2020版中考数学一轮复习人教版 课件：二次函数的应用

【易错提醒】 在实际问题中求最值时，不一定在抛物线的顶点坐标处取得，因为 自变量的取值往往受到了制约，要注意自变量的取值范围，要在允许的范围内取 值．
归类探究
类型之一 抛物线形问题 1 (2018·衢州)某游乐园有一个直径为 16 m 的圆形喷水池，喷水池的周边有一
圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心 3 m 处达到最高，高度为 5 m， 且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图 15-1，以水平方向 为 x 轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．
当 x＝125时，y 新＝22809. 答：扩建改造后水柱的最大高度为22809 m.
【点悟】 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰 当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛 物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或最值问题等．
【变式训练】 1．(2017·金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分， 如图 15-2，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛球飞行的高度 y(m)与水平 距离 x(m)之间满足函数关系式 y＝a(x－4)2＋h，已知点 O 与球网的水平距离为 5 m，球网的高度为 1.55 m.
①
②
图 15-1
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式； (2)王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 m 的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变 的前提下，把水池的直径扩大到 32 m，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的 原装饰物(高度不变)处汇合．请探究扩建改造后水柱的最大高度．
图 15-5
(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象； (2)求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； (3)设客房的日营业额为 w(元)，若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多 少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？
解：(1)如答图． 变式训练 3 答图
∴a＝－15.
类型之二 最值问题 2 (2018·扬州)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，
成本为 30 元/件，每天销售量 y(件)与销售单价 x(元/件)之间存在一次函数关系， 如图 15-3.
图 15-3
(1)求 y 与 x 之间的函数解析式； (2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件，当销售单价为多少时，每天获 取的利润最大？最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出 150 元给希望工程， 为了保证捐款后每天剩余利润不低于 3 600 元，试确定该漆器笔筒销售单价的范 围．
＝12×6×8－12(6－t)·2t ＝t2－6t＋24 ＝(t－3)2＋15， ∴当 t＝3 时，四边形 PABQ 的面积最小，最小面积为 15 cm2.故选 C.
2．(2018·绵阳)图 15-2 是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m，水面 下降 2 m 时，水面宽度增加 4 2－4 m.
图 15-2
【解析】 如答图，建立平面直角坐标系． 第 2 题答图
设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可得知 O 为 原点，抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出，为 AB 的 一半即 2 m，抛物线顶点 C 的坐标为(0,2)． 通过以上条件可设顶点式 y＝ax2＋2， 将 A 点的坐标(－2,0)代入抛物线的解析式，得出 a＝－0.5， ∴抛物线的解析式为 y＝－0.5x2＋2.
第一部分 数与代数
第四单元 函数及其图象 第15课时 二次函数的应用
考点梳理 归类探究 课时作业
考点梳理
考点 二次函数的应用[核心考点] 1.利用二次函数表示实际问题中变量之间的关系，如投球、桥洞等问 题．
两种类型 2.利用二次函数解决实际问题中的最优化问题(如面积最值、长度最值、 商品利润最值等)，其实质就是利用二次函数的图象与性质求二次函数 的最大值或最小值.；
150 m 时，矩形土地 ABCD 的面积最大．
图 15-4
【解析】 设 AB＝x m，矩形土地 ABCD 的面积为 y m2.由题意，得 y＝x·900－2 3x＝－32(x－150)2＋33 750. ∵－32<0， ∴该函数图象的开口向下，当 x＝150 时，该函数有最大值，即 AB＝150 m 时， 矩形土地 ABCD 的面积最大．
图 15-2
(1)当 a＝－214时，①求 h 的值；②通过计算判断此球能否过网； (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 O 的水平距离为 7 m，离地面的高度为152 m 的 Q 处时，乙扣球成功，求 a 的值． 解：(1)①当 a＝－214时，y＝－214(x－4)2＋h， 将点 P(0,1)代入，得－214×16＋h＝1， 解得 h＝53.
