人教版九的级数学下册第二十七章 相似单元练习题(含答案)

人教版九的级数学下册第二十七章相似单元练习题（含答案）
一、选择题
1.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上，有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A、B间距离的有()
A．4组
B．3组
C．2组
D．1组
2.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，则边C1D1的长是()
A．10
B．12
C．
D．
3.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC.如果BC＝24 m，BD＝12 m，DE＝40 m，则河的宽度AB约为()
A．20 m
B．18 m
C．28 m
D．30 m
4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC＝1∶2，那么S△AOD∶S△BOC是()
A．1∶3
B．1∶4
C．1∶5
D．1∶6
5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－4,8)，B(－10，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是()
A．(－2,4)
B．(－8,16)
C．(－2,4)或(2，－4)
D．(－8,16)或(8，－16)
6.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝2，BD＝4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是()
A．＝
B．＝
C．＝
7.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F.若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是()
A．6
B．8
C．9
D．12
8.如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D.
①△OB1C∽△OA1D;
②OA·OC＝OB·OD；
③OC·G＝OD·F1；
④F＝F1.
其中正确的说法有()
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9.在平面直角坐标系中，△ABC顶点A(2,3)．若以原点O为位似中心，画三角形ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为，则A′的坐标为()
B．(，6)
C．(3，)或(－3，)
D．(，6)或(，－6)
10.下列各组图形相似的是()
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11.两三角形的相似比为1∶4，它们的周长之差为27 cm，则较小三角形的周长为__________．
12.如图，在△ABC与△ADE中，＝，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是__________．
13.已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为1，△DEF的周长为3，则△ABC与△DEF的面积之比为________．
14.如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，要使△ABE∽△ACD，则需要添加的一个条件是：________________.
15.已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，则＝________.
16.如图，根据所给信息，可知的值为______________．
17.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.
18.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是______________．
19.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分. ①，②，③这三块的面积比依次为1∶4∶41，那么④，⑤这两块的面积比是____________．
20.将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见．如，我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值．这个比值是__________．
三、解答题
21.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.
(1)求证：直线DM是⊙O的切线；
(2)求证：DE2＝DF·DA.
22.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)和直线l，按要求画图．
(1)作出四边形ABCD关于直线l成轴对称的四边形A′B′C′D′；
(2)以B为位似中心，在点B的下方将四边形ABCD放大2倍得到四边形A1B1C1D1，画出四边形A1B1C1D1.
23.如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC.
(1)求证：BC平分∠PBD；
(2)求证：PC2＝PA·PB；
(3)若PA＝2，PC＝2，求阴影部分的面积(结果保留π).
24.△ABC∽△A′B′C，顶点A、B、C分别与A′、B′、C′对应，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC、AC、A′B′、A′C′的长度．
25.如图，在△ABC中，DE∥BC.
(1)与有什么关系？过E点作EF∥AB，与有什么关系？
(2)由(1)可知与有什么关系？根据三角形相似的定义可知△ABC与△ADE相似吗？
(3)你能根据上面的结论证明三组对应边的比相等的两个三角形相似吗？
26.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE.
27.如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1＝∠2＝∠A.
图1
图2
(1)如图1，若AB＝AC，求证：BE＝CF；
(2)若图2，若AB≠AC，
①(1)中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；
②求证：＝.
28.如图，△AED∽△ABC，相似比为1∶2.若BC＝6，则DE的长是多少？
答案解析
1.【答案】B
【解析】①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
③因为△ABD∽△EFD，可利用＝，求出AB；
④无法求出A，B间距离．
故共有3组可以求出A，B间距离．
故选B.
2.【答案】C
【解析】∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴＝，
∵AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，
∴C1D1＝＝.
故选C.
3.【答案】B
【解析】∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
即＝，
∴AB＝18.
故选B.
4.【答案】B
【解析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD∶S△ABC＝1∶2，
∴AD∶BC＝1∶2；
∵AD∥BC，
∴△AOD～△BOC，
∵AD∶BC＝1∶2，
∴S△AOD∶S△BOC＝1∶4.
