2018-2019年上海市青浦一中高二下期中数学试卷及答案

青浦一中2018学年第二学期期中学业质量调研测试
高二年级数学试卷
一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分,考生应在答题纸相应编
号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1.直线与平面所成角的范围 ．
2.已知(1,4,2),(2,1,3)a b =-=-，则a b += ．
3.已知直线l 的一个方向向量(4,3,1)d =，平面α的一个法向量(,3,5)n m =-，且//l α，则m = ．
4. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 所成的角大小为________．
5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30∘，则该圆锥的侧面积为________．
6. 二面角α−l −β为60∘，异面直线a 、b 分别垂直于α、β，则a 与b 所成角的大小是________．
7. 下列四个结论中假命题的序号是________．
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a ，b ，c 满足a // b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；
④若直线a ，b 是异面直线，则与a ，b 都相交的两条直线是异面直线．
8. 互不重合的三个平面可以把空间分成________个部分．
9.已知四面体ABCD 中，2AB CD ==，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3
π，则EF =________． 10. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬45∘，且两地所在纬度圈上的弧长为 √24πR ，则A 、B 之间的
球面距离是________（结果用含有R 的代数式表示）
11. 已知三棱锥P -ABC ，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA =PB =1，PC =2，D 为面ABC 上的动点，则PD 的最小值为________．
12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 _______
二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应
编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13. 已知圆锥的底面半径是1，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是( )
A.2π
B.3π
C.4π
D.5π
2. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）
A.4
B.8
C.12
D.16
3. 已知不同的直线m，n，不同的平面α，β，则下列命题正确的是（）
①若m // α，n // α，则m // n②若m // α，m⊥β，则a⊥β．
③若m⊥α，m⊥n，则n // α．④若m⊥a，n⊥β，a⊥β，则m⊥n
A.②④
B.②③
C.③④
D.①②
4. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=√2
，则下列结论
2
错误的是（B）
A.AC⊥BF
B.直线AE、BF所成的角为定值
C.EF // 平面ABC
D.三棱锥A−BEF的体积为定值
三. 解答题（本大题满分76分）
17. （本题满分14分）第（1）题满分6分，第（2）题满分8分.
如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，
已知4AB BC ==，18DD =，M 为棱11C D 的中点．
（1）求四棱锥M ABCD -的体积；
（2）求直线BM 与平面11BCC B 所成角的正切值．
18. (本题满分14分）本题共2小题，第（1）题6分，第（2）题8分.
如图,已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点.
（1）求圆锥的体积；
（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
19. (本题满分14分）本题共2小题，第（1）题6分，第（2）题8分.
如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm ．
（1）这种“浮球”的体积是多少cm 3（结果精确到0.1）？
（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？
20. (本题满分16分）本题共2小题，第（1）题8分，第（2）题8分
如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB ==，E ，F 分别
为PB ，PD 的中点．
（1）求正四棱锥P ABCD -的全面积；
（2）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求平面AEMF 与平面
ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）
．
21. (本题满分18分）本题共3小题，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分.
如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AA 1+AB +AC =3，AB =AC =t(t >0)，
P是侧棱AA1上的动点．
（1）当AA1=AB=AC时，求证：A1C⊥平面ABC1；
（2）记三棱锥P−BCC1的体积为V(t),求
()
v t
t
的最大值；
（3）若二面角A−BC1−C的平面角的余弦值为√10
10
，试求实数t的值．
参考答案
一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1.直线与平面所成角的范围 ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
2.已知(1,4,2),(2,1,3)a b =-=-，则a b += ．
3.已知直线l 的一个方向向量(4,3,1)d =，平面α的一个法向量(,3,5)n m =-，且//l α，则m = ．1-
4. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 所成的角大小为________．
π2
5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30∘，则该圆锥的侧面积为________． 50π
6. 二面角α−l −β为60∘，异面直线a 、b 分别垂直于α、β，则a 与b 所成角的大小是________． 60∘
7. 下列四个结论中假命题的序号是________．
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a ，b ，c 满足a // b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；
④若直线a ，b 是异面直线，则与a ，b 都相交的两条直线是异面直线．
①④
8. 互不重合的三个平面可以把空间分成________个部分． 4、6、7、8
9.已知四面体ABCD 中，2AB CD ==，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成
的角为
3
，则EF =________．1或 10. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬45∘，且两地所在纬度圈上的弧长为 √24
πR ，则A 、B 之间的球面距离是________（结果用含有R 的代数式表示）
π3R
11. 已知三棱锥P -ABC ，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA =PB =1，PC =2，D 为面ABC 上的动点，则PD 的最小值为________． 23
12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 _______
.3√34
二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13. 已知圆锥的底面半径是1，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是( B )
A . 2π
B .3π
C .4π
D .5π
2. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（D ）
A .4
B .8
C .12
D .16
3. 已知不同的直线m ，n ，不同的平面α，β，则下列命题正确的是（A ）
①若m // α，n // α，则m // n ②若m // α，m ⊥β，则a ⊥β．
③若m ⊥α，m ⊥n ，则n // α． ④若m ⊥a ，n ⊥β，a ⊥β，则m ⊥n
A .②④
B .②③
C .③④
D .①②
4. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF =√22
，则下列结论错误的是（ B ）
A .AC ⊥BF
B .直线AE 、BF 所成的角为定值
C .EF // 平面ABC
D .三棱锥A −BEF 的体积为定值
三. 解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. （本题满分14分）第（1）题满分6分，第（2）题满分8分.
