2021年湖南省常德市中考数学试卷(附答案详解)

2021年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.4的倒数为()
A. 1
4
B. 2
C. 1
D. −4
2.若a>b，下列不等式不一定成立的是()
A. a−5>b−5
B. −5a<−5b
C. a
c >b
c
D. a+c>b+c
3.一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为()
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
4.下列计算正确的是()
A. a3⋅a2=a6
B. a2+a2=a4
C. (a3)2=a5
D. a3
a2
=a(a≠0) 5.舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避
寒越冬的数量变化情况，以下是排乱的统计步骤：①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；②从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；③按统计表的数据绘制折线统计图；④整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表.正确统计步骤的顺序是()
A. ②→③→①→④
B. ③→④→①→②
C. ①→②→④→③
D. ②→④→③→①
6.计算：(√5+1
2−1)⋅√5+1
2
=()
A. 0
B. 1
C. 2
D. √5−1
2
7.如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中
点，AE与DF交于P.则下列结论成立的是()
A. BE=1
2
AE
B. PC=PD
C. ∠EAF+∠AFD=90°
D. PE=EC
8.阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m=a2+b2，
那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义
勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数.依次正确的是( )
A. ②④
B. ①②④
C. ①②
D. ①④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9. 不等式2x −3>x 的解集是______ ．
10. 今年5月11日，国家统计局公布了第七次全国人口普查的结果，我国现有人口
141178万人.用科学记数法表示此数为______ ．
11. 在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学
生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是______ 班.
人数 平均数 中位数 方差 甲班 45 82 91 19.3 乙班
45
87
89
5.8
12. 分式方程1
x +1
x−1=x+2
x(x−1)的解为______ ．
13. 如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，
∠BOD =80°，则∠BCD = ______ ．
14. 如图，在△ABC 中，
∠C =90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若CD =3，BD =5，则BE 的长为______ ．
15. 刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中1
6为红珠，1
4为绿
珠，有8个黑珠.问刘凯的蓝珠最多有______ 个.
16. 如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个
小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格中所有线段的和为______ .(用含n 的代数式表示)
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）
17.计算：20210+3−1⋅√9−√2sin45°．
18.解方程：x2−x−2=0．
四、解答题（本大题共8小题，共62.0分）
19.化简：(a
a−1+5a+9
a2−1
)÷a+3
a−1
．
20.如图，在Rt△AOB中，AO⊥BO，AB⊥y轴，O为坐标原点，A的坐标为(n,√3)，
反比例函数y1=k1
x 的图象的一支过A点，反比例函数y2=k2
x
的图象的一支过B点，
过A作AH⊥x轴于H，若△AOH的面积为√3
2
．
(1)求n的值；
(2)求反比例函数y2的解析式．
21.某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，
B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．
(1)求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？
(2)该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最
少需要采购A型新能源汽车多少台？
22.今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆(如图所示)，星期一该校全体学生在国
旗前举行了升旗仪式.仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE=1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF=1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？(最后结果保留一位小数)
(参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245)
23.我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社
