2021版高考理科数学(人教A版)一轮复习 教师用书 第二章 函数概念与基本初等函数 第2讲

第2讲函数的单调性与最值
[学生用书P13]
一、知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1，x2
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么
就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那
么就说函数f(x)在区间D上是减
函数
图象描述
自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有
f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论M为最大值M为最小值
1．函数单调性的两种等价形式
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，
(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2
＜0⇔f (x )在[a ，b ]上
是减函数．
(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．
2．五条常用结论
(1)对勾函数y ＝x ＋a
x (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)
和(0，a ]．
(2)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (3)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”． (4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 二、习题改编
1．(必修1P39B 组T1改编)函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是________． 答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))
2．(必修1P32T4改编)若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________．
解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－1
2.
答案：⎝
⎛⎭⎫－∞，－1
2 3．(必修1P31例4改编)已知函数f (x )＝2
x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，
最小值为__________．
解析：可判断函数f (x )＝2
x －1
在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25
. 答案：2 2
5
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1
x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
(4)所有的单调函数都有最值．( )
(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )
(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到． ( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏
常见误区|Ｋ(1)求单调区间忘记定义域导致出错； (2)对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调； (3)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解； (4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念． 1．函数y ＝log 12
(x 2－4)的单调递减区间为________．
答案：(2，＋∞)
2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围
是________．
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧a －2<0，2（a －2）≤⎝⎛
⎭⎫122
－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a ≤138，即a ≤13
8
.
答案：⎝
⎛⎦⎤－∞，138 3．函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，
即⎩⎪⎨⎪
⎧－3≤a ≤1，－1≤a ≤1，a <1.
所以－1≤a <1. 答案：[－1，1)
4．(1)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是________；
(2)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的单调递减区间为(－∞，4]，则a 的值为________． 答案：(1)a ≤－3 (2)－3
[学生用书P14]
确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一 给出具体解析式的函数的单调性
(1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )
A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎣⎡⎦⎤1，3
2和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2
D ．⎝
⎛⎦⎤－∞，3
2和[2，＋∞) (2)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
【解析】 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|
＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，
－（x 2－3x ＋2），1＜x ＜2. 如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1)和⎝⎛⎭⎫32，2.故选B.
(2)令u ＝x 2＋x －6，
则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.
易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，
所以y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)． 【答案】 (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3] 角度二 含参函数的单调性
(一题多解)判断并证明函数f (x )＝ax
x －1
(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．
【解】 法一：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝
⎛⎭⎪
⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭
⎫1＋1x －1，
f (x 1)－f (x 2)＝a
⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1 ＝
a （x 2－x 1）
（x 1－1）（x 2－1）
，
由于－1＜x 1＜x 2＜1，
所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，
函数f (x )在(－1，1)上单调递减；
当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1，1)上单调递增． 法二：f ′(x )＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a
（x －1）2
，
所以当a >0时，f ′(x )<0，当a <0时，f ′(x )>0， 即当a >0时，f (x )在(－1，1)上为单调递减函数， 当a <0时，f (x )在(－1，1)上为单调递增函数．
确定函数单调性的4种方法
(1)定义法．利用定义判断．
(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．[提醒] 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．
1．函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是________． 解析：
由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图，由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．
答案：[－1，0]，[1，＋∞)
2．判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1
x (其中1＜a ＜3)在x ∈[1，2]上的单调性．
解：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝⎛⎭⎫
ax 21＋1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣
⎡⎦⎤
a （x 1＋x 2）－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－1
4.又1＜a ＜3，
所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，
得a (x 1＋x 2)－1
x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，
即f (x 2)＞f (x 1)，
故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上单调递增．
求函数的最值(师生共研)
(1)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫
13x
－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x
－6，x >1，则f (x )的最小值是________．
【解析】 (1)由于y ＝⎝⎛⎭⎫
13x 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.
(2)当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x >1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6<0，所以f (x )min ＝26－6.
【答案】 (1)3 (2)26－6
求函数最值的5种常用方法及其思路
1．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是1
3，则a ＋b ＝________．
解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即
⎩
⎨⎧1
a －1＝1，1
b －1＝13
，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，
b ＝4. 所以a ＋b ＝6. 答案：6
2．(一题多解)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩
⎪⎨⎪
⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，
g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．
解析：法一：在同一直角坐标系中， 作出函数f (x )，g (x )的图象， 依题意，h (x )的图象如图所示． 易知点A (2，1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.
法二：依题意，h (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，
－x ＋3，x ＞2.
当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2处取得最大值h (2)＝1.
答案：1
函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较大小
已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0
恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭
⎫－1
2，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b
D ．b >a >c
【解析】 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫5
2.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，
知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<5
2<e ，
所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫
52>f (e)，所以b >a >c . 【答案】 D
角度二 解函数不等式
已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，
ln （x ＋1），x >0，
若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是
( )
A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C ．(－1，2)
D ．(－2，1)
【解析】 因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数f (x )的图象是一条连续的曲线．
因为当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数， 当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数． 因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ， 即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1. 【答案】 D
角度三 根据函数的单调性求参数
(1)(2020·南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a
2
在(1，＋∞)上是增函数，则实数a
的取值范围是________．
(2)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，
log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a
的取值范围是________．
【解析】 (1)法一：设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a
2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫
1＋a x 1x 2<0.
