函数单调性的判定方法之欧阳道创编

函数单调性的判定方法
1.判断具体函数单调性的方法
对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：
1.1 定义法
首先我们给出单调函数的定义。

一般地，设f 为定义在D 上的函数。

若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有
(1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成
立严格不等)()(21x f x f <
时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f >
时，称f 为D 上的严格减函数。

给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。

用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。

利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤：
（1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <；
（2）作差)()(21x f x f -；
（3）变形（普遍是因式分解和配方）；
（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；
（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。

例 1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。

证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 由于043)2(222212
12221>++=++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(2122211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。

例 2.用定义证明函数x k x x f +
=)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。

证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则
)()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2
12121x x k x x x x --=， 又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ，
当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ⇒
0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数；
当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ⇒
0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。

综上函数x
k x x f +=)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。

此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。

用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。

在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。

1.2函数性质法
函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。

函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。

对于一些常见的简单函数的单调性如下表： 函数
函数表达式 单调区间 特殊函数图像 一
次
函数
)0(≠+=k b kx y 当0>k 时，y 在R 上是增函数；
当0<k 时，y 在R 上是减函数。

二次函数
c
bx
ax
y+
+
=2
)
,
,
,0
(R
c
b
a
a∈
≠
当0
>
a时，
a
b
x
2
-
<时y单调减,
a
b
x
2
-
>时y单调增；
当0
<
a时，
a
b
x
2
-
<时y单调增，
a
b
x
2
-
>时y单调减。

反比例函数
x
k
y=
R
k∈
(且0
≠
k)
当0
>
k时,y在0
<
x时单调减，在0
>
x
时单调减；
当0
<
k时,y在0
<
x时单调增，在0
>
x
时单调增。

指数函数
x
a
y=
)1
,0
(≠
>a
a
当1
>
a时，y在R上是增函数；
当1
0<
<a，时y在R上是减函数。

对数函数
x
y
a
log
=
)1
,0
(≠
>a
a
当1
>
a时，y在)
,0(+∞上是增函数；
当1
0<
<a时，y在)
,0(+∞上是减函
数。

对于一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论：
⑴．)(x
f与)(x
f+C单调性相同。

（C为常数）
⑵．当0
>
k时，)(x
f与)(x
kf具有相同的单调性；当0
<
k 时，)(x
f与)(x
kf具有相反的单调性。

⑶．当)(x
f恒不等于零时，)(x
f与
)
(
1
x
f
具有相反的单调
性。

⑷．当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数时，则)
(x f ＋)(x g 在D 上是增（减）函
数。

⑸．当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒
大于0时，)(x f )(x g 在D 上
是增（减）函数；当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函
数且两者都恒小于0时，)(x f )(x g
在D 上是减（增）函数。

⑹．设)(x f y =,D x ∈为严格增（减）函数，则f 必有反函
数1-f ，且1-f 在其定义
域)(D f 上也是严格增（减）函数。

我们可以借助以上简单函数的单调性来判断函数的单调性，下面我们来看以下几个例子：
例3.判断5)1(2log )(21323+++++=+x x x x x f x 的单调性。

解:函数)(x f 的定义域为),0(+∞，由简单函数的单调性知在此定义域内
323log ,,x x x 均为增函数，因为021>+x ,012>+x 由性质⑸可得)1(221++x x 也是增函数；由单调函数的性质⑷知
x x x 23log ++为增函数，再由性质⑴知函数
)
1(2log )(21323++++=+x x x x x f x +5在),0(+∞为单调递增函
数。

例 4.设函数)0()(>>++=
b a b
x a x x f ，判断)(x f 在其定义域上的单调性。

解:函数b x a x x f ++=)(的定义域为),(),(+∞-⋃--∞b b . 先判断)(x f 在),(+∞-b 内的单调性，由题可把b x a x x f ++=)(转化为b x b
a x f +-+=1)(，又0>>
b a 故0>-b a 由性质⑶可得
b x +1为减函数；由性质⑵可得b
x b a +-为减函数；再由性质⑴可得b
x b a x f +-+=1)(在),(+∞-b 内是减函数。

