统考版2023高考数学二轮专题复习课时作业3不等式推理与证明理

课时作业3 不等式、推理与证明
1．[2022·内蒙古赤峰高三期末]已知x <－1，那么在下列不等式中，不成立的是( ) A ．1－x 2
<0 B ．x ＋4x
≤－2
C ．x －sin x <0
D ．x ＋cos x >0
2．若不等式mx 2
＋(m －1)x ＋m >0对实数x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．m <－1或m >1
3
B ．m >1
C ．m >13
D ．－1<m <1
3
3．[2022·黑龙江哈尔滨市第六中学三模]若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ≥－12x ＋y ≤4y ≥0
，z ＝
－x ＋y 的最小值为( )
A ．－2
B ．0
C ．2
D ．4
4．[2022·江西模拟预测]若圆(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝5上存在两点关于直线2ax －by ＋3＝0(a >0，b >2)对称，则12a ＋1
b －2
的最小值是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．8
5．[2022·河南商丘模拟]命题：①若2a ＝3b ＝6，则1a ＋1b ＝1；②若2a ＝3b
＝36，则1a ＋
1b
＝12；③若2a ＝3b ＝216，则1a ＋1b ＝13.类比命题①，②，③，可得命题“若m a ＝n b
＝t (m ，n 均为大于1的整数)，则1a ＋1b ＝1
k
”，其中t ＝( )
A ．m k n
B ．mn k
C ．kmn
D ．(mn )k
6．[2022·山西太原检测]已知a ，b 为正实数，a ＋b ＝3，则1a ＋1＋1
b ＋2
的最小值为( ) A ．23 B ．56
C ．1
2
D ．4 7．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≥0，x －2y －4≤0，x ＋y ≤4，
则3x －y 的最大值为( )
A ．12
B ．10
C ．－13
D ．2
8．[2022·新疆维吾尔自治区喀什第六中学期中]已知O 为坐标原点，点M 的坐标为(1，
2)，点N 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－12x －y ≤2x ＋y ≥4
，则OM →·ON →
的最大值为( )
A ．13
2 B ．11
C ．6
D ．13
9．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1
R
3.
设α＝r R ，由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5
（1＋α）
2
≈3α3
，则r 的近似值为( )
A ．
M 2
M 1
R B ．M 2
2M 1
R C ．
33M 2
M 1R D ．3M 2
3M 1
R 10．[2022·广东佛山一中高三模拟]若函数y ＝ln (ax ＋x 2
＋1)(a >0)为奇函数，设变
量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≥0x －y －2≤0y ≥1
，则目标函数z ＝ax ＋2y 的最小值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11．[2022·江西新余]已知正实数x ，y 满足4x ＋3y ＝4，则12x ＋1＋1
3y ＋2
的最小值为
( )
A ．38＋24
B ．12＋23
C ．12＋24
D ．12＋22
12．[2022·安徽池州市第一中学]△ABC 中，M 为边BC 上的点(不包括端点B 、C )，且AM
→＝x 2AB →＋yAC →，则5y －4x ＋3x －2y
( ) A ．有最大值22＋4 B ．有最大值22－4 C ．有最小值22＋4 D ．有最小值22－4
13．[2022·广东珠海高三期末]非负实数x ，y 满足2xy －x －6y ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．
14．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x y ≤2x x ＋y ≤1
，若z ＝x ＋my 的最大值为5
3
，则实数m ＝________．
15．[2022·山东德州高三期中]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市． 丙说：我们三个去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．
16．[2022·安徽合肥一中模拟]已知圆O 的半径为3，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，则PA →·PB →
的最小值为________．
课时作业3 不等式、推理与证明
1．解析：对A ，由x <－1可得x 2
>1，所以1－x 2
<0，A 正确，
对B ，由x <－1，可得－x >1，所以x ＋4x
＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x －4x ≤－2
（－x ）·⎝
⎛⎭
⎪⎫－4x
＝－4，
当且仅当－x ＝－4
x
，即x ＝－2 时，取得等号，
所以x ＋4x ≤－4，则x ＋4
x
≤－2成立，故B 正确，
对C ，设f （x ）＝x －sin x 有f ′（x ）＝1－cos x ≥0， 则函数f （x ）＝x －sin x 在（－∞，－1）上单调递增， 所以f （x ）<f （－1）＝－1－sin （－1）＝sin 1－1<0， 所以x －sin x <0，故C 正确，
对D ，当取x ＝－2时，而－1≤cos x ≤1，显然cos x ＋x >0错误， 故选D. 答案：D
2．解析：由题得m ＝0时，x ＜0，与已知不符，所以m ≠0. 当m ≠0时，m >0且Δ＝（m －1）2
－4m 2
<0， 所以m >1
3
.