故选B.
5.【答案】C
【解析】以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是(－4×，8×)或，即点A′的坐标为(－2,4)或(2，－4)．
故选C.
6.【答案】C
【解析】只有选项C正确，
理由是：∵AD＝2，BD＝4，＝，
∴＝＝=，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
根据选项A、B、D的条件都不能推出DE∥BC，
故选C.
7.【答案】D
【解析】∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
∴BC＝8，
∴AC＝AB＋BC＝12，
故选D.
8.【答案】D
【解析】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，
∴B1C∥A1D，
∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；
∴＝，
由旋转的性质，得OB＝OB1，OA＝OA1，
∴OA·OC＝OB·OD，故②正确；
由杠杆平衡原理，OC·G＝OD·F1，故③正确；
∴＝＝＝是定值，
∴F1的大小不变，
∴F＝F1，故④正确．
综上所述，说法正确的是①②③④.
故选D.
9.【答案】C
【解析】∵△ABC与△A′B′C′的相似比为，
∴△A′B′C′与△ABC的相似比为，
∵位似中心为原点O，
∴A′(2×，3×)或A′(－2×，－3×)，
即A′(3，)或A′(－3，－)．
故选C.
10.【答案】B
【解析】A.形状不同，大小不同，不符合相似定义，故错误；B．形状相同，但大小不同，符合相似定义，故正确；
C．形状不同，不符合相似定义，故错误；
D．形状不同，不符合相似定义，故错误．
故选B.
11.【答案】9 cm
【解析】令较大的三角形的周长为x cm.
小三角形的周长为(x－27) cm，
由两个相似三角形对应中线的比为1∶4，得
1∶4＝(x－27)∶x，
解之得x＝36，
x－27＝36－27＝9 cm.
12.【答案】∠B＝∠E
【解析】添加条件：∠B＝∠E；
∵＝，∠B＝∠E，
∴△ABC∽△AED，
13.【答案】1∶9
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为1，△DEF的周长为3，∴△ABC与△DEF的周长比为1∶3，
∴△ABC与△DEF的相似比为1∶3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1∶9，
14.【答案】∠B＝∠C(答案不唯一)
【解析】要使△ABE∽△ACD，则需要添加的一个条件是：∠B＝∠C，理由如下：
∵∠A＝∠A，∠B＝∠C，
∴△ABE∽△ACD，
15.【答案】
【解析】∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，
∴＝＝.
16.【答案】
【解析】由题意可得：△ABC∽△A′B′C′，
且＝，
故的值为.
17.【答案】
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝.
故答案为.
18.【答案】(4,2)或(－4，－2)
【解析】如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2，点B的对应点B1的坐标是(4,2)或(－4，－2)．
19.【答案】9∶14
【解析】由题意，得①、②、④都是等腰直角三角形，
∵①，②这两块的面积比依次为1∶4，
∴设①的直角边为x，
∴②的直角边为2x，
设正方形的边长为y，
∵①，③这两块的面积比依次为1∶41，
∴①∶(①＋③)＝1∶42，
即x2∶3xy＝1∶42，
∴y＝7x，
∴④的面积为6x·6x÷2＝18x2，⑤的面积为4x·7x＝28x2，
∴④，⑤这两块的面积比是18x2∶28x2＝9∶14.
20.【答案】
【解析】由题意，得四边形ABFE∽四边形ADCB，
∴＝，
∴AB2＝，
∴＝.