如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，
已知4AB BC ==，18DD =，M 为棱11C D 的中点．
（1）求四棱锥M ABCD -的体积；
（2）求直线BM 与平面11BCC B 所成角的正切值．
（1）因为长方体1111ABCD A B C D -，
所以点M 到平面ABCD 的距离就是18DD =， (2)
故四棱锥M ABCD -的体积为M ABCD V -=11128=33ABCD S DD ⋅⋅
．……6 （2）（如图）联结1BC ，BM ，因为长方体1111ABCD A B C D -，且11M C D ∈，
所以1MC ⊥平面11BCC B ，故直线BM 与平面11BCC B 所成角就是1MBC ∠， (8)
在1Rt MBC ∆中，由已知可得111122
MC C D ==，22111145BC BB B C =+=， 因此，111510
45MC tan MBC BC ∠===， ……12 即直线BM 与平面11BCC B 所成角的正切值为
5． (14)
18. (本题满分14分）本题共2小题，第（1）题6分，第（2）题8分.
如图,已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点.
（1）求圆锥的体积；
（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
（1）由题意，15OA SB ππ⋅⋅=得5BS =， ……2分
故2222534SO SB OB =-=-= ……4分
从而体积2211341233V OA SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=. ……6分
（2）如图，取OB 中点H ，联结PH AH 、. 由P 是SB 的中点知PH SO ∥，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角. ……8分
由SO ⊥平面OAB ⇒PH ⊥平面OAB ⇒PH AH ⊥. 在OAH ∆中，由OA OB ⊥得22352
AH OA OH =+=； ……11分 在Rt APH ∆中，90AHP O ∠=，122
PH SB ==，352AH =， ……12 分 则35tan 4AH APH PH ∠==，所以异面直线SO 与PA 所成角的大小35arctan 4
…14分
19. (本题满分14分）本题共2小题，第（1）题6分，第（2）题8分.
如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm ．
（1）这种“浮球”的体积是多少cm 3（结果精确到0.1）？
（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？ 解：（1）∵ 该“浮球”的圆柱筒直径d =6cm ，
∴ 半球的直径也是6cm ，可得半径R =3cm ，
∴ 两个半球的体积之和为V 球=43πR 3=43π⋅27=36πcm 3... (2)
而V 圆柱=πR 2⋅ℎ=π×9×2=18πcm 3
… ……4 ∴ 该“浮球”的体积是：V =V 球+V 圆柱=36π+18π=54π≈169.6cm 3
(6)
（2）根据题意，上下两个半球的表面积是
S 球表=4πR 2=4×π×9=36πcm 2... (8)
而“浮球”的圆柱筒侧面积为：S 圆柱侧=2πRℎ=2×π×3×2=12πcm 2
(10)
∴ 1个“浮球”的表面积为S =
36π+12π104
=48
104πm 2
因此，2500个“浮球”的表面积的和为2500S =2500×48
104π=12πm 2… ……12 ∵ 每平方米需要涂胶100克，
∴ 总共需要胶的质量为：100×12π=1200π（克）... (14)
20. (本题满分16分）本题共2小题，第（1）题8分，第（2）题8分
如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB ==，E ，F 分别
为PB ，PD 的中点．
（1）求正四棱锥P ABCD -的全面积；
（2）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求平面AEMF 与平面
ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）
． 解：（1）因为正四棱锥P ABCD -，取AB 中点G ，连接PG ，
PA AB ==
PG ∴= (2)
21
=482
S S S +=+⨯⨯=+全底侧
（2）连接AC ，连接BD ，记AC
BD O =，因为OA ，OB ，OP 两两互相垂直，如图建立空间直角
坐标系O xyz -． (9)
因为PB AB ==Rt Rt POB AOB ≅△△．
所以2OA OP ==．
所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,0,0)C -，(0,2,0)D -，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(0,1,1)F -．
所以(2,1,1)AE =-，(2,1,1)AF =--． (11)
设平面AEMF 的法向量为(,,)n x y z =，所以0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,
20.
x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩
所以0y =．令1x =，2z =，所以(1,0,2)n =． ......14 因为平面平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m = (15)
设m 与n 的夹角为ϕ
，cos
1m n m n
ϕ⋅=
=
=⨯
⋅arccos 5ϕ⇒=
所以平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小是． (16)
21. (本题满分18分）本题共3小题，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分.
