高考数学理一轮复习空间的角精品课件

∴△BFE为正三角形．
∵△ABE是等腰三角形，且∠BAE＝120°，
∴∠ABC＝90°.
以A为原点，AB、AS所成直线分别为x轴、z 轴，平面ABC内垂直于AB的直线为y轴建立 空间直角坐标系，
题型二 求直线和平面所成的角
思维提 示
①先作垂线找射影得到线面 角，再解直角三角形求得
②向量法
例3 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝ 90°，AC＝2BC，A1B⊥B1C.求B1C与侧面 A1ABB1所成角的正弦值．
[分析] (1)寻找线面平行的条件利用判定定理 证明；
[规律总结] 求异面直线所成角分四步：作， 证，求，答．“作”即过空间一点作两条异面 直线的平行线，而空间一点一般取在两条异 面直线中的一条上，特别是某些特殊点处， 例如“端点”或“中点”处；“证”即证明所作角符 合异面直线所成角的定义；“求”是通过解三 角形，计算出所作角的大小；“答”即最后指 明结论．
求异面直线所成的角要注意以下两点：①当 两条异面直线互相垂直时，欲求它们所成的 角，实际上是要通过证明来实现；②当利用 解斜三角形有关知识求出的角为钝角时，应 取其补角作为异面直线所成角的大小.
备选例题1 本例已知条件不变，求异面直 线AD1和OC1所成的角．
例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面 ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝ ， BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．求直线AC 与PB所成角的余弦值．
(2)根据分割原理，将研究的二面角看成是其 他二面角的和或差，而且这其他的二面角大 小又易求得.
备选例题4 如图，在长方体ABCD－ A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝BB1＝1，E为 D1C1的中点，求二面角E－BD－C的正切 值．
例5 如图(1)，已知ABCD是上、下底边长分 别为2和6，高为 的等腰梯形，将它沿对称 轴OO1折成直二面角，如图(2)．
①按“作，证，求，答”的步骤 求解
②作出异面直线所成的角，可
通过多种方法平移产生，但常
思维提 示
用以下三种方法：a.直接平移 法(可利用图中已有的平行线)； b.中位线平移法(利用三角形中
位线定理等)；c.补形平移法(在
已知图形中，补作一个相同的
例1 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝3，BC＝AA1＝4，点O是AC的中 点． (1)求证：AD1∥平面DOC1； (2)求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值．
备选例题2 如图，在五棱锥S－ABCD中， SA⊥底面ABCDE，SA＝AB＝AE＝2，BC＝ DE＝ ，∠BAE＝∠BCD＝∠CDE＝120°.求 异面直线CD与SB所成的角(用反三角函数值 表示)．
解法二：如图(2)，连结BE，延长BC、ED交 于点F，则∠DCF＝∠CDF＝60°.又BC＝DE， ∴BF＝EF.
[分析] 异面直线所成的角可通过平移，转化 为相交直线所成的角．
[规律总结] 求异面直线的夹角最关键是要 找出一个点，把其作为角的顶点，然后再把 两个异面直线“平移”过来，这个“角”就完成 了．这个点也许在异面直线上，也许在空 间．这个点有时很好找，但有时不容易找出， 此时可考虑使用cosθ＝ 来求解.
2．求作异面直线所成角的方法
特殊点
(1)平移法：在异面直线中的一条直线上选择 一 ，作另一条直线的平行线；
(2)补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的 几何体，如正方体、平行六面体、长方体等， 其目的在于容易发现两条异面直线间的关 系．
3．范围：
．
二、直线与平面所成的角 1．定义：直线与平面所成的角是直线和它在 平面内的射影所成的角．当直线和平面平行 或直线在平面内时，称直线和平面成0° 角．当直线和平面垂直时，称直线和平面成 90°角．
又PA∥QB，且∠APC与∠BQD方向相同， ∴∠APC＝∠BQD， 又△APC与△BQD均是直角三角形．
∴∠PAC＝∠QBD，即两平行直线和同一平面 成等角．
[错因分析] 知识残缺，对直线与平面所成的 角未能分类讨论，导致证明不全面.
3．范围：
．
重点 辨析
解(证)与角有关的问题，通常是先“定位”，后 “定量”． 空间各种角的度量都是转化为平面角来实现 的，要熟练掌握各类角转化为平面角的方 法．求角的一般步骤是：①找出或作出有关 的平面角；②证明它符合定义；③化归到某 一个三角形中进行计算.
方法规律·归纳
题型一 求异面直线所成的角
例3 在棱长为1的正方体AC1中，P是AD的 中点，求二面角A－BD1－P的大小．
[错因分析] 作二面角的平面角方法较多给选 取恰当的方法带来困难，如方法不当带来理 解困难．另一方面如利用向量法求二面角一 定要搞清两平面的法向量所成的角与二面角 的关系．
例4 试证：两平行直线和同一个平面所成的 角相等．
[规律总结] 折叠问题的实质是以折线为棱构 成一个二面角，解决此类问题的关键是搞清 楚折叠前后的位置关系和数量关系的变化， 要注意抓住折叠前后同一半平面内的位置关 系和数量关系没有发生变化，从变与不变中 进行推理计算.