21.【答案】证明(1)如图所示，连接OD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，
∴∠BDM＝∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
∴直线DM是⊙O的切线；
(2)如图所示，连接BE，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE，∴∠BAE＋∠ABE＝∠CBD＋∠CBE，
即∠BED＝∠EBD，
∴DB＝DE，
∵∠DBF＝∠DAB，∠BDF＝∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴＝，即DB2＝DF·DA，
∴DE2＝DF·DA
【解析】
22.【答案】解(1)如图，四边形A′B′C′D′即为所求；
(2)如图，四边形A1B1C1D1即为所求．
【解析】(1)分别作出点A、B、C、D关于直线l的对称点，顺次连接即可得；
(2)延长AB到A1，使BA1＝2BA，同理分别作出点D、C的对应点，顺次连接即可得．23.【答案】(1)证明连接OC，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴BD∥OC，
∴∠DBC＝∠BCO,
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠CBD，
∴BC平分∠PBD；
(2)证明连接AC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠BCO＝∠ACO＋∠ABC＝90°，
∵∠PCA＋∠ACO＝90°，
∴∠ACP＝∠ABC，
∵∠P＝∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴＝，
∴PC2＝PA·PB；
(3)解∵PC2＝PA·PB，PA＝2，PC＝2，
∴PB＝6，
∴AB＝4，
∴OC＝2，PO＝4，
∴∠POC＝60°，
∴S
＝S△POC－S扇形＝×2×2－＝2－π.
阴影
【解析】
24.【答案】解∵△ABC∽△A′B′C，它们的周长分别为60 cm和72 cm，
∴两三角形相似之比为60∶72＝5∶6，
∵AB＝15 cm，
∴＝，
∴A′B′＝18(cm)，
∵B′C′＝24 cm，
∴A′C′＝72－18－24＝30(cm)，
∴＝＝，
解得BC＝20(cm)，AC＝25(cm)，
答：BC、AC、A′B′、A′C′的长度分别为20 cm,25 cm,18 cm,30 cm.
【解析】根据相似三角的性质得出相似比，进而得出A′B′的长，即可分别得出BC、AC、A′C′的长度．
25.【答案】解(1)∵DE∥BC，
∴＝；
∵EF∥AB，
∴＝；
(2)∵DE∥BF，EF∥AB，
∴四边形BFED为平行四边形，
∴DE＝BF，
∴＝，
∴＝，
∴根据三角形相似的定义可知，△ABC与△ADE相似；
(3)两个三角形三组对应边的比相等的三角形相似．
【解析】(1)根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得到＝；由EF∥AB得到＝；
(2)由DE∥BF，EF∥AB，则可判断四边形BFED为平行四边形，所以DE＝BF，则＝，所以＝，于是根据三角形相似的定义可知，△ABC与△ADE相似；
(3)两个三角形三组对应边的比相等的三角形相似．
26.【答案】证明如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1＋∠2＝180°－∠B＝135°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠2＋∠3＝135°，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE.
【解析】先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠B＝∠C＝45°，再利用三角形内角和得到∠1＋∠2＝135°，利用平角定义得到∠2＋∠3＝135°，则∠1＝∠3，于是可根据有两角对应相等的两个三角形相似得到结论．
27.【答案】(1)证明∵AB＝AC，
∴∠EBC＝∠FCB，
在△BCE与△CBF中，
∴△BCE≌△CBF,
∴BE＝CF；
(2)解①成立，理由如下：作∠A的平分线交BC于点D，连接DE、DF，
则∠DAF＝∠DAE＝∠A，
∵∠1＝∠2＝∠A，
∴∠DAF＝∠DAE＝∠1＝∠2，
∴A、B、D、F四点与A、E、D、C四点分别共圆，
∴BD＝DF，DE＝DC，
∵∠BDE＝∠A，∠CDF＝∠A，
∴∠BDE＝∠CDF，
在△DEB与△DCF中，
∴△DEB≌△DCF，
∴BE＝CF；
②由上面的证明易知，△DFB与△DEC均为等腰三角形，
∵∠1＝∠2，
∴△DFB∽△DEC，
∴＝，
∵AD是△ABC的内角平分线，
∴＝，
∴＝.
【解析】
28.【答案】解∵△AED∽△ABC，
∴DE∶CB＝1∶2，
∵BC＝6，
∴DE∶6＝1∶2，
∴DE＝3.