同理可判断)(x f 在
),(b --∞内也是减函数。

故函数b
x a x x f ++=)(在),(),(+∞-⋃--∞b b 内是减函数。

函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。

1.3 图像法
用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。

根据单调函数的图像特征，若函数)(x f 的图像在区间I 上从左往右逐渐上升则函数)(x f 在区间I 上是增函数；若函数)(x f 图像在区间I 上从左往右逐渐下降则函数)(x f 在区间I 上是减函数。

、
例5.如图1-1是定义在闭区间[-5,5]上的函数)(x f y =
的图像，试判断其单调性。

解：由图像可知：函数)(x f y =的单调区间有[-5,-2），[-2,1），[1,3），[3,5）.其
中函数)(x f y =在区间[-5,-2），[1,3）上的图像是从左往右逐渐下降的，则函数)(x f y =在区间[-5,-2），[1,3）为减函数；函数)(x f y =在区间[-2,1），[3,5]上的图像是从往右逐渐上升的，则函数)(x f y =在区间[-2,1），[3,5]上是增函数。

例 6.利用函数图像判断函数①1)(+=x x f ；②x x g 2)(=；③12)(++=x x h x 在[-3,3]上的单调性。

分析：观察三个函数，易见)()()(x g x f x h +=，作图一般步骤为列表、描点、作图。

首先作出1)(+=x x f 和x x g 2)(=的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致作出12)(++=x x h x 的图像，最后利用图像判断函数12)(++=x x h x 的单调性。

解:作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数①1)(+=x x f 在闭区间[-3,3]
上是单调增函数；②x x g 2)(=在闭区间[-3,3]上是单调增函数；利用物理上波的叠加可以直接大致作出③12)(++=x x h x 在闭区间[-3,3]上图像，即③12)(++=x x h x 在闭区间[-3,3]上是单调增函数。

事实上本题中的三个函数也可以直接用函数性质法判断其单调性。

用函数图像法判断函数单调性比较直观，函数图像能够形象的表示出随着自变量的增加，相应的函数值的变化趋势，但作图通常较烦。

对于较容易作出图像的函数用图像法比较简单直观，可以类似物理上波的叠加来大致画出图像。

而对于不易作图的函数就不太适用了。

但如果我们借助于相关的数学软件去作函数的图像，那么用图像法判断
函数单调性是非常简单方便的。

1.4复合函数单调性判断法
定理1：若函数)(u f y =在U 内单调，)g(x u =在X 内单调，且集合{u ︳)g(x u =，X x ∈}U ⊂
（1）若)(u f y =是增函数，)g(x u =是增（减）函数，则)]([x g f y =是增（减）函数。

（2）若)(u f y =是减函数，)g(x u =是增（减）函数，则)]([x g f y =是减（增）函数。

归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减）
复合函数单调性的四种情形可列表如下： 情形
函数 单调性
第①种情
形 第②种情形 第③种情形 第④种情形 内层函数)(x g u =
↑ ↓ ↑ ↓ 外层函数)(u f y = ↑ ↓ ↓ ↑
显然对于大于2次的复合函数此法也成立。

推论：若函数)(x f y =是K(K ≥2),N K ∈)个单调函数复合而成其中有K m ≤个减函数：
① 是减函数时，则当)(12x f y k m =+=；
② 是增函数时，则当)(2x f y k m ==。

判断复合函数)]([x g f y =的单调性的一般步骤：
⑴合理地分解成两个基本初等函数)(),(x g u u f y ==；
⑵分别解出两个基本初等函数的定义域；
⑶分别确定单调区间；
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则)]([x g f y =为增函数，若为一增一减，则)]([x g f y =为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数)]([x g f y =的单调区间。

以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。

利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。

下面我们就用“八字”求法来判断函数的单调性。

例7.求)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）的单调区间。

解：由题可得函数)253(log )(2-+=x x x f a 是由外函数u y a log =和内函数
2532-+=x x u 符合而成。

由题知函数)(x f 的定义域是
),31()2,(+∞--∞ 。

内函数2532-+=x x u 在),3
1(+∞内为增函数，在)2,(--∞内为减函数。

①若1>a ，外函数u y a log =为增函数，由同增异减法则，故函数)(x f 在),3
1(+∞上是增函数；函数)(x f 在()2,-∞-上是减函数。

②若10<<a ，外函数u y a log =为减函数，由同增异减法则，故函数)(x f 在),3
1(+∞上是减函数；函数)(x f 在()2,-∞-上是增函数。

