《解直角三角形》 教学设计

《解直角三角形》教学设计
一、教学目标
1、知识与技能目标
（1）理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

（2）能够将实际问题中的数量关系转化为解直角三角形的数学问题，并能正确选用适当的锐角三角函数关系式解决问题。

2、过程与方法目标
（1）通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，培养学生分析问题和解决问题的能力。

（2）通过将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想。

3、情感态度与价值观目标
（1）通过数学学习，让学生体验数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生严谨的科学态度和合作交流的意识。

二、教学重难点
1、教学重点
（2）将实际问题转化为解直角三角形的数学问题。

2、教学难点
将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系。

三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法
四、教学过程
1、复习引入
（1）提问：直角三角形的三边有什么关系？锐角之间有什么关系？边角之间有什么关系？
（2）在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A、∠B、∠C 所对的
边分别为 a、b、c。

已知 a ＝ 3，b ＝ 4，求 c 的长度。

（3）已知∠A ＝ 30°，斜边 c ＝ 6，求∠A 的对边 a 的长度。

通过复习，为学习解直角三角形做好知识铺垫。

2、讲授新课
（1）解直角三角形的概念
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三
角形。

直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。

只要知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的三
个元素。

（3）解直角三角形的方法
①已知两条直角边 a、b，求斜边 c 及锐角 A、B。

由勾股定理\（c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），＼（＼tan A ＝＼frac{a}｛b}＼），则\（A ＝＼arctan\frac{a}｛b}＼），＼（B ＝ 90° A\）。

②已知斜边 c 和一条直角边 a，求另一条直角边 b 及锐角 A、B。

由勾股定理\（b ＝＼sqrt{c^2 a^2}＼），＼（＼sin A ＝＼frac{a}｛c}＼），则\（A ＝＼arcsin\frac{a}｛c}＼），＼（B ＝ 90° A\）。

③已知一条直角边 a 和一个锐角 A，求斜边 c、另一条直角边 b 及锐角 B。

＼（＼tan A ＝＼frac{a}｛b}＼），则\（b ＝＼frac{a}｛＼tan A}＼），＼（＼sin A ＝＼frac{a}｛c}＼），则\（c ＝＼frac{a}｛＼sin A}＼），＼（B ＝ 90° A\）。

3、例题讲解
例 1：在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，a ＝ 6，b ＝ 8，求 c 及∠A、∠B 的度数。

解：由勾股定理可得：
＼（c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2} ＝＼sqrt{6^2 ＋ 8^2} ＝ 10\）
＼（＼tan A ＝＼frac{a}｛b} ＝＼frac{6}｛8} ＝ 075\），则\（A ＝＼arctan 075 ＼approx 3687°＼）
＼（B ＝ 90° A ＼approx 5313°＼）
例 2：在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，c ＝ 13，∠A ＝ 30°，求 a、b 的长度。

解：因为\（＼sin A ＝＼frac{a}｛c}＼），所以\（a ＝ c\sin A ＝13×＼sin 30°＝ 13×＼frac{1}｛2} ＝ 65\）
＼（＼cos A ＝＼frac{b}｛c}＼），所以\（b ＝ c\cos A ＝ 13×＼cos 30°＝ 13×＼frac{＼sqrt{3}｝｛2} ＝＼frac{13\sqrt{3}｝｛2}＼）例 3：如图，在△ABC 中，∠B ＝ 45°，∠C ＝ 30°，AB ＝ 20，求AC 和 BC 的长度。

解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D。

在 Rt△ABD 中，∠B ＝ 45°，AB ＝ 20，所以\（AD ＝ BD ＝ AB×＼sin 45°＝ 20×＼frac{＼sqrt{2}｝｛2} ＝ 10\sqrt{2}＼）
在 Rt△ACD 中，∠C ＝ 30°，AD ＝ 10\sqrt{2}，所以\（AC ＝＼frac{AD}｛＼sin 30°｝＝＼frac{10\sqrt{2}｝｛＼frac{1}｛2}｝＝
20\sqrt{2}＼）
＼（CD ＝＼sqrt{3}AD ＝ 10\sqrt{6}＼）
＼（BC ＝ BD ＋ CD ＝ 10\sqrt{2} ＋ 10\sqrt{6}＼）
4、课堂练习
（1）在直角三角形中，已知∠A ＝ 60°，斜边 c ＝ 5，求∠B 及两条直角边的长度。

（2）一座建筑物发生了火灾，消防车在离建筑物 9 米处升起云梯到火灾窗口，已知云梯长 15 米，云梯与地面所成的角约为多少度？
5、课堂小结
（1）回顾解直角三角形的概念和方法。

（2）总结将实际问题转化为解直角三角形问题的思路和步骤。

6、布置作业
（1）课本练习题。

（2）寻找生活中的解直角三角形问题，并尝试解决。

五、教学反思
通过本节课的教学，学生对解直角三角形的概念和方法有了较好的掌握，但在将实际问题转化为数学问题的过程中，部分学生还存在困难。

在今后的教学中，应加强这方面的训练，提高学生的应用能力。

同时，在教学过程中，要注重引导学生自主思考和合作交流，培养学生的创新思维和团队合作精神。