如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AA 1+AB +AC =3，AB =AC =t(t >0)，P 是侧棱AA 1上的动点．
（1）当AA 1=AB =AC 时，求证：A 1C ⊥平面ABC 1； （2）记三棱锥P −BCC 1的体积为V (t ),求
()
v t t
的最大值； （3）若二面角A −BC 1−C 的平面角的余弦值为√1010
，试求实数t 的值．
【解答】
（1）证法一：∵ AA 1⊥面ABC ，∴ AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ． 又∵ AA 1=AC ，∴ 四边形AA 1C 1C 是正方形， ∴ AC 1⊥A 1C ．…
∵ AB ⊥AC ，AB ⊥AA 1，AA 1，AC ⊂平面AA 1C 1C ，AA 1∩AC =A ， ∴ AB ⊥平面AA 1C 1C ．…
又∵ AC 1⊂平面AA 1C 1C ，∴ AB ⊥AC 1．… ∵ AB ，AC 1⊂平面ABC 1，AB ∩AC 1=A ， ∴ A 1C ⊥平面ABC 1．…
证法二：∵ AA 1⊥面ABC ，∴ AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ． 又∵ AB ⊥AC ，
∴ 分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． (1)
则A(0, 0, 0)，C 1(0, 1, 1)，B(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，A 1(0, 0, 1)， ∴ A 1C →
=(0,1,−1),AC 1→
=(0,1,1),AB →
=(1,0,0)， ∴ A 1C →
⋅AC 1→
=0,A 1C →
⋅AB →
=0
∴ A 1C →
⊥AC 1→
,A 1C →
⊥AB →
．… ……3 又∵ AB ，AC 1⊂平面ABC 1，AB ∩AC 1=A ∴ A 1C ⊥平面ABC 1． ……4 证法三：∵ AA 1⊥面ABC ，∴ AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ． 又∵ AB ⊥AC ，
∴ 分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．…
则A(0, 0, 0)，C 1(0, 1, 1)，B(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，A 1(0, 0, 1)， ∴ A 1C →
=(0,1,−1),AC 1→
=(0,1,1),AB →
=(1,0,0)． 设平面ABC 1的法向量n →
=(x,y,z)， 则{n →
⋅AB →
=x =0，解得{x =0
y =−z
．
令z =1，则n →
=(0,−1,1)，…
∵ A 1C →
=−n →
，∴ A 1C ⊥平面ABC 1．…
（2）解：∵ AA 1 // 平面BB 1C 1C ，
∴ 点P 到平面BB 1C 1C 的距离等于点A 到平面BB 1C 1C 的距离
∴ V =V P−BCC 1=V A−BCC 1=V C 1−ABC =1
6t 2(3−2t)=1
2t 2−1
3t 3(0<t <3
2)，……8 于是
2()11
32
v t t t t =-+ 当34t =
时，max ()3
[
]16
v t t = ……10 （3）解：分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则A(0, 0, 0)，C 1(0, t, 3−2t)，B(t, 0, 0)，C(0, t, 0)，A 1(0, 0, 3−2t)，
∴ A 1C →
=(0,t,2t −3),AC 1→
=(0,t,3−2t),AB →
=(t,0,0)，CC 1→
=(0,0,3−2t)，BC →
=(−t,t,0)．…
设平面ABC 1的法向量n 1→
=(x 1,y 1,z 1)， 则110n AB tx ⋅==
解得{
x 1=0y 1=
2t−3t z 1
，
令z 1=t ，则n 1→
=(0,2t −3,t)． ……12 设平面BCC 1的法向量n 2→
=(x 2,y 2,z 2)， 则212(32)0n CC t Z ⋅=-= 由于0<t <3
2，所以解得{x 2=y 2z 2
=0．
令y 2=1，则n 2→
=(1,1,0)． ……14 设二面角A −BC 1−C 的平面角为θ，
则有|cosθ|=|n 1→|⋅|n 2→|=|2t −3|⋅
=
√1010
． ……16 化简得5t 2−16t +12=0，
解得t =2（舍去）或t =6
5． (18)
所以当t =6
5时，二面角A −BC 1−C 的平面角的余弦值为√10
10。