专题13 函数的概念与性质(基础测评卷)高一数学单元复习(人教A版2019必修第一册)含答案

．．C．D．【答案】A
4．已知函数y ＝21,02,0
x x x x ì+£í->î，则使函数值为5的x 的值是（ ）
A ．2-或2
B ．2或52-
C ．2-
D ．2或2-或5
2
-【答案】C
【解析】当0x £时，令5y =，得215x +=，解得2x =-；
当0x >时，令5y =，得25x -=，解得52
x =-，不合乎题意，舍去.综上所述，2x =-，故选C.
5．（2020·浙江高一课时练习）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为 （）
A ．y 10x éù
=êúëûB ．3y 10x +éù
=êúëûC ．4y 10x +éù
=êúëûD ．5y 10x +éù
=êúëû
【答案】B
【解析】根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时增加一名代表，即余数分别为7,8,9时可以增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加3，因此利用取整函数可表示为310x y +éù=êúëû
，也可以用特殊取值法，若56,5x y ==，排除C ，D ，若57,6x y ==，排除A ，故选B ．
6．设函数f (x )(x ∈R)为奇函数，f (1)＝2
1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于(　C )A ．0 B ．1 C ．2
5 D ．5【答案】C
【解析】令x ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (2)．∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝－f (1)＋f (2)，∴21＝－21＋f (2)，∴f (2)＝1.令x ＝1，得f (3)＝f (1)＋f (2)＝21＋1＝2
3.令x ＝3，得f (5)＝f (2)＋f (3)＝2
5
7．（2020·甘肃城关兰州一中高三二模（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ³时,2()4f x x x =-,则不等式(2)5f x +<的解集为（ ）
A ．(3,7)
-B ．()4,5-C ．(7,3)-D ．()
2,6-【答案】C
【解析】当0x ³时,2()45f x x x =-<的解为05x <≤；当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<，
所以不等式()5f x <的解集为{}55x x -<<，
所以不等式(2)5f x +<的解集为{}{}52573x x x x -<+<=-<<.故选：C
8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4等于(　C )
A ．－6　
B ．6
C ．－8
D ．8
【答案】C
【解析】f (x )在R 上是奇函数，所以f (x －4)＝－f (x )＝f (－x )，故f (x )关于x ＝－2对称，f (x )＝m 的根关于x ＝－2对称，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4×(－2)＝－8.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．下列各组函数表示的是同一个函数的是(　BD )
A ．f (x )＝32x -与g (x )＝x ·x 2-
B ．f (x )＝|x |与g (x )＝x 2
C ．f (x )＝x ＋1与g (x )＝x ＋x 0
D ．f (x )＝x
x 与g (x )＝x 0
【答案】BD
【解析】对于A ，f (x )＝32x -与g (x )＝x ·x 2-的对应关系不同，故f (x )与g (x )表示的不是同一个函数；
对于B ，f (x )＝|x |与g (x )＝x 2的定义域和对应关系均相同，故f (x )与g (x )表示的是同一个函数；对于C ，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，故f (x )与g (x )表示的不是同一个函数；对于D ，f (x )＝x
x 与g (x )＝x 0的对应关系和定义域均相同，故f (x )与g (x )表示的是同一个函数．10．下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是(　BD )
A ．f (x )＝x 1
B ．f (x )＝－x 3
C ．f (x )＝x |x |　
D ．f (x )＝－3x
【答案】BD 【解析】A ．f (x )＝x
1在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数，∴不满足题意；对于B ，f (x )＝－x 3在定义域R 上是奇函数，且是
减函数，∴满足题意，对于C ，f (x )＝x |x |＝⎪î⎪íì<-³0
,0,22x x x x ，在定义域R 上是奇函数，且是增函数，∴不满足题意；对于D ，f (x )＝－3x 在定义域R 上是奇函数，且是减函数，∴满足题意．故选BD ．
11．已知函数f (x )＝31++
-x x ，则(　ABD )A ．f (x )的定义域为[－3,1]　
B ．f (x )为非奇非偶函数
C ．f (x )的最大值为8
D ．f (x )的最小值为2
【答案】ABD
分，共20分．将答案填在题中横线上)(31)4,,1a x a x x ax x -+ì=í-³î
【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a -<ì⎪-<í⎪-+³-î
，解得1183a £<.14．函数f (x )＝x
x +-11的定义域为___，单调递减区间为___.【答案】(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，(－∞，－1)
【解析】函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝)
1)(1()22121x x x x ++-（＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，故f (x )在(－1，＋∞)上为减函数；同理，可得f (x )在(－∞，－1)上也为减函数．
15．函数y ＝f (x )是R 上的增函数，且y ＝f (x )的图像经过点A (－2，－3)和B (1,3)，则不等式|f (2x －
1)|<3的解集为____.