区医院进行新冠疫苗接种.为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种.图1与图2是根据此次调查得到的统计图(不完整)．
请根据统计图回答下列问题
(1)此次抽样调查的人数是多少人？
(2)接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？
(3)请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．
(4)为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居
民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．
24.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC
于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
(1)求证：FD是圆O的切线：
(2)若BC=4，FB=8，求AB的长．
25.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F
是AD的中点，B、C、D的坐标分别为(−2,0)，(8,0)，(13,10)．
(1)求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
(2)试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；
(3)设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛
物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．
26.如图1，在△ABC中，AB=AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作
BC的平行线交CD的延长线于T，且AT=BN，连接BT．
(1)求证：BN=CN；
(2)在图1中AN上取一点O，使AO=OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、
MO、OC、OT、CM得图2．
①求证：△TOM∽△AOC；
CM．
②设TM与AC相交于点P，求证：PD//CM，PD=1
2
答案和解析
1.【答案】A
【知识点】倒数
【解析】解：4的倒数为1
4
．
故选：A．
根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．本题主要考查倒数的意义．解题的关键是注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．2.【答案】C
【知识点】不等式的基本性质
【解析】解：A.∵a>b，
∴a−5>b−5，故本选项不符合题意；
B.∵a>b，
∴−5a<−5b，故本选项不符合题意；
C.∵a>b，
∴当c>0时，a
c >b
c
；当c<0时，a
c
<b
c
，故本选项符合题意；
D.∵a>b，
∴a+c>b+c，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】解：根据题意得：
(n−2)180°=1800°，
解得：n=12．
故选：C．
n边形的内角和是(n−2)180°，根据多边形的内角和为1800°，就得到一个关于n的方程，从而求出边数．
本题根据多边形的内角和定理，把求边数问题转化成为一个方程问题．
4.【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项
【解析】解：A.a3⋅a2=a5，故本选项不合题意；
B.a2+a2=2a2，故本选项不合题意；
C.(a3)2=a6，故本选项不合题意；
=a(a≠0)，故本选项符合题意；
D.a3
a2
故选：D．
分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】D
【知识点】统计图的选择、统计表、调查收集数据的过程与方法
【解析】解：正确统计步骤的顺序是：从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；
整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表；
按统计表的数据绘制折线统计图；
从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势．
故选：D．
根据折线统计图的制作步骤即可求解．
本题是一道统计型题目，解题的关键是熟悉折线统计图的制作步骤．
6.【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】解：(√5+1
2−1)⋅√5+1
2
=
√5+1−2
2
×
√5+1
2
=
√5−1
2
×
√5+1
2
=
(√5)2−12
4
=
4
4
=1．
故选：B．
直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键．7.【答案】C
【知识点】矩形的性质、全等三角形的判定与性质
【解析】解：∵F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，
∴AF=BE，
在△AFD和△BEA中，
{AF=BE
∠DAF=∠ABE=90°AD=BA
，
∴△AFD≌△BEA(SAS)，
∴∠FDA=∠EAB，
又∵∠FDA+∠AFD=90°，
∴∠EAB+∠AFD=90°，
即∠EAF+∠AFD=90°，
故C正确，A、B、D无法证明其成立，
故选：C．
根据已知条件结合正方形性质以及全等三角形性质逐一推理即可选出答案．
本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，细心推理是解题的关键．
8.【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，
∴7不是广义勾股数，故①结论正确；
②∵13=22+32，
∴13是广义勾股数，故②结论正确；
③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数，故④结论正确，
