
所以||a <
，因此a <<，
故选：BC. 【点睛】
方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或
()max 0f x ≤恒成立.
6．已知函数1(),f x x x =+
221
()g x x x
=+则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ⋅的最小值为2
【答案】BC 【分析】
利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】
2211()()f x g x x x x x
+=+
++ ()
22
221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-+
+-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错；
221
(1)()x x x
f x x
g x ⎛
⎫+
⋅+ ⎪⎝
⋅=⎭
()()22221
111()()f x x x x x
g x x x x x ⎛⎫⎛
⎫-+
⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭-⎝
∴-⋅-=⎭
()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅
()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对；
2211()()224f x g x x x x x +=+
++≥+=，当且仅当1
x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对；
221
(1)()x x x
f x x
g x ⎛
⎫+
⋅+ ⎪⎝
⋅=⎭
令1
t x x
=+
()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅=
[]232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t ->，得3t >
或3
t <- 2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增
∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错
故选：BC. 【点睛】
本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.
7．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=
B ．122x x e e e +>
C ．1221ln ln 0x x x x +<
D ．12x x >
【答案】ABC 【分析】
根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】
函数x
y e =与ln y x =互为反函数， 则x
y e =与ln y x =的图象关于y x =对称，
将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，
由直线2y x =-+分别与函数x
y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，
作出函数图像：
则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由
12
12
x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；
对于C ，将2y x =-+与x
y e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，
设()2x
f x e x =+-，且函数为单调递增函数，
()010210f =+-=-<，11
2211320222f e e ⎛⎫
=+-=-> ⎪⎝⎭
，
故函数的零点在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<，
12211221
1ln ln ln ln
x x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；
对于D ，由12122x x x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】
本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.
8．下列命题正确的是（ ）
A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-
B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分
不必要条件是1m <-．
C ．已知函数3
1()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫
=++
⎪-⎝⎭
，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1
()x g x x
+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8
【答案】BD 【分析】
根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定
D 正确，即可求解. 【详解】
对于A 中，幂函数2
1
()(1)m f x m x
--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，
当0m =时，函数1
()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在
(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；
对于B 中，若函数2
()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，
则满足(0)30f m =<，解得0m <，
所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确； 对于C 中，由函数31()sin ln(
)1x f x x x x +=++-，则满足101x
x
+>-，解得11x -<<， 即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<， 即至少满足01a <<，所以C 不正确；
对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称， 又由11
()x x g x x x
-+--=
=-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
9．设函数cos2cos2()22x x f x -=-，则（ ） A ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增
B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ C ．()f x 的一个周期为π D ．4f x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称
【答案】BC 【分析】
根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】
令cos2t x =，则12222t
t
t t y -=-=-
，显然函数12222t t t
t
y -=-=-为增函数，
当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，cos2t x =为减函数， 根据复合函数单调性可知，()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减， 因为cos2[1,1]t x =∈-， 所以增函数12222t
t
t t y -=-=-
在cos2[1,1]t x =∈-时，3322
y -≤≤， 即()f x 的值域为33,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
； 因为cos2()
cos2(cos2c )os222
)(2()2x x x x x x f f πππ+-+-=-=+-=，
所以()f x 的一个周期为π，
因为sin 2sin 2224x x f x π-⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭，令sin 2sin 22(2
)x
x h x --=， 设(,)P x y 为sin 2sin 22(2)x
x h x --=上任意一点，
则(,)2P x y π
'--为(,)P x y 关于,04π⎛⎫
⎪⎝⎭对称的点， 而sin 2(sin 2()
)
2
2
sin 2sin 2(
)2
2
2
22x x x x h y x y π
π
π
-----=-==≠--，
知点(
,)2
P x y π
'--不在函数图象上，
故()h x 的图象不关于点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，即4f x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的图像不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称.
故选：BC 【点睛】
本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.
10．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】AD 【分析】
根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x
x f x e e -=+为偶函数，
当1k =-时，()x
x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．
【详解】
由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e
e -=+为偶函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()x
x f x e
e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；
当1k =-时，()x
x f x e e -=-为奇函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()x
x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.
故选:AD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.