课时作业
1．(2017·泰安)如图 15-1，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点 P
从点 A 沿 AC 向点 C 以 1 cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2 cm/s
的速度运动(点 Q 运动到点 B 时两点均停止)．在运动过程中，四边形 PABQ 的最
(3)由 y＝－15x2＋65x＋156可得原抛物线与 y 轴的交点为0，156. ∵装饰物的高度不变， ∴新抛物线也经过0，156. ∵喷水柱的形状不变，∴a＝－15. ∵直径扩大到 32 m， ∴新抛物线过点(16,0)．
设新抛物线的解析式为 y 新＝－15x2＋bx＋c(0<x<16)， 将点0，156和(16,0)分别代入解析式， 解得 b＝3，c＝156， ∴y 新＝－15x2＋3x＋156， ∴y 新＝－15x－1252＋22809，
②把 x＝5 代入 y＝－214(x－4)2＋53，
得 y＝－214×(5－4)2＋53＝1.625. ∵1.625>1.55，
∴此球能过网． (2)把(0,1)，7，152代入 y＝a(x－4)2＋h，得
16a＋1)当 y＝15 时，有－5x2＋20x＝15， 化简，得 x2－4x＋3＝0， 因式分解，得(x－1)(x－3)＝0， 故 x＝1 或 x＝3，即飞行的时间是 1 s 或 3 s. (2)飞出和落地的瞬间，高度都为 0，故 y＝0. ∴0＝－5x2＋20x，解得 x＝0 或 x＝4， ∴小球从飞出到落地所用时间是 4－0＝4(s)．
小面积为( C )
A．19 cm2
B．16 cm2
C．15 cm2
D．12 cm2
图 15-1
【解析】 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，∴AC＝ AB2－BC2 ＝6(cm)． 设运动时间为 t s(0<t<4)， 则 PC＝(6－t)cm，CQ＝2t cm， ∴S 四边形 PABQ＝S△ABC－S△CPQ ＝12AC·BC－12PC·CQ
图 15-4
(1)如图 15-4①，饲养室的长为多少时，占地面积最大？ (2)如图 15-4②，现要求在图中所示位置留 2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积 最大，小敏说：“只要饲养室的长比(1)中的长多 2 m 就行了．”请你通过计算， 判断小敏的说法是否正确． 解： (1)∵y＝x·50－ 2 x＝－12(x－25)2＋6225， ∴当 x＝25 时，y 的值最大， 即饲养室的长为 25 m 时，占地面积最大．
3．(2019·衢州)某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为 200 元时，每天入住的
房间数为 60 间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在 170～240 元之间(含
170 元、240 元)浮动时，每天入住的房间数(间)与每间标准房的价格 x(元)的数据
如下表：
x/元 y/间 ……
190 65 200 60 210 55 220 50 ……
当水面下降 2 m 时，通过抛物线在图上的观察可转化为：当 y＝－2 时，对应的抛 物线上两点之间的距离，也就是直线 y＝－2 与抛物线相交的两点之间的距离，可 以通过把 y＝－2 代入抛物线的解析式得出， 即由－2＝－0.5x2＋2，解得 x＝±2 2， 故水面此时的宽度为 4 2 m，比原先增加了(4 2－4)m.
【点悟】 应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最 大值或最小值．解题时，要先根据题目提供的条件，确定函数关系式，并将它配 方成顶点式 y＝a(x－h)2＋k，再根据二次函数的性质和自变量的取值范围确定最大 值或最小值．
【变式训练】 2．(2018·沈阳)如图 15-4，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 边 平行的篱笆 EF 分开．已知篱笆的总长为 900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当 AB＝
解：(1)∵抛物线的顶点为(3,5)， ∴设 y＝a(x－3)2＋5， 将(8,0)代入解析式，解得 a＝－15， ∴y＝－15(x－3)2＋5， 即 y＝－15x2＋65x＋156(0<x<8)．
(2)当 y＝1.8 时，1.8＝－15x2＋65x＋156， 解得 x1＝7，x2＝－1(舍去)． 答：王师傅必须站在离水池中心 7 m 以内．
3．(2018·滨州)如图 15-3，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路 线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 y(m)与飞行时间 x(s)之 间具有函数关系 y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：
图 15-3 (1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15 m 时，飞行的时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
(3)当 x＝－2ba＝－2×20－5＝2 时，小球的飞行高度最大，最大高度为4ac4－a b2＝ 4×－4×5×－05－ 202＝20(m)．
4．(2017·绍兴)某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)， 已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为 50 m．设饲养室的长为 x(m)，占地面积 为 y(m2)．
解：(1)设 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝kx＋b. 由题意，得4505kk＋ ＋bb＝ ＝310500， ， 解得kb＝ ＝－7001，0， ∴y＝－10x＋700， 即 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝－10x＋700.
(2)设利润为 w 元，由题意，得 w＝(x－30)·y＝(x－30)(－10x＋700) ＝－10x2＋1 000x－21 000 ＝－10(x－50)2＋4 000. 由－10x＋700≥240，得 x≤46. ∵－10<0，∴当 x<50 时，w 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝46 时，w 最大＝－10×(46－50)2＋4 000＝3 840. 答：当销售单价为 46 元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是 3 840 元．
(2)设 y＝kx＋b(k≠0)，把(200,60)和(220,50)分别代入，
得220200kk＋ ＋bb＝ ＝6500， .
解得k＝－12， b＝160.
∴y＝－12x＋160(170≤x≤240)．
(3)w＝x·y＝x·－12x＋160＝－12(x－160)2＋12 800. ∵a＝－12<0， ∴当 170≤x≤240 时，w 随 x 的增大而减小． 故当 x 取 170 时，w 有最大值，日营业额最大为 12 750 元．
(3)w－150＝－10x2＋1 000x－21 000－150＝3 600， －10(x－50)2＝－250，x－50＝±5，x1＝55，x2＝45. 如答图，
例 2 答图 由图象得当 45≤x≤55 时，捐款后每天剩余利润不低于 3 600 元． 答：该漆器笔筒销售单价的范围是 45 元/件到 55 元/件．