∴次正确的是①②④．
故选：B．
根据广义勾股数的定义进行判断即可．
本题考查了勾股数的综合应用，掌握勾股定理以及常见的勾股数是解题的关键．
9.【答案】x>3
【知识点】一元一次不等式的解法
【解析】解：移项得，2x−x>3，
合并得，x>3．
故答案为：x>3．
根据解一元一次不等式的步骤，移项、合并同类项即可．
本题考查了解一元一次不等式，是基础题，比较简单，移项时注意要变号．
10.【答案】1.41178×109
【知识点】科学记数法-绝对值较大的数
【解析】解：141178万=1.41178×109，
故答案为：1.41178×109．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．
11.【答案】甲
【知识点】加权平均数、中位数、方差
【解析】解：∵甲班的中位数为91分，乙班的中位数为89分，
∴甲班的中位数大于乙班的中位数，
∴甲、乙两班中优秀人数更多的是甲班，
故答案为：甲．
根据中位数的意义求解即可．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的意义．
12.【答案】x=3
【知识点】分式方程的一般解法
【解析】解：去分母得：x−1+x=x+2，
解得：x=3，
检验：把x=3代入得：x(x−1)=6≠0，
∴分式方程的解为x=3．
故答案为：x=3．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13.【答案】140°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】解：∵∠BAD为BD⏜所对的圆周角且∠BOD=80°，
∴∠BAD=1
2∠BOD=1
2
×80°=40°，
又∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°−∠BAD=180°−40°=140°，
故答案为：140°．
根据已知条件利用圆周角定理求出∠BAD的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可求出∠BCD的度数．
本题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理并能知道圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键．
14.【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】解：∵AD平分∠ABC，
又∵DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE=DC=3，
∵BD=5，
∴BE=√BD2−DE2=√52−32=4，
故答案为4．
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得DE=DC=4，再由勾股定理求得BE的长即可．
本题考查了角平分线的性质．角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．比较简单，属于基础题．
15.【答案】20
【知识点】有理数的混合运算
【解析】解：∵1
6为红珠，1
4
为绿珠，红球和绿球的数量均为正整数，且4，6的最小公倍
数为12，
∴四种球的总数为12的整数倍，又∵四种球的总数不超过50个，
∴四种球的总数最多为48个，此时蓝珠的个数=48−48×1
6−48×1
4
−8=20(个)．
故答案为：20．
由红球、绿球占的比较及两种球的数量均为正整数，即可得出四种球的总数为12的整数倍，结合四种球的总数不超过50个，可得出四种球的总数最多为48个，再利用篮球的个数=四种球的总数−红球的个数−绿球的个数−黑球的个数，即可求出结论．
本题考查了有理数的混合运算以及因数和倍数，根据各球所占比例及4，6的最小公倍数，找出四种球的总数为12的整数倍是解题的关键．
16.【答案】2n(n+1)
【知识点】图形规律问题
【解析】解：∵第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4=2×1×2，
第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12=2×2×3，
第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24=2×3×4，
⋅⋅⋅，
按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n(n+1)；
故答案为：2n(n+1)．
根据每个图形可得所有线段的和，找规律可得：①这些数是偶数；②这些数是三个数的积；③三个因数中有一个数是2，另外一个与图形的序号相同，最后一个比图形的序号大1，可得第n个网格中所有线段的和为2n(n+1)．
本题考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键．
17.【答案】解：20210+3−1⋅√9−√2sin45°
=1+1
3
×3−√2×
√2
2
=1+1−1
=1．
【知识点】特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、实数的运算
【解析】根据公式a0=1(a≠0)、a−n=1
a n
(a≠0)，以及二次根式的运算法则，正确计算即可．
本题主要考查实数的运算相关法则，其中包括公式的运用、二次根式的运算法则以及特殊角度的三角函数，解题的关键在于要熟练运用计算法则．
18.【答案】解：分解因式得：(x−2)(x+1)=0，
可得x−2=0或x+1=0，
解得：x1=2，x2=−1．
【知识点】解一元二次方程-因式分解法
【解析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19.【答案】解：(a
a−1+5a+9
a2−1
)÷a+3
a−1
=[
a(a+1)
(a+1)(a−1)
+
5a+9
(a+1)(a−1)
]⋅
a−1
a+3 =
a2+a+5a+9
(a+1)(a−1)
⋅
a−1
a+3
=
(a+3)2
(a+1)(a−1)
⋅
a−1
a+3
=a+3
a+1