【解析】由△AED∽△ABC，相似比为1∶2，可得DE∶CB＝1∶2，又由BC＝6，即可求得DE的长．
人教版九年级下册第二十七章相似单元练习题（含答案）
一、选择题
1.在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，根据下列条件，能判断△ABC和△DEF相似的是()
A．＝
B．＝
C．∠A＝∠E
D．∠B＝∠D
2.如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD＝60°，AM交BC于E.当M为BD中点时，的值为()
A．
B．
C．
D．
3.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F.若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是()
A．6
B．8
C．9
D．12
4.如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是()
A．相似
B．平移
C．轴对称
D．旋转
5.下列各组图形相似的是()
A．
B．
C．
D．
6.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：(1)＝，(2)＝；(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有()
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
7.如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交AD于点F、G，BC＝6，AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，则AB的长为()
A．1
B．
C．
D．2
8.下列说法中正确的是()
①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；
②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；
③有一个角对应相等的平行四边形都相似；
④有一个角对应相等的菱形都相似．
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
9.已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为()
A．1∶2
B．1∶4
C．2∶1
D．4∶1
10.若△ABC～△A′B′C′，面积比为1∶4，则△ABC与△A′B′C′的相似比为()
A．16∶1
B．1∶16
C．2∶1
D．1∶2
二、填空题
11.如图所示，C为线段AB上一点，且满足AC∶BC＝2∶3，D为AB的中点，且CD＝2 cm，则AB＝________ cm.
12.如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为(2,4)，点E的坐标为(－1,2)，则点P的坐标为________．
13.在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N；若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN
的长为__________．
14.两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线______________________，那么这样的两个图形叫做位似图形．
15.在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝5 cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，则AD＝__________ cm.
16.如果两个相似三角形周长的比是2∶3，那么它们的相似比是____________．
17.如图，AD为△ABC的中线，AE＝AD，BE交AC于点F，DH∥BF，则＝__________.
18.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五，同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸(提示：仗和尺是古代的长度单位，1丈＝10尺，1尺＝10寸)，可以求出竹竿的长为______________尺．
19.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上，以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是______________．
20.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边
长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.
三、解答题
21.如图，AC是圆O的直径，AB、AD是圆O的弦，且AB＝AD，连接BC、D C.
(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)延长AB、DC交于点E，若EC＝5 cm，BC＝3 cm，求四边形ABCD的面积．
22.问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息
如图1：甲组：测得一根直立于平地，长为80 cm的竹竿的影长为60 cm；
如图2：乙组：测得学校旗杆的影长为900 cm；
如图3：丙组：测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为350 cm，影长为300 cm.
解决问题：
(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度？
(2)如图3，设太阳光线MH与⊙O相切于点M，请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径？
23.如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB＝∠B，点E在边AC上，满足AE·CD＝AD·CE.
(1)求证：DE∥AB；
(2)如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，连接AF.求证：DF＝AF.
24.如图所示，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且CE＝BD，BE、AD相交于点F.求证：
(1)△ABD≌△BCE；
(2)△AEF∽△ABE.
25.如图，已知：D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，且△ABC∽△ADE，AD∶DB＝1∶3，DE＝2，求BC的长．
26.将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折，可得到的矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN.
(1)矩形BCFE，AEML，GMFH，LGPN，长和宽的比变了吗？
(2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？
(3)你认为这些大小不同的矩形相似吗？
27.如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°.
(1)若将△DEP的顶点P放在BC上(如图1)，PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G.求证：△PBG∽△FCP；
(2)若使△DEP的顶点P与顶点A重合(如图2)，PD、PE与BC相交于点F、G.试问△PBG与△FCP 还相似吗？为什么？
28.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE.
答案解析1.【答案】B
【解析】在△ABC和△DEF中，
∵＝＝，
∴△ABC∽△DEF，
故选B.