【答案】1(,1)2
-【解析】因为y ＝f (x )的图像经过点A (－2，－3)和B (1,3)，所以f (－2)＝－3，f (1)＝3.又|f (2x －
1)|<3，所以－3<f (2x －1)<3，即f (－2)<f (2x －1)<f (1)．因为函数y ＝f (x )是R 上的增函数，所以－2<2x
－1<1，即îíì<-->-112212x x ，即⎪î
⎪íì<->121x x ，所以－21<x <1.16．对于任意定义在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)＝x 0，则称x 0是函数f (x )的一个不动点．现给定一个实数a ∈(4,5)，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的不动点共有___个．
【答案】2
【解析】由定义，令x 2＋ax ＋1＝x ，则x 2＋(a －1)x ＋1＝0，当a ∈(4,5)时，Δ＝(a －1)2－4>0，所以方程有两根，相应地，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1(a ∈(4,5))有2个不动点．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知幂函数39*()m y x m N -=Î的图象关于y 轴对称且在()0,¥+上单调递减，求满足()()33132m
m
a a +<-－－的a 的取值范围.
【解析】因为函数39*()m y x m N -=Î在()0,¥+上单调递减，所以390m -<，
解得3m <.又因为*m N Î，所以1m =，2；
因为函数的图象关于y 轴对称，
所以39m -为偶数，故1m =.
则原不等式可化为()
()1133132a a +<-－－，因为13y x －＝在(),0-¥，()0,¥+上单调递减，
所以1320a a +>->或3210a a -<+<或1032a a +<<-，
解得2332
a <<或1a <-.故a 的取值范围是1a <-或2332
a <<.18．(10分)（2019·陕西高一期中）已知函数21
()1x f x x -=
+（1）试判断函数在（-1，+¥）上的单调性，并给予证明；
（2）试判断函数在[3,5]x Î的最大值和最小值
【解析】（1）∵()213211
x y f x x x -===-++，∴函数()f x 在()1，
-+¥上是增函数，证明：任取1x ，()21x Î-+¥，
，且12x x <，则()()121221
3333221111f x f x x x x x æöæö-=---=-ç÷ç÷++++èøèø()()()1212311x x x x -=++，∵121x x -<<，∴120x x -<，()()12110x x ++>，
∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，
∴()f x 在()1，
-+¥上是增函数.（2）∵()f x 在()1，
-+¥上是增函数，∴()f x 在[3]5，
上单调递增，它的最大值是()25135512f ´-=
=+，最小值是()23153314
f ´-==+．19．(12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.
(1)求函数f (x )；
(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．
【解析】(1)∵f (x )的两个零点是－3和2，∴－3和2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0，①　4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.②　①－②得b ＝a ＋8.③
将③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0.∵a ≠0，∴a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5，∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.
(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3(x ＋21)2＋43＋18.图像的对称轴是直线x ＝－2
1.∵0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18，∴此时函数f (x )的值域是[12,18]．
20．(12分)已知函数()()311
ax f x a a -=¹-.（1）若0a >，求()f x 的定义域；
（2）若()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围.
【解析】(1)当0a >且1a ¹时，由30ax -³得3x a £，即函数()f x 的定义域是3,a æù-¥çúè
û.(2)当10a ->即1a >时，令3t ax =-
要使()f x 在(]0,1上是减函数，则函数3t ax =-在(]0,1上为减函数，即0a -<，并且且310a -´³，解得13a <£；
当10a -<即1a <时 ，令3t ax =-
要使()f x 在(]0,1上是减函数，则函数3t ax =-在(]0,1为增函数，即0
a ->并且310a -´³，解得0
a <综上可知，所求实数a 的取值范围是()(],01,3-¥U .
21．(12分)已知函数f （x ）＝x m x
+
，且此函数图象过点（1，2）．（1）求实数m 的值；（2）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；
（3）讨论函数f （x ）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．
【解析】（1）∵函数f （x ）＝x m x +
，且此函数图象过点（1，2），∴2＝1+m ，
∴m ＝1；
（2）f （x ）＝x 1x
+，定义域为：()()00-¥È+¥，，，又f （﹣x ）＝﹣x 1x +
=--f （x ），∴函数f （x ）是奇函数；
（3）函数f （x ）在（0，1）上单调递减，
设0＜x 1＜x 2＜1，
则()()()()211212121212121212
111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x ---=+--=-+=-×××，
∵0＜x 1＜x 2＜1，
∴x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，x 1x 2﹣1＜0，
∴()()()12121212
10x x f x f x x x x x --=-×＞，即f （x 1）＞f （x 2），
∴f （x ）在（0，1）上的单调递减．
22.(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为了鼓励销售商订购，决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好为51元？
(2)当销售商一次订购x 个零件时，该厂获得的利润为P 元，写出P ＝f (x )的表达式．
【解析】(1)设每个零件的实际出厂价格恰好为51元时，一次订购量为x 0个，则60－0.02(x 0－100)＝51，解得x 0＝550，所以当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好为51元．
(2)设一次订量为x 个时，零件的实际出厂单价为W ，工厂获得利润为P ，由题意P ＝(W －40)·x ，当0<x ≤100时，W ＝60；
当100<x <550时，W ＝60－0.02(x －100)＝62－50
x ；当x ≥550时，W ＝51.
当0<x ≤100时， f (x )＝(60－40)x ＝20x ；
∴当100<x <550时， f (x )＝(22－50x )x ＝22x －50
1x 2；当x ≥550时， f (x )＝(51－40)x ＝11x .
故f (x )＝⎪⎪î⎪⎪íìγÎ<<-Σ<+++),550(,11),550100(5022),1000(202N x x x N x x x x N x x x。