二、导数及其应用多选题
11．已知函数1
(),()122
x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（ ）
A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2
B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线
C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点
D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线 【答案】BCD 【分析】
利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12
()(2)m f lnm g e
-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单
调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项
的正误．进而得出结论． 【详解】
在函数1(),()122x
x f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q
，则||2
PQ =
，而2ln 2<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1
()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x
'=，
曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=， 曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1
2
12
1(2)2m m g e
e
--'=
，
令12
()(2)
m f lnm g e
-
''=，即12
12m m e
-=
，即1
221m me -=，则1
2
m =满足方程1
221m me -=，
m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；
构造函数1()()()22x
x F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x
'=-，
函数1()x
F x e x
'
=-
在(0,)+∞
上为增函数，由于1
()20F e '<，F '（1）10e =->，
则存在1(,1)2t ∈，使得1()0t
F t e t
'=-=，可得t lnt =-，
当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．
∴11
()()2222
t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-
1113
2220222
t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>， ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；
设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，
则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-， 同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122
n y x ln n =
+-， ∴11
(1)22
m n n m lnm ln ⎧
=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，
令1()(1)22G x x x lnx ln =--++
，则11
()1x G x lnx lnx x x
-'=-
-=-， 函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1
(2)202
G ln '=
-<， 则存在(1,2)s ∈，使得1
()0G s lns s
'=-=，且1s s e =．
当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．
∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，
5(2)02G =
>，17
(8)20202
G ln =-<， 由零点存 定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点， 即方程1
(1)202
m m lnm ln --++
=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．
故选：BCD ． 【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．
12．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ） A ．cos 2
x x π
+<
B ．22x
x <
C ．sin 2
x >D ．1
ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】
构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
单调递减，即可得sin 22
x x ππ
⎛⎫-<-
⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2y
x 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin
2
x
f x =，
()h x =
的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在
()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以02
2
x π
π
<
-<
，令()sin f x x x =-，
()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，所以()()00f x f <=，
即sin x x <，所以sin 22
x x ππ
⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正
确， 对于选项B ：
由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；
对于选项C ：要证2
2
sin 2
4
x
x x >
+ 令()sin 2x f x =，()2
2
4
x
h x x =+()()f x f x -=-，()sin
2
x
f x =是奇函数， ()()h x h x -=，()2
2
4
x h x x =
+是偶函数， 令222
4
144
x t x x ==-++ ，则y t = 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2
4
14
t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =调递增，由符合函数的单调性可知()2
2
4
x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：
由图知当()0,1x ∈时2
2
sin 2
4
x
x x >
+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()22111
0x g x x x x
-'=-=<， 所以()1
ln 1x g x x
=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x
+
->，可得1
ln 1x x >-，故选项D 不正确.
故选：ABC 【点睛】
思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）
一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
13．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'
()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）
A ．(4)(3)f ef >
B ．2(4)(2)f e f ->-
C ．3(4)41f e >-
D ．2(4)41f e -<--
【答案】ACD 【分析】
由已知构造得'
()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦
，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；
()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.
【详解】
因为当0x >时，()'
()1f
x f x ->，所以()'()10f x f x -->，即
()[]
'()+10x
f x f e x ->，所以'
()+10x x e f ⎡⎤
>⎢⎥
⎣⎦
， 令()()+1x
f x
g x e
=
，则当0x >时，()'
>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43
(4)+1(3)+1
>f f e e ，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；
()()4>2g g ，即
42
(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2
(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；
()()4>1g g ，即
4
(4)+1(1)+1>f f e e
，又(1)3f =，化简得3
(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2
(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所
以2
(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.
14．已知函数()1
ln f x x x x
=-+
，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点
C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点
D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】
根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()12
1()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】
由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()211
0g x x x
''=--<，
所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()1
10,12ln 202
g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1
ln f x x x x
=-+
， 当0x >时，()1ln f x x x x
=-+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=， 因为2
2131()024
x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；
又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=，
因为2
2
13
1()02
4
x x x -+-=---
<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1
ln f x x x x
=-+
在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-
，则 ()211
0x x x
ϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，
结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；
由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，
可得()()1222222221111
1ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即
()121
(
)f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 12
1x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确.