2.【答案】B
【解析】作DK∥BC，交AE于K.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB＝AC，∠ABC＝∠C＝60°，
∵∠AMD＝60°＝∠ABM＋∠BAM，
∵∠ABM＋∠CBD＝60°，
∴∠BAE＝∠CBD，
在△ABE和△BCD中，
∴△ABE≌△BCD，
∴BE＝CD，CE＝AD，
∵BM＝DM，∠DMK＝∠BME，∠KDM＝∠EBM，
∴△MBE≌△MDK，
∴BE＝DK＝CD，设BE＝CD＝DK＝a，AD＝EC＝b，∵DK∥EC，
∴＝，
∴＝，
∴a2＋ab－b2＝0，
∴＋－1＝0，
∴＝或(舍弃)，
∴＝＝，
故选B.
3.【答案】D
【解析】∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
∴BC＝8，
∴AC＝AB＋BC＝12，
故选D.
4.【答案】A
【解析】根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选A.
5.【答案】B
【解析】A.形状不同，大小不同，不符合相似定义，故错误；
B．形状相同，但大小不同，符合相似定义，故正确；
C．形状不同，不符合相似定义，故错误；
D．形状不同，不符合相似定义，故错误．
故选B.
6.【答案】C
【解析】共有3组，其组合分别是(1)和(2)三边对应成比例的两个三角形相似；
(2)和(4)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
(3)和(4)两角对应相等的两个三角形相似．
故选C.
7.【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝6，∠A＝∠D＝90°，
∵∠E＝90°，
∴∠EFG＋∠EGF＝90°，
∴∠AFB＋∠DGC＝90°，
∵∠AFB＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DGC，
∴△AFB∽△DCG，
∴＝，
∵AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，
∴AF＝3，DG＝1，
∴AB2＝AF·DG＝3，
∴AB＝.
故选C.
8.【答案】D
【解析】①虽然各对应边成比例，但是各对应角不一定相等，所以不相似，比如：所有菱形的对应边都成比例，但是它们不一定相似；
②两个矩形有一组邻边对应成比例，就可以得出四条边对应成比例，并且它们的角都是90°，所以这两个矩形相似；
③有一个角对应相等的平行四边形的对应边不一定成比例，所以不一定相似；
④有一个角对应相等就可以得出菱形的其他角对应相等，并且菱形的对应边是成比例的，所以相似．
故选D.
9.【答案】A
【解析】∵△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面积：△DEF的面积＝△ABC与△DEF的周长之比的平方，
而△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，
∴△ABC与△DEF的周长之比＝1∶2.
故选A.
10.【答案】D
【解析】∵△ABC相似△A′B′C′，面积比为1∶4，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2.
故选D.
11.【答案】20
【解析】∵AC∶BC＝2∶3，
∴设AC＝2x，则BC＝3x，AB＝5x，
∵D为AB的中点，
∴AD＝2.5x，
∴CD＝0.5x，
∵CD＝2 cm，
∴x＝4，
∴AB＝5x＝5×4＝20 cm；
12.【答案】(－2,0)
【解析】∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为(2,4)，
∴OC＝AB＝4，OA＝2，
∴点C的坐标为(0,4)，
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为(－1,2)，
∴位似比为1∶2，
∴OP∶AP＝OD∶AB＝1∶2，
设OP＝x，则＝，
解得：x＝2，
∴OP＝2，
即点P的坐标为(－2,0)．
13.【答案】1
【解析】∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴MN＝1，
故答案为1.
14.【答案】相交于一点
【解析】两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形．
15.【答案】2或
【解析】∵S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，
∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9，
∴△ADE与△ABC相似比为∶1∶3，
①若∠AED对应∠B时，
则＝，
∵AC＝5 cm，
∴AD＝cm；
②当∠ADE对应∠B时，则＝，
∵AB＝6 cm，
∴AD＝2 cm；
16.【答案】2∶3
【解析】∵两个相似三角形周长的比是2∶3，
∴两个相似三角形相似比是2∶3.