1.5 导数法
我们在前面也曾利用函数图像的特点判断函数的增减性，图像上升则递增，图像下降则递减．用定义法、图像法等这些初等方法来判断函数的单调性，一般比较繁杂，下面我们将以导数为工具来判断函数的单调性。

函数)(x f 的导数)('x f 反映了函数增加或减小的快慢，即变化率．因此我们可以利用导数判断函数的单调性．这种用导数的符号来判断函数单调性的方法叫导数法。

在给定区间内只要能求出其导数我们就可以用导数法来判断函数单调性。

为此先看如下定理：
定理2：设)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上递增（减）的充
要条件是：)0(0)(≤≥'x f .
即)(x f 在区间I 上可导，且)(x f 在I 上递增（减）⇔)0(0)(≤≥'x f 。

导数法判断函数)(x f y =单调性的一般步骤：
(1)首先确定函数)(x f 的定义域(判断函数的单调性，必须首先考虑其定义域)；
(2)求导数)(x f ；
(3)在)(x f 的定义域内)('x f 与0的大小关系；
(4)写出)(x f 的单调区间．
下面我们来看下面几个例题：
例8.确定函数32)(2+-=x x x f 的单调区间．
解：32)(2+-=x x x f 的定义域为R ，22)('-=x x f ，解不等式022>-x 得1>x 所以32)(2+-=x x x f 在(1，＋∞)内是增函数；解不等式022<-x 得1<x 所以32)(2+-=x x x f 在(－∞，1)内是减函数。

显然这里我们用定义法、函数性质法、图像法、复合函数单调性判断法都能判断其单调性。

利用导数研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，在解题过程中容易忽略函数的定义域，应予以重视．再求导数)(x f '，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内)(x f '的符号来确定函数)(x f 在该区间上的单调性． 例9.确定函数x x a a x f --=)(（0>a 且1≠a ）的单调区间．
解：函数)(x f 的定义域为R ，
a a a x a a a a x f x x x x ln )()(ln ln )(--+='-⋅⋅-='，
当1>a 时，,0,0ln >+>-x x a a a 即0)(>'x f ，故函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数；
当10<<a 时，,0,0ln >+<-x x a a a 即0)(<'x f ，故函数)(x f 在
),(+∞-∞上是减函数。

综上可得当1>a 时函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数。

当10<<a 时函数)(x f 在
),(+∞-∞上是减函数。

例10.（同例7）
解：由题可得函数)(x f 的定义域是),3
1()2,(+∞--∞ ，且 )
2)(13(log )56()253(253log )(22+-+='-+⋅-+='x x e x x x x x e x f a a
①若1>a ，则当3
1>x 时，0)2)(13(,056,0log >+->+>x x x e a ，即0)(>x f ‘，故函数)(x f 在),3
1(+∞上是增函数；当2-<x 时，0)(<'x f ，故函数)(x f 在()2,-∞-上是减函数
②若10<<a ，则当31>x 时，0)(<'x f ，故函数)(x f 在),31(+∞上是减函数；当2-<x 时，0)(>'x f ，故函数)(x f 在()2,-∞-上是增函数
导数法通过判断函数定义域被导数为零的点和导数不存在的点所划分的各区间内)(x f '的符号来确定函数)(x f 在该区间上的单调性．导数法判断函数单调性主要适用于函数)(x f 在其定义域内可导并且容易判断其导函数与零的大小关系时的情况。

导数法是解决诸多问题的有力工具，它既给学生提供了一种重要的解题思想，又给学生提供了一种解题方法。

2．判断抽象函数单调性的方法
如果一个函数没有给出具体解析式，那么这样的的函数叫做抽象函数。

抽象函数没有具体的解析式，需充分提取题目条件给出的信息。

2.1 定义法
通过作差(或者作商)，根据题目提出的信息进行变形，然后与0（或者1）比较大小关系来判断其函数单调性。

通常有以下几种方法：
2.1.1 凑差法
根据单调函数的定义，设法从题目中“凑出”“)()(21x f x f -”的形式，然后比较)()(21x f x f -与0的大小关系。