综合得m 的取值范围为m >1
3.
故选C. 答案：C
3．解析：由约束条件作出可行域如图，
当y ＝0时，x ＝4－y
2＝2，所以A （2，0），
化z ＝－x ＋y 为y ＝x ＋z ，
由图可知，当直线y ＝x ＋z 过A 时，
直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为－2＋0＝－2. 答案：A
4．解析：由题可知圆的圆心为（－1，1），若圆上存在两点关于2ax －by ＋3＝0对称，
则说明直线过圆心，即2a ×（－1）－b ×1＋3＝0，即2a ＋b ＝3，变形可得2a ＋b －2＝1，
故12a ＋1b －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2a ＋1b －2（2a ＋b －2）＝1＋b －22a ＋2a b －2＋1≥2 b －22a ·2a
b －2
＋2＝2＋2＝4，
当且仅当b －22a ＝2a b －2，即a ＝14，b ＝5
2
时取得等号，故最小值为4.故选B. 答案：B
5．解析：对于①，6＝（2×3）1
；对于②，36＝（2×3）2
；对于③，216＝（2×3）3
，类比①②③，可得t ＝（mn ）k
，
故选D. 答案：D
6．解析：因为a ＋b ＝3， 所以
1a ＋1＋1b ＋2＝16⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
a ＋1＋1
b ＋2（a ＋1＋b ＋2）
＝16⎝
⎛⎭⎪⎫b ＋2a ＋1＋a ＋1b ＋2＋2≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫2 b ＋2a ＋1·a ＋1b ＋2＋2＝2
3
. 当且仅当b ＋2a ＋1＝a ＋1
b ＋2
，即a ＝2，b ＝1时等号成立．故选A. 答案：A
7．解析：画出平面区域如图中阴影部分（包含边界）所示，设z ＝3x －y ，即y ＝3x －z ，作出直线y ＝3x ，平移直线，当该直线经过点A 时，在y 轴上的截距最小，此时z 最大．联
立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －2y －4＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝0，即A （4，0），故z max ＝3×4－0＝12.故选A.
答案：A
8．解析：由题意可得，OM →·ON →
＝x ＋2y ，令z ＝x ＋2y ，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示：
三条直线的交点分别为A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，52，B （3，4），C （2，2），因为z 表示直线z ＝x ＋2y 的纵截距的2倍，所以当直线z ＝x ＋2y 经过点B （3，4）时，z ＝x ＋2y 取得最大值，即z max ＝3＋2×4＝11.
故选B. 答案：B
9．解析：由α＝r
R
，得r ＝αR ， 因为M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝（R ＋r ）M 1
R 3，
所以
M 1
R 2
（1＋α）
2
＋
M 2α2R 2＝（1＋α）M 1
R
2， 即M 2M 1＝α2⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋α）－1（1＋α）2＝α5＋3α4＋3α3（1＋α）2
≈3α3
， 解得α＝3M 2
3M 1，
所以r ＝αR ＝3M 2
3M 1R .
