函数的奇偶性

值、解析式、图像、单调性问题求解，充分体现了数学的转化
与化归思想.
(3)求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法：利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数 的恒等式，由系数的对等性得参数的方程求解. (4)应用奇偶性画图像和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的 单调性.
1．(2010年高考山东卷)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，
【解析】由奇函数图像对称性补出其在［-5,0)上的图像，由 图像知解集为(-2,0)∪(2,5］. 答案：(-2,0)∪(2,5］
函数奇偶性的应用 【方法点睛】应用函数奇偶性可解决的问题及方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，利用已知区间上 的解析式，再利用奇偶性求出，或利用奇偶性构造关于f(x)的 方程(组)，从而得到f(x)的解析式.
判定函数的奇偶性 【方法点睛】判定函数的奇偶性的常用方法及思路
(1)符号定义法：
确定定义域 定义域 关于原点对称 是 计算f(-x) 否 既不是奇函数 也不是偶函数
确定f(x)与f(-x)的关系
结论
(2)图像定义法：
函数奇偶性的应用 （1）已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1， 则f(－2)－f(－3)＝________. 解析：∵y＝f(x)为奇函数， ∴f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝1. 答案：1
≨a= 1 .
2
(3)已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2,则f(x)= _____. 【解析】由题意知f(0)=0,当x<0时，-x>0, ≨f(-x)=(-x)2=x2, 又f(-x)=-f(x),≨f(x)=-x2,
x 2 , x 0 综上，f (x) 0，x 0 . x 2 , x 0
变式训练：(2013·湖南高考)设f(x)是定义在R上的奇函数， g(x)为偶函数，且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g（1）=（ ）。
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
规范解答：选B f ( x)为奇函数 f (1) f (1) g ( x)为偶函数 g (1) g (1) f (1) g (1) 2 g (1) 3 f (1) g (1) 2 f (1) g (1) 4 f (1) g (1) 4
判定函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性． 1 (1)f(x)＝x3－ ； x (2)f(x)＝x2－x3； x ＋2x>0 (4)f(x)＝0x＝0 . －x2－2x<0
2
(3)f(x)＝ x2－1
1 1．函数 f(x)＝ －x 的图象关于( x A． y 轴对称 C．坐标原点对称
f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．－3
C． 1
B．－1
D． 3
2.(2011· 浙江高考)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则
实数a=_______.
【反思·感悟】利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、 求解析式、作图像、判定单调性问题转化为已知区间上的函数
x＋1x＋a (2)． 设函数 f(x)＝ 为奇函数， 则 a＝________. x
解析：∵f(x)为奇函数， ∴由f(－1)＝－f(1)，得a＝－1. 答案：－1
变式训练：(2011·辽宁高考)若函数 f (x) 数，则a=(
(A) 1 2
x 为奇函 (2x 1)(x a)
第五节 函数的奇偶性
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1.函数奇偶性、周期性的应用是高考的重要考向； 2.常与函数的图像、单调性、对称性、零点等综合命题; 3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题.
1.函数奇偶性的定义 原点 对称； (1)图像定f(x)为偶函数⇔图像关于____ (2)符号定义：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x f(-x)=f(x) ①f(x)为偶函数⇔___________; f(-x)=-f(x) ②f(x)为奇函数⇔____________.
) B．直线 y＝－x 对称
D．直线 y＝x 对称
1 解析：f(x)＝ －x 是奇函数，所以图象关于原点对称． x
答案：C
2(2012.广东高考)下列函数为偶函数的是（ A、 y x
答案：D 方法一：图像法。 方法二：解析式法。
3
） D、 y x
2
B、 y 2
x
n C、 y s i x
)
(B) 2 3 (C) 3 4 (D)1
【规范解答】选A.≧函数f(x)为奇函数,≨f(x)+f(-x)=0恒成立，
x x 0 即 (2x 1)(x a) (2x 1)(x a)
恒成立.可化为(2x+1)(x-a)=(2x-1)(x+a)恒成立.整理得
2(1-2a)x=0恒成立，则必有1-2a=0,
_________.
解答：由已知得f(x)在［0,+≦)上为增函数，且f(a)=f(|a|), ≧f(a)≥f(2),≨f(|a|)≥f(2),≨|a|≥2. 得:a≥2或a≤-2. 答案：a≥2或a≤-2
【变式备选】奇函数f(x)的定义域为［-5,5］.若当x∈［0,5］
时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)<0的解集是_____.
2 x 答案： , x 0 2 x ,x 0
变式训练：(2011·安徽高考)设f(x)是定义在R上的奇函 数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(x)=_____
(4) (2012·咸阳模拟)已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在 (-∞,0］上是减函数，若f(a)≥f(2),则实数a的取值范围是