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】根据分式的加法和除法可以解答本题．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
20.【答案】解：(1)S△AOH=1
2×OH×AH=√3
2
，
即，1
2n×√3=√3
2
，
∴n=1，
(2)过点B作BQ⊥x轴于点Q，如图所示：
∵AO⊥BO，AB⊥y轴，
∴△BOQ∽△OAH，且BQ=AH=√3，
∴BQ
OH =QO
HA
，即√3
1
=
√3
，
∴QO=3，
∵点B位于第二象限，
∴B的坐标(−3,√3)，
将点B坐标代入反比例函数y2=k2
x
中，
k2=−3×√3=−3√3，
∴反比例函数y2的解析式为：y2=−3√3
x
．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义、待定系数法求反比例函数解析式
【解析】(1)将A的坐标为(n,√3)代入三角形AOH的面积计算公式中即可求出n的值；
(2)过点B作BQ⊥x轴于点Q，利用△BOQ∽△OAH求出QO的值，表示出B点坐标，进而求出y2解析式．
本题考查反比例函数k的几何意义以及待定系数法求解析式，熟练理解并掌握k的几何意义以及待定系数法求解析式的基本方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设销售一台A型新能源汽车的利润是x万元，销售一台B型新能源
汽车的利润是y 万元，
依题意得：{2x +5y =3.1x +2y =1.3
， 解得：{x =0.3y =0.5
． 答：销售一台A 型新能源汽车的利润是0.3万元，销售一台B 型新能源汽车的利润是0.5万元．
(2)设需要采购A 型新能源汽车m 台，则采购B 型新能源汽车(22−m)台， 依题意得：(12+0.3)m +(15+0.5)(22−m)≤300，
解得：m ≥1213
16，
又∵m 为整数，
∴m 可以取的最小值为13．
答：最少需要采购A 型新能源汽车13台．
【知识点】一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用
【解析】(1)设销售一台A 型新能源汽车的利润是x 万元，销售一台B 型新能源汽车的利润是y 万元，根据“销售2台A 型车和5台B 型车，可获利3.1万元，销售1台A 型车和2台B 型车，可获利1.3万元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设需要采购A 型新能源汽车m 台，则采购B 型新能源汽车(22−m)台，根据总价=单价×数量，结合总价不超过300万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22.【答案】解：作EM ⊥CG 于M ，FN ⊥CG 于N ，
由题意得GB =AG +AB =
15.8+24.2=40(米)，
则FN =GB =40米，
在Rt △EDM 中，∠DEM =45°，
∴DM =EM =15.8米，
∵MG =AE =1.4米，
∴DG =DM +MG =15.8+1.4=17.2(米)，
∵NG=FB=1.8米，
∴DN=17.2−1.8=15.4(米)，
在Rt△CNF中，∠CFN=23°，
∵tan∠CFN=CN
FN
≈0.4245，
∴CN=0.4245×40≈17.0(米)，
∴CD−CN−DN=17.0−15.4=1.6(米)
故国旗的宽度CD约为1.6米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】先过点E作EM⊥CG于M，在Rt△DEM中，∠DAM=45°得到DM=EM=15.8米，即可求得DG=17.2米，进而求得DN=15.4米，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数，求得CN，即可根据CD=CN−DN求得即可．
本题主要考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)此次抽样调查的人数为：20÷10%=200(人)；
(2)接种B类疫苗的人数的百分比为：80÷200×100%=40%，
接种C类疫苗的人数为：200×15%=30(人)；
(3)18000×(1−35%)=11700(人)，
即估计该小区所居住的18000名居民中有11700人进行了新冠疫苗接种．
(4)画树状图如图：
共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，
∴恰好抽到一男和一女的概率为12
20=3
5
．
【知识点】用样本估计总体、条形统计图、用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】(1)由B类的人数除以所占百分比即可求解；
(2)由接种B类疫苗的人数除以此次抽样调查的人数得出此次抽样调查的人数所占的百分比，再由此次抽样调查的人数乘以接种C类疫苗的人数所占的百分比即可；
(3)由该小区所居住的总人数乘以A、B、C三类所占的百分比即可；
(4)画树状图，共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】(1)证明：
连接OD，
由题可知∠ABC═90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB═∠BDC═90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE=1
2
BC=BE=EC，
∴∠EDC═∠ECD，
又∵∠ECD+∠CBD═90°，∠ABD+∠CBD═90°，
∴∠ECD═∠ABD，
∵OB和OD是圆的半径，
∴∠ODB═∠OBD，
∴∠ODB+∠BDE═∠EDC+∠BDE═90°，
即∠ODE═90°，
故：FE是⊙O的切线．
(2)由(1)可知BE═EC═DE═1
2
BC═2，
在Rt△FBE中，FE═√FB2+BE2═√82+22═2√17，
∴FD═FE−DE═2√17−2，
又∵在Rt△FDO和Rt△FBE中有：∠FDO═∠FBE═90°，∠OFD═∠EFB，
∴△FDO∼△FBE，
∴FD
OD =FB
BE
，即2√17
OD
=8
2
，
求得OD═√17−1
2
，
∴AB═2OD═√17−1，
故：AB长为√17−1．
【知识点】垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理