答案：D
10．解析：由题设，ln ()－ax ＋（－x ）2＋1 ＝－ln ()ax ＋x 2＋1， ∴－ax ＋x 2
＋1＝
1
ax ＋x 2＋1
，可得a ＝±1，又a >0，
∴a ＝1，故z ＝x ＋2y ， 由约束条件可得可行域如下：
∴要使目标函数的值最小，即z ＝x ＋2y 所在直线与可行域有交点的同时，在数轴上的截距最小，故当z ＝x ＋2y 经过图中的A 点时，值最小，
联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0y ＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1
，故A （1，1）， ∴z min ＝1＋2×1＝3. 故选B. 答案：B
11．解析：由正实数x ，y 满足4x ＋3y ＝4，可得2（2x ＋1）＋（3y ＋2）＝8， 令a ＝2x ＋1，b ＝3y ＋2，可得2a ＋b ＝8， ∴
12x ＋1＋13y ＋2＝1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ×2a ＋b 8＝18×⎝
⎛⎭⎪⎫3＋2a b ＋b a ≥18×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3＋2
2a
b
×b a ，即
1
a
＋1b ≥38＋24，当且仅当2a b ＝b a 时取等号，∴12x ＋1＋13y ＋2的最小值为38＋24
.故选A. 答案：A
12．解析：因为M 在边BC 上，设BM →＝λBC →，其中0<λ<1，即AM →－AB →＝λ（AC →－AB →），则AM →＝()1－λAB →＋λAC →，
因为AM →＝x 2AB →＋yAC →
，则x 2
＋y ＝1－λ＋λ＝1且x >0，y >0,
5y －4x ＋3x －2y ＝5y x －4x ＋3x y －2y ＝5y x ＋3x y －⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y ＝y x ＋2x y －4≥22－4， 当且仅当y x ＝2x y 时，即当y ＝2x 时，等号成立．所以5y －4x ＋3x －2
y
有最小值22－4.故选D.
答案：D
13．解析：当x ＝y ＝0时，x ＋2y ＝0；当x ，y >0时，由2xy －x －6y ＝0得3x ＋1
2y ＝1，
所以x ＋2y ＝（x ＋2y ）⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋12y ＝4＋6y x ＋x 2y ≥4＋23
（当且仅当6y x ＝x 2y 时，等号成立）.所以x ＋2y 的最小值为0.
答案：0 14．解析：
在平面直角坐标系内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x y ≤2x x ＋y ≤1
表示的平面区域，是以点（0，0），⎝ ⎛⎭⎪
⎫12，12⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，23为顶点的三角形区域，显然m ≠0，1，当－1m ≤－1，即0<m <1时，目标函数z ＝x ＋my
在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12处取得最大值，则有53＝12＋12m ，解得m ＝73>1，不符合题意；当－1<1m <0，即m >1
时，目标函数z ＝x ＋my 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23处取得最大值，则有53＝13＋23m ，解得m ＝2，符合题意；
当－1m >0，即m <0 时，目标函数z ＝x ＋my 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12处取得最大值，则有53＝12＋12m ，解得m
＝7
3
>0，不符合题意，综上所述，实数m 的值为2. 答案：2
15．解析：由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A .
答案：A
16．解析：如图所示，设PA ＝PB ＝x （x >0），∠APO ＝α，
则∠APB ＝2α，PO ＝9＋x 2
，sin α＝39＋x
2
，
PA →
·PB →＝|PA →||PB →
|cos 2α＝x 2（1－2sin 2α）＝x 2
（x 2
－9）x 2＋9
＝[（x 2
＋9）－9][（x 2
＋9）－18]x 2＋9
＝（x 2
＋9）＋2×9
2
（x 2＋9）
－27≥2
（x 2
＋9）·2×9
2
x 2＋9
－27＝－27＋182，
当且仅当x 2
＋9＝2×9
2
x 2＋9
即x ＝3
2－1时等号成立，
∴PA →·PB →
的最小值是－27＋18 2. 答案：－27＋18 2。