因为x 1－x 2<0，所以1＋a
x 1x 2
>0，即a >－x 1x 2.
因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)． 法二：由f (x )＝x －a x ＋a 2得f ′(x )＝1＋a
x 2，
由题意得1＋a
x
2≥0(x ＞1)，
可得a ≥－x 2，当x ∈(1，＋∞)时，－x 2＜－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.
【答案】 (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)
函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略
(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
1．(2020·武汉模拟)若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，1]
解析：选B.因为函数f (x )＝2|x －a |＋3
＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a －2x ＋2a ＋3，x ＜a ， 因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调， 所以a ＞1.所以a 的取值范围是(1，＋∞)．故选B.
2．定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( )
A ．[－1，2)
B ．[0，2)
C ．[0，1)
D ．[－1，1)
解析：选C.因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2， 所以函数f (x )在[－2，2]上单调递增，
所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得0≤a ＜1，故选C.
[学生用书P263(单独成册)]
[基础题组练]
1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1
D ．f (x )＝－|x |
解析：选C.当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3
2时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭
⎫3
2，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；
当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－
1
x ＋1
为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．
2．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0) B ．⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)
D ．⎝⎛⎭
⎫1
2，＋∞ 解析：选B.y ＝|x |(1－x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，
x 2－x ，x ＜0函数y 的草图如图所
示．
由图易知原函数在⎣⎡⎦
⎤0，1
2上单调递增．故选B. 3．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤－11
3，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22]
D ．[－4，－3]
解析：选B.由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－a
2∈[2，3]，即a ∈[－
6，－4]．
4．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫
13，23 B ．⎣⎡⎭⎫
13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23
D ．⎣⎡⎭⎫12，23
解析：选D.因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫
13. 所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23
.
5．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )
A ．－1
B ．1 C
．6
D ．12
解析：选C.由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，所以f (x )的最大值为6.
6．函数f (x )＝4－x －x ＋2的值域为________．
解析：因为⎩
⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，
x ＋2≥0，所以－2≤x ≤4，
所以函数f (x )的定义域为[－2，4]．
又y 1＝4－x ，y 2＝－x ＋2在区间[－2，4]上均为减函数， 所以f (x )＝4－x －x ＋2在[－2，4]上为减函数， 所以f (4)≤f (x )≤f (－2)． 即－6≤f (x )≤ 6. 答案：[－6，6]
7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．
解析：
由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．
答案：[0，1)
8．若f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧（3a －1）x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是
________．
解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，（3a －1）×1＋4a ≥－a ，a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <1
3
，a ≥18
，
a >0，
所以a ∈⎣⎡⎭⎫
18，13. 答案：⎣⎡⎭⎫
18，13
9．已知函数f (x )＝1a －1
x (a >0，x >0)．
(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤1
2，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，
则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2
x 1x 2，
因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，
所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤
12，2上为增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －1
2＝2，
解得a ＝2
5
.
10．已知f (x )＝x
x －a
(x ≠a )．
(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝
x 1x 1＋2－x 2
x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）
. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝
x 1x 1－a －x 2
x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）
. 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0， 只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，0＜a ≤1.
[综合题组练]
1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2m
x ＋1在区间[2，4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，0)∪(0，1]
B ．(－1，0)∪(0，1]
C ．(0，＋∞)
D ．(0，1]
解析：选D.函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2m
x 的图象向左平移一
个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0，1]．
2．已知函数f (x )＝log 2x ＋1
1－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )
A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0
B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0
C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0
D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0
解析：选B.因为函数f (x )＝log 2x ＋1
1－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1
∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；
当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.故选B.
3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．
解析：因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1
x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)
＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，
所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案：[0，2]
4．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）
x 在区间I 上是减函数，那么
称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝1
2x 2－x
＋3
2
是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________． 解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋3
2的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上
是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－3
2x 2＝
x 2－3
2x 2
，
由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋3
2x 在区间[1，3 ]上单调递减，故“缓
增区间”I 为[1， 3 ]．
答案：[1， 3 ]
5．已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.
(1)当a ＝2时，求f (x )在[0，3]上的最大值和最小值；
(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．
解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩
⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2
（x －1）2－1，x ＜2，
当x ∈[0，2)时，－1≤f (x )<0，当x ∈[2，3]时，0≤f (x )≤7， 所以f (x )在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.
(2)因为f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，
又f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，
所以当x ＞2时，f (x )单调递增，则－a
2≤2，即a ≥－4.
当－1＜x ≤2时，f (x )单调递增，则a
2
≤－1.
即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2]．
6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调递增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.
在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1.
又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上是单调递增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.
由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，
故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．
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