故选：ACD.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
15．已知函数()3
2
f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．
A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值
B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，
+∞上是增函数，则2123x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形
D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】
首先求函数的导数2
()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333
a a a
f x f x f -
++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.
【详解】
A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，
令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，
∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，
+∞上单调递增，
∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223a
x x +=-
，1213
x x ⋅=-，易知12x x <，
∴213
x x -==≥
，B
对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33
a a f --，，又
23()(1)()333
a a a f x x x f -+=-+++-，
∴()()2()333
a a a
f x f x f -
++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())3
3
a
a f --，成中心对称，C 对，
D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，
处切线方程为y x =-， 且3
y x
y x x =-⎧⎨=-⎩
有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，
处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】
方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
16．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦上的平均变化率为
194
B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线4
27
y =
有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称
D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】
运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，
先得出1x ，2x 为方程()2
3210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选
项． 【详解】
对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，
则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()
119
123
19222
1412
⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；
对于B ，当1a =时，()()2
3212f x x x x x x =-=-+，
()()()2341311f x x x x x '=-+=--，
可得下表：
因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227
f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =
有两个实数解，一个解为1
3
，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()2
3
1211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦
， 则有()()()()()()3
3
211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，
()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，
令()0f x '=，可得方程()2
3210x a x a -++=，
因为()
()2
2
412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，
所以1x ，2x 为方程()2
3210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧
+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--
()()()()33
221212121x x a x x a x x =+-++++
()()()()()222
12112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦
()()()22211221212
22123
3a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()2124221
2113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦
因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.
17．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：
()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直
线”．已知函数()2
2
x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自
然对数的底数），则（ ）
A ．()()()m x f x g x =-在
0x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]
2,1-
D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2
e
y =-
【答案】BD 【分析】
对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；
对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为
2e y kx =-；可得到222
x e
kx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用
导数证明()2
e
h x ≤-
，进而作出判断. 【详解】
对于A ，()()()21
22x m x f x g x x
=-=-
，
()322
121
022x m x x x x
+'∴=+=>，
当x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误； 对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，
2
2
x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以2
1480k b ∆=+≤，所以0b ≤，
又
1
2kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，
因为0b ≤，所以0k ≤且2
1480b k ∆=+≤，
所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]
2,0-， 故B 正确，C 错误； 对于D ，
函数()f x 和()h x
的图象在x =
∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线方程为(2
e y k x -
=
，即2e y kx =-，
则222
x e
kx ≥-（x ∈R
），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，
则()
2
4420k e ∆=-≤
，解得k =，
此时隔离直线方程为：2
e
y =-，
下面证明(
)2
e h x ≤-
， 令(
)(
)ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则(
)x G x x
'=，
当x =
()0G x '=
；当0x <<()0G x '<
；当x >()0G x '
>；
∴
当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即(
)0min G x G
==，
(
)()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即(
)2
e
h x ≤-，
∴函数()f x 和()h x
存在唯一的隔离直线2
e
y =-
，D 正确. 故选：BD .
关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.
18．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()
00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'
f x 的导数.若函数32
()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式
(ln 1)x e e mx x -+32()3e
f x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）
A ．3a =
B ．1b =
C ．m 的值可能是e -
D ．m 的值可能是1
e
-
【答案】ABC 【分析】
求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，
()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化
为()1ln 1
e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1e
e x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得
()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e
e x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.
【详解】
由题意可得()1112f a b -=-+-+=，
因为()2
321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，
所以()1620f a ''=-+=-，
解得3,1a b ==，故()3
2
31f x x x x =+++.
因为1x >，所以()()3
2
ln []13x
e
e
e mx x
f x x x e x -+≥--+等价于
()1ln 1
e x x e x e m x --++≤
+. 设()()10x
g x e x x =-->，则()10x
g x e '=->，
从而()g x 在()0,∞+上单调递增.
因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1e
e x x
x
x e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），
从而()1ln ln 1ln 1
e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.
【点睛】
本题解题的关键在于根据题意得()3
2
31f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化
为()1ln 1
e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得
ln ln 1e
e x x
x
x e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难
题.