17.【答案】
【解析】∵DH∥BF，AD为△ABC的中线，
∴CH＝FH，
∵DH∥BF，AE＝AD，
∴AF＝FH.
∴＝，
18.【答案】45
【解析】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴＝，解得x＝45.
19.【答案】(4,2)或(－4，－2)
【解析】位似图形如图所示，B1(4,2)，B2(－4，－2)，
故答案为(4,2)或(－4,2)．
20.【答案】16
【解析】由图形的变化规律可得
×256＝，
解得n＝16.
21.【答案】(1)证明∵AC是圆O的直径，
∴∠ABC＝∠D＝90°，
在Rt△ABC与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC；
(2)解由(1)知Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴CD＝BC＝3，AD＝AB，
∴DE＝5＋3＝8，
∵∠EAD＝∠ECB，∠D＝∠EBC＝90°，
∴△EAD∽△ECB，
∴＝，
∵BE＝＝4，
∴＝，
∴AD＝6，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC＋S△ACD＝2××3×6＝18 cm2【解析】
22.【答案】解(1)∵同一时刻物高与影长成正比，
∴＝，
即＝，
解得DE＝1 200 cm；
(2)连接OM，设OM＝r，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴＝，
即＝，
解得NG＝400 cm，
在Rt△NGH中，NH＝＝＝500 cm，设⊙O的半径为r，
∵MH与⊙O相切于点M，
∴OM⊥NH，
∴∠NMO＝∠NGH＝90°，
又∵∠ONM＝∠GNH，
∴△NMO∽△NGH，
∴＝，
即＝，
又∵NO＝NK＋KO＝(NG－KG)＋KO＝400－350＋r＝50＋r，∴500r＝300(50＋r)，
解得r＝75 cm.
故景灯灯罩的半径是75 cm.
【解析】(1)根据同一时刻物高与影长成正比即可求出旗杆的高度；
(2)先根据同一时刻物高与影长成正比求出NG的长，再连接OM，由切线的性质可知OM⊥NH，进而可得出△NMO∽△NGH，再根据其对应边成比例列出比例式，然后用半径表示出ON，进行计算即可求出OM的长．
23.【答案】证明(1)∵AE·CD＝AD·CE，
∴＝，
∵∠DAB＝∠B，
∴AD＝BD，
∴＝，
∴DE∥AB；
(2)∵BD是DF和AB的比例中项，
∴BD2＝DF·AB，
∵AD＝BD，
∴AD2＝DF·AB，
∴＝＝1，
∵DE∥AB，
∴∠ADF＝∠BAD，
∴△ADF∽△DBA，
∴＝，
∴DF＝AF.
【解析】
24.【答案】证明(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝∠BAC＝60°，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE(SAS)；
(2)∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠EAF＝∠ABE，
∵∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△ABE.
【解析】(1)由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，继而根据SAS即可证得△ABD≌△BCE；
(2)由△ABD≌△BCE，可证得∠BAD＝∠CBE，进一步得到∠EAF＝∠ABE，然后根据有两角对应相等的三角形相似，即可得△AEF∽△ABE.
25.【答案】解∵AD∶DB＝1∶3，
∴AD∶AB＝1∶4，
∵△ABC∽△ADE，
∴AD∶AB＝DE∶BC，
∵DE＝2，
∴BC＝8.
【解析】先根据AD∶DB＝1∶3，变形得到AD∶AB的值，再根据相似三角形对应边成比例求解即可．
26.【答案】解(1)矩形BCFE，AEML，GMFH，LGPN，长和宽的比不变；
(2)在这些矩形中，有成比例的线段．
(3)这些大小不同的矩形相似．
【解析】(1)所有矩形的长、宽之比为；
(2)第一个矩形的宽为对折后矩形的长，则得到成比例的线段；
(3)根据相似多边形的定义回答．
27.【答案】(1)证明如图1，
∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，
∴∠BPG＋∠CPF＝135°，
在△BPG中，∵∠B＝45°，
∴∠BPG＋∠BGP＝135°，
∴∠BGP＝∠CPF，
∵∠B＝∠C，
∴△PBG∽△FCP；
(2)解△PBG与△FCP相似．理由如下：
如图2，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，
∵∠BGP＝∠C＋∠CPG＝45°＋∠CAG，
∠CPF＝∠FPG＋∠CAG＝45°＋∠CAG，
∴∠AGP＝∠CPF，
∵∠B＝∠C，
∴△PBG∽△FCP.