【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由线段之间的关系推出角的关系，再利用圆的切线判定定理求证即可；
(2)利用相似三角形的对应边成比例，求得目标线段的长度．
本题主要考查圆的切线的判定，以及相似三角形的性质，其解题突破口是理清各个角之间的关系．
25.【答案】解：(1)过点D作x轴垂线交x轴于点H，如图所示：
由题意得∠EOB=∠DHC=90°，
∵AB//CD，
∴∠EBO=∠DCH，
∴△EBO∽△DCH，
∴BO
CH =EO
DH
，
∵B(−2,0)、C(8,0)、D(13,10)，
∴BO=2，CH=13−8=5，DH=12，
∴2
5=EO
10
，
解得：EO=4，
∴点E坐标为(0,4)，
设过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y=a(x+2)(x−8)，将E点代入得：
4=a ×2×(−8)，
解得：a =−14，
∴过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为：y =−14(x +2)(x −8)=−14x 2+32x +4；
(2)抛物线的顶点在直线EF 上，理由如下：
由(1)可知该抛物线对称轴为直线x =−b 2a =−
322×(−14)=3， 当x =3时，y =254，
∴该抛物线的顶点坐标为(3,254)，
又∵F 是AD 的中点，
∴F(8,10)，
设直线EF 的解析式为：y =kx +b ，将E(0,4)，F(8,10)代入得，
{4=b 10=8k +b 解得：{k =34b =4
， ∴直线EF 解析式为：y =34x +4，
把x =3代入直线EF 解析式中得：y =
254， 故抛物线的顶点在直线EF 上；
(3)由(1)(2)可知：A(3,10)，
设直线AB 的解析式为：y =k′x +b′，将B(−2,0)，A(3,10)代入得：
{0=−2k′+b′10=3k′+b′，解得：{k′=2b′=4
， ∴直线AB 的解析式为：y =2x +4，
∵FQ//AB ，
故可设：直线FQ 的解析式为：y =2x +b 1，将F(8,10)代入得：
b 1=−6，
∴直线FQ 的解析式为：y =2x −6，
当x =0时，y =−6，
∴Q 点坐标为(0,−6)，
设M(0,m)，直线BM 的解析式为：y =k 2x +b 2，将M 、B 点代入得：
{m =b 20=−2k 2+b 2，解得：{k 2=m 2b 2=m
， ∴直线BM 的解析式为：y =m 2x +m ，
∵点P 为直线BM 与抛物线的交点，
∴联立方程组有：{y =m 2x +m y =−14x 2+32x +4， 化简得：(x +2)(x −8+2m)=0，
解得：x 1=−2(舍去)，x 2=8−2m ，
∴点P 的横坐标为：8−2m ，
则此时，S △PBQ =12×MQ ×(|x P |+|x B |)=12×(m +6)×(8−2m +2)=−(m +12)2+1214，
∵a =−1<0，
∴当m =−12时，S 取得最大值，
∴点P 横坐标为8−2×(−12)=9，
将x =9代入抛物线解析式中y =−114，
综上所述，当△PBQ 的面积最大时，P 的坐标为(9,−114).
【知识点】二次函数综合
【解析】(1)过点D 作x 轴垂线交x 轴于点H ，利用△EBO∽△DCH 求出E 点坐标，进而根据B 、E 、C 三点坐标即可求出抛物线解析式；
(2)求出抛物线顶点坐标以及直线EF 的解析式，代入验证即可判定顶点是否在直线EF 上；
(3)根据AB//FQ ，求出点Q 坐标，再设M 为(0,m)通过直线BM 与抛物线的交点表示出P 点坐标，从而可表示出△PBQ 的面积结合二次函数最值问题即可求出面积最大值时点P 的坐标．
本题属于中考压轴大题，考查二次函数综合应用，涉及三角形的相似、二次函数最值等知识，熟练掌握二次函数综合性质、能数形相结合并能细心的推理运算是解题的关键． 26.【答案】证明：(1)∵AT//BC ，
∴∠ATD =∠BCD ，
∵点D 是AN 的中点，
∴AD =DN ，
在△ATD 和△NCD 中，
{∠ATD =∠BCD ∠ADT =∠CDN AD =DN
，
∴△ATD≌△NCD(AAS)，
∴CN=AT，TD=DC，
∵AT=BN，
∴BN=CN；
(2)①∵AT=BN，AT//BN，
∴四边形ATBN是平行四边形，
∵AB=AC，BN=CN，
∴AN⊥BC，
∴平行四边形ATBN是矩形，
∴∠TAN=90°，
∵点M，点N关于AC对称，
∴CN=MC，∠ACN=∠ACM，
∴AT=CM，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC+∠ACN=90°，
∴∠OCA+∠ACM=90°=∠OCM，∴∠OCM=∠TAN，
又∵AT=CM，OA=OC，
∴△TAO≌△MCO(SAS)，
∴OT=OM，∠TOA=∠COM，
∴∠TOM=∠AOC，OT
OA =OM
OC
，
∴△TOM∽△AOC；
②如图2，将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，
∴EM=CM=AT，
∴∠MEC=∠MCE，
∵∠CAN+∠ACN=90°，
∴∠CAN+∠ACM=90°，
∴∠TAN+∠NAC+∠ACM=180°，
∴∠TAC+∠ACM=180°，
又∵∠AEM+∠CEM=180°，
∴∠TAC=∠AEM，
∴AT//EM，
∴四边形ATEM是平行四边形，
∴TP=PM，
又∵TD=DC，
CM．
∴PD//CM，PD=1
2
【知识点】相似形综合
【解析】(1)由“AAS”可证△ATD≌△NCD，可得CN=AT=BN；
(2)①由轴对称的性质可得CN=MC=AT，∠ACN=∠ACM，由“SAS”可证△TAO≌△MCO，可得OT=OM，∠TOA=∠COM，即可得结论；
②将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，由旋转的性质可得EM=CM=AT，由角的数量关系可证∠TAC=∠AEM，可得AT//EM，可证四边形ATEM 是平行四边形，可得TP=PM，由三角形中位线定理可得结论．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，证明四边形ATEM是平行四边形是解题的关键．。