19．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（ ） A ．1,2a b == B ．3,3a b =-=- C ．0,2a b >< D ．0,0a b <>
【答案】ABC 【分析】
求导2
()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且
只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】
3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+
当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；
当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得1x =2x =当x 变化时，()'
f x ，()f x 的变化情况如下表：
f b b ⎛== ⎝
，
当3
a
x -=
，函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭
又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图
或
则需0303a f a f ⎧
⎛--<⎪ ⎪⎝⎨
-⎪<⎪⎩，即203320
33a a b a a b ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，即2033a a
b -<<，
B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；
则需0303a f a f ⎧⎛-->⎪ ⎪⎝⎨
-⎪>⎪⎩
，即203320
33a a b a a b ⎧->⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，即2033a a
b ->>，
D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意； 故选：ABC 【点睛】
思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.
20．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（ ） A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+= B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0x C ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点 D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点 【答案】ABD 【分析】
逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题. 【详解】
对于A ：当1a =时，()sin x
f x e x =+，(),x π∈-+∞，
所以(0)1f =，故切点为()0,1，
()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '
==，
故直线方程为()120y x -=-，
即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确； 对于B ：当1a =时，()sin x
f x e x =+，(),x π∈-+∞，
()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,x
f x e x x π''=->∈-+∞恒成立，
所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫
'=>
⎪⎝⎭
，
3344
33cos 044
2f e e π
π
π
π--⎛⎫⎛⎫'-=+-=-< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 所以存在03,4
2x ππ⎛⎫∈-
- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=， 即00cos 0x
e x +=，则在()0,x π-上，()0
f x '<，()f x 单调递减，
在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；
对于 C 、D ：()sin x
f x e a x =+,(),x π∈-+∞，
令()sin 0x
f x e a x =+=得：1sin x x a e
-=， 则令sin ()x x
F x e
=
，(),x π∈-+∞，
)cos sin 4()x
x x x x F x e e π
--'==，令()0F x '=，
得：4
x k π
π=+，1k ≥-，k Z ∈，
由函数)4
y x π
=-图象性质知：
52,244x k k ππππ⎛⎫
∈++ ⎪⎝⎭
)04x π->，sin ()x x F x e =单调递减，
52,2244x k k πππππ⎛⎫
∈+++ ⎪⎝⎭
)04x π-<，sin ()x x F x e =单调递增，
所以当524x k π
π=
+，1k ≥-，k Z ∈时，()F x 取得极小值， 即当35,,44
x ππ=-
时，()F x 取得极小值， 又
354
4
35sin sin 44
e
e
ππππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<
，即3544
F F ππ
⎛⎫⎛⎫
-
<< ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
,
又因为在3,4
π
π⎛⎫
--
⎪⎝⎭
，sin ()x
x F x e =单调递减，
所以343()4
2F x F e π
π⎛⎫
≥=-
⎪⎝⎭
， 所以24
x k π
π=+，0k ≥，k Z ∈时，()F x 取得极大值，
即当944
x ππ
=
、， 时，()F x 取得极大值. 又944
9sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭<<，即(
)4
42F x F e π
π⎛⎫
≤=
⎪⎝⎭
，
当(),x π∈-+∞
时，34
4
()2
2e F x e ππ
-≤≤，
所以当34
1e a π-<
，即
4
a e > ()f x 在(),π-+∞上无零点，所以选项C 不正确；
当34
12
e a π
-=-时，即4a e π=时， 1=-y a 与sin x x
y e
=的图象只有一个交点，
即存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点， 故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.
三、三角函数与解三角形多选题
21．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（ ） A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍 B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABC
D ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】
对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2
A π
=
，由此确定选项
正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】
对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453
cos 0256604
A +-=
==>⨯⨯，
16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2
231
cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭
，cos2cos A C =.0,02
2
A C π
π
<<
<<
，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.
对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，
()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由
于0,0A B ππ<<<<，所以2
A π
=
，故B 选项正确.
对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<
，sin C ==， 设三角形ABC 外接圆半径为R
，则2sin 2sin c c
R R C C
=
⇒===
，故C 选项错误.
对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤，。