【解析】(1)如图1，先根据等腰直角三角形的性质，得∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，再利用平角定义得到∠BPG＋∠CPF＝135°，利用三角形内角和定理得到∠BPG＋∠BGP＝135°，根据等量代换得∠BGP＝∠CPF，加上∠B＝∠C，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；
(2)如图2，由于∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，利用三角形外角性质，得∠BGP＝∠C＋∠CPG＝45°＋∠CAG，而∠CPF＝45°＋∠CAG，所以∠AGP＝∠CPF，加上∠B＝∠C，于是可判断△PBG∽△FCP.
28.【答案】证明如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1＋∠2＝180°－∠B＝135°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠2＋∠3＝135°，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE.
【解析】先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠B＝∠C＝45°，再利用三角形内角和得到∠1＋∠2＝135°，利用平角定义得到∠2＋∠3＝135°，则∠1＝∠3，于是可根据有两角对应相等的两个三角形相似得到结论．
人教版九年级下册第二十七章《相似》单元测试（含答案）
一、选择题
1、如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（）
A．12.5 B．12 C．8 D．4
2、已知线段AB=4，点P是它的黄金分割点，AP＞PB，则PB=（）
A． B． C．2﹣4 D．6﹣2
3、已知=，那么的值为（）
A． B． C． D．
4、矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（）
A．a=4，b=+2 B．a=4，b=﹣2 C．a=2，b=+1 D．a=2，b=﹣1
5、正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点P
从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）
A．2 B．1 C．4 D．
6、如图，△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（）
A． B． C． D．
7、如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）
A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
8、如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是（）
A．∠B=∠D B． = C．AD∥BC D．∠BAC=∠D
9、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B，C的一动点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．若AC=3，BC=4，则△AQP的面积的最大值是（）
A． B． C． D．
二、填空题
10、已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= ．
11、在比例尺为1：1000 000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是__________千米．
12、如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，直径MN⊥BC于点D，与AC边相交于点E，若⊙O的半径为
2，OE=2，则OD的长为．
13、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，A P= ．
14、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，四边形DEFB是菱形，AB=6，BC=4，那么AD= ．
15、如图，点O为四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似中心，OA1=3OA，若四边形ABCD的面积为5，则四边形A1B1C1D1的面积为．
16、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为．
17、如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE= .
三、简答题
18、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（﹣2，3），将点O，A，B，C的横坐标、纵坐标都乘以﹣2．
（1）画出以变化后的四个点为顶点的四边形；
（2）由（1）得到的四边形与四边形OABC位似吗？如果位似，指出位似中心及与原图形的相似比．
19、如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．
（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量
关系？请说明理由．
20、如图：△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°
求证：（1）△PAC∽△BPD；
（2）若AC=3，BD=1，求CD的长．
21、已知，如图，Rt△ABC中∠B=90°，Rt△DEF中∠E=90°，OF=OC，AB=6，BF=2，CE=8，CA=0，DE=15．
（1）求证：△ABC∽△DEF；
（2）求线段DF，FC的长．
22、我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.
(1) 等边三角形“內似线”的条数为；
(2) 如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；
(3) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长.