备选例题5 已知正四棱柱ABCD－ A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3. (1)求证：A1C⊥BD； (2)求直线A1C与侧面BB1C1C所成角的正切值； (3)求二面角B1－CD－B的正切值． 解：解法一：(1)证明：连结AC，如图(1)， 在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面 ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又侧棱 AA1⊥平面ABCD. ∴AC是A1C在平面ABCD内的射 影．∴A1C⊥BD. (2)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
2．求作二面角的方法 二面角的大小是用它的平面角 来度量的．找 (或作)出二面角的平面角，并且求出其大小， 主要有以下几种方法：
(1)定义法：直接在二面角的棱上取一点(特殊 点)，分别在两个半平面中作棱的垂线，得出 平面角，用定义法时，要认真观察图形的特 殊性．
(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点 到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定 理作出平面角．
题型三
求二面角
①按“作，证，求，答”的步 骤求解
思维提 ②作二面角的平面角的常用 示 方法有：定义法、三垂线定 理及逆定理法、棱的垂面法
③向量法
[规律总结] 解法一是首先作出二面角的平面 角，然后根据平行线的性质求得这个平面角， 这种方法关键在于作出二面角的平面角；解 法二则是利用分割原理，将所求二面角看成 是二面角A1－B1E－B与二面角A－B1E－B的 差．近两年高考题中这种思想方法在试题中 有较多体现．本题处理二面角的方法：
解法二：(1)证明：同解法一；
(2)如图(2)，以点D为坐标原点，以DA、DC、 DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标系，则相关点的坐标为D(0,0,0)， C(0,2,0)，A1(2,0,3)．
例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，若E、F分别为AB和BB1的中点，求A1E 与CF所成角的余弦值．
[错因分析] 失误有二：其一不能利用给定图 形进行选点平移线，其二忽视异面直线所成 角的范围而求其是钝角的情形．
例2 如图，在直二面角α－l－β内有线段AB， A∈面α，B∈面β，且AB与面β所成的角是 45°.如果AB在平面β内的射影与棱l所成角为 45°，求AB与面α所成的角．
[错因分析] 线面角的求解，关键在平面内添 射影．找到线面角归结到三角形中进行求解，由条件作出平面角，这也是解 题中的难点．二面角的平面角有三种常用作 法：①作二面角的平面角可以根据平面角的 定义从棱上一点出发，分别在两个半平面内 作棱的垂线，即得；②利用三垂线定理作二 面角的平面角；③通过与棱垂直的平面作出
对于无棱二面角的棱的确定有以下三种途径； ①由二面角两个面内的两条相交线确定棱； ②由二面角两个面内的两条平行直线找出棱； ③补形构造几何体发现棱．
2．求作直线和平面所成角的方法
斜线和平面所成的角是一个直角三角形的锐 角，它的三条边分别是平面的垂线段，斜线 段及斜线段在平面内的射影．其中的关键是
三、二面角
1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角 的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
第四节 空间的角
知识自主·梳理
1.掌握两条直线所成的角的概 念．
最新考纲
2．掌握直线和平面所成的角的 概念．
3．掌握二面角、二面角的平面 角的概念．
1.以客观题考查异面直线所成的 角．
高考热点 2．以解答题考查直线和平面所
一、异面直线所成的角
1．定义：已知两条异面直线a、b，经过空间 任意一点O，作a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所 成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角 (或夹角)．
备选例题3 如图，在三棱锥V－ABC中， VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点， 且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ(0＜θ＜ )．
(1)求证：平面VAB⊥平面VCD； (2)当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成 角的取值范围．
解：解法一：(1)证明：∵AC＝BC＝a， ∴△ACB是等腰三角形．又D是AB的中点， ∴CD⊥AB.又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB. 于是AB⊥平面VCD. 又AB⊂平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD. (2)过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由 (1)知CH⊥平面VAB. 连结BH(如图(1))，则∠CBH就是直线BC与平 面VAB所成的角．
(3)垂画法：已知二面角内一点到两个面的垂
线时，这两垂线作平面与两个平面的交线所
成的角即为平面角，由此可知，二面角的平
面角所成的平面与棱垂直．S射＝S投cosθ
(4)射影法：利用面积射影公式
，
其中θ为平面角的大小，此方法不必在图中画
出平面角来．
对于没有给出[0棱，π的] 二面角，应先延伸两个半 平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方 法．
[解题思路] 已知：a∥b，求证：a，b与α所 成角相等．
(1)若a⊥α，则由a∥b，知b⊥α. ∴a，b与α所成角相等，都为90°. (2)若a∥α(或a⊂α)，则b∥α或b⊂α. 此时，a，b与α所成角相等，都为0°.
(3)如图，a∥b，a∩α＝A，b∩α＝B，分别在 直线a，b上取点P、Q过P、Q作PC⊥α于C点， 作QD⊥α于D点．连结AC、BD则∠PAC是直 线a与平面α所成角，∠QBD是直线b与平面α 所成角．由PC⊥α，QD⊥α，得PC∥QD.
(1)证明：AC⊥BO1； (2)求二面角O－AC－O1的大小．
图(4)
由三垂线定理得AC⊥BO1. (2)由(1)知AC⊥BO1，OC⊥BO1，∴BO1⊥平 面AOC.
设OC∩O1B＝E，过点E作EF⊥AC于F，连结 O1F，如图(4)，则EF是O1F在平面AOC内的 射影，由三垂线定理，得O1F⊥AC， 所以∠O1FE是二面角O－AC－O1的平面角．