例11.已知函数)(x f 对任意实数m 、n 均有)()()(n f m f n m f +=+，且当0>m 时，
0)(>m f ，试讨论函数)(x f 的单调性。

解：由题得)()()(n f m f n m f =-+，
令m x n m x =+=21,，且21x x >，021>-=x x n
又由题意当0>m 时，0)(>m f 0)()()(21>=-⇒n f x f x f ，所以函数)(x f 为增函数。

2.1.2添项法
弄清题目中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以达到能判断“)()(12x f x f -”与0大小关系的目的。

例12.（同例11）
解:任取2121,,x x R x x <∈，则012>-x x ，)()(12x f x f -)(])[(1112x f x x x f -+-=
由题意函数)(x f 对任意实数m 、n 均有)()()(n f m f n m f +=+，且当0>m 时，
0)(>m f 0)()()(1212>-=-⇒x x f x f x f ，所以函数)(x f 为增函数。

2.1.3 增量法
由单调性的定义出发，任取2121,,x x R x x <∈设)0(12>+=δδx x ,然后联系题目提取的信息给出解答。

例13.（同例11）
解：任取2121,,x x R x x <∈设)0(12>+=δδx x 由题意函数)(x f 对任意实数m 、n 均有)()()(n f m f n m f +=+，
)()()()()(1112δδf x f x f x f x f =-+=-⇒，又由题当0>m 时， 0)(>m f )0(0)()()(12>>=-⇒δδf x f x f ，所以函数)(x f 为增函数。

2.1.4 放缩法
利用放缩法，判断)(1x f 与)(2x f 的大小关系，从而得)(x f 在其定义域内的单调性。

例14.已知函数)(x f 的定义域为（0，+∞），对任意正实数m 、n 均有
)()()(n f m f mn f =，且当1>m 时1)(0<<m f ，判断函数)(x f 的单调性.
解：设210x x <<，则
112>x x 又当1>m 时1)(0<<m f ，故1)(
012<<x x f 再由)()()(n f m f mn f =中令1>m ，1=n 得1)1(=f
当10<<x 时，11>x ，由)1()()1(x
f x f f =易知此时1)(>x f ，故0)(>x f 恒成立。

因此
)()(1)()()()(111121122x f x f x f x x f x x x f x f =⨯<=⋅=)()(12x f x f <⇒ 即)(x f 在（0，+∞）上为单调递减函数。

对于抽象函数，由于抽象函数没有具体的解析式，因此需充分提取题目条件给出的信息,观察结构特点。

用定义法判定抽象函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当21x x <时，容易得出)(1x f -)(2x f 与0大小关系的函数。

定义法是最直接的方法，思路也比较清晰，在解题中灵活选择凑差法、添项法、增量法、放缩法等恰当的方法，可使解题过程更加简单方便。

2.2 列表法
对于比较复杂的复合函数，除了用复合函数单调性判断法外，还
可以用列表，将各个函数的单调性都列出来，然后再判断复合函数单调性。

例15.已知)
y=在R上是偶函数，且在[0,+∞）上是增函数，求(x
f
f-是
2(2x
)
减函数的区间
解：列表如下
f-是减函数的区间)2
2(2x
,0[。

-∞，)2
(-
,
利用列表法比较直观，精确、易懂、量与量之间的关系又很明确。

列表法在实际生活当中应用也是比较广泛的。

但是列表法也有其局限性：在于适用题型狭窄，求解范围小，大部分是跟探寻规律或反映规律有关。

函数单调性是函数的一个非常重要的性质，本文从单调性的定义入手，总结了判断单调性的常见方法。

本文把函数分为具体函数和抽象函数两大类进行讨论，对于每类函数都给出了判定单调性的若干方法。

对于具体的函数，我们可以用多种方法去判断其单调性，特别地导数法是普遍适用的，若借助于计算机，那么图像法也是最简单最直观的。

对于抽象函数的单调性问题，我们给出了用定义法及列表法。

这种题型不仅抽象，而且综合性较强，对学生的思维能力有很高的要求，学生往往很难发现数学符号与数学语言之间的内在关系。

因此在判断函数单调性的问题上，应灵活选择恰当的方法，从而使解题过程
最简单。