参考答案
一、选择题
1、C解：∵AD∥BE∥CF，
∴=，即=，
解得，EF=8，
2、D解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，AB=4，
∴PB=4×=6﹣2；
3、B解：∵=，
∴设a=2k，则b=3k，
则原式==．
4、D解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，
∴=，
∴a=2，b=﹣1，
5、B解：如图，连接AC，设AC的中点为O′．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°
∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC=90°
∠APB+∠BAP=90°
∴∠BAP=∠QPC
∴△ABP∽△PCQ
∴=，即=，
∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣2）2+1（0＜x＜4）；
∴当x=2时，y有最大值1cm
易知点M的运动轨迹是M→O→M，CQ最大时，MO=CQ=，∴点M的运动轨迹的路径的长为2OM=1，
6、D解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，∴，A错误；
∴，C错误；
∴，D正确；
不能得出，B错误；
7、A解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC．
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，
∴=
8、A解：∵∠C=∠AED=90°，∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，故A选项不能证明相似；∵∠C=∠AED=90°，，
∴，即sin∠B=sin∠DAE，
∴∠B=∠DAE，
∴△ABC∽△DAE，故选项B可以证明相似；∵AD∥BC，
∴∠B=∠DAE，
∵∠C=∠AED=90°，
∴△ABC∽△DAE，故选项C可以证明相似；∵∠BAC=∠D，∠C=∠AED=90°，
∴△ABC∽△DAE，故选项D可以证明相似；
9、C
二、填空题
10、6．解：若b是a、c的比例中项，
即b2=ac．则b===6．
11、30 ．
【考点】比例线段．
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，可知实际距离=图上距离÷比例尺．【解答】解：根据题意，3÷=3000 000厘米=30千米．
即实际距离是30千米．
故答案为：30．
【点评】本题考查了比例线段的定义及比例尺，属于基础题型，比较简单．12、2．【解答】解：连接BO并延长交AC于F，如图，
∵BA=BC，
∴=，
∴BF⊥AC，
∵直径MN⊥BC，
∴BD=CD，
∵∠BOD=∠EOF，
∴Rt△BOD∽Rt△EOF，
∴===，
设OF=x，则OD=x，
∵∠DBO=∠DEC，
∴Rt△DBO∽Rt△DEC，
∴=，即=，
而BD=CD，
∴DB2=x（x+2）=3x2+2x，
在Rt△OBD中，3x2+2x+3x2=（2）2，解得x1=，x2=﹣（舍去），∴OD=x=2．
故答案为
13、3【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR=90°=∠MPN，
∴∠QPE=∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴==2，
∴PQ=2PR=2BQ，
∵PQ∥BC，
∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，
∴x=，
∴AP=5x=3．
14、；解：∵四边形DEFB是菱形，
∴BD=BF=DE，DE∥BF，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即，
解得：AD=
15、45解：∵点O为四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的位似中心，OA1=3OA，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的相似比为：1：3，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积比为：1：9，
∵四边形ABCD的面积为5，
∴四边形A1B1C1D1的面积为：5×9=45．
16、（3，4）或（0，4）．【解答】解：设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=2x﹣8，
同理可得：直线AB的解析式为：y=x﹣2，直线BC的解析式为：y=﹣x+10，∵△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），
∴过这两点的直线为：y=2x+1，
∴过这两点的直线与直线AC平行，
①若A的对应点为A1（1，3），C的对应点为C1（2，5），
则B1C1∥BC，B1A1∥BA，
设直线B1C1的解析式为y=﹣x+a，直线B1A1的解析式为y=x+b，
∴﹣2+a=5，+b=3，
解得：a=7，b=，
∴直线B1C1的解析式为y=﹣x+7，直线B1A1的解析式为y=x+，
则直线B1C1与直线B1A1的交点为：（3，4）；
②若C的对应点为A1（1，3），A的对应点为C1（2，5），
则B1A1∥BC，B1C1∥BA，
设直线B1C1的解析式为y=x+c，直线B1A1的解析式为y=﹣x+d，
∴×2+c=5，﹣1+d=3，
解得：c=4，d=4，
∴直线B1C1的解析式为y=x+4，直线B1A1的解析式为y=﹣x+4，
则直线B1C1与直线B1A1的交点为：（0，4）．
∴△A1B1C1的第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）．。