计算机模拟在数学建模中的应用

【 摘要】 本 文主 要 阐述 了如 何 利 用 计 算机 模 拟 来 解 决 数
学 建模 中的 实 际 问题 ． 首先 ， 提 出 问题 ， 根 据 问 题 的具 体 模 式对其进行分析整理． 其 次， 对 上述 问题进 行数 学建模． 然
件 下 的极 值 问题 ， 且 目标 函数 和 约 束 条 件 至 少 有 一 个 是 未 知 量 的非 线 性 函数 ．
某 企 业 当天 生 产 的 产 品 必 须 售 出 ， 否则就会 变质． 该 产 品单 位 成 本 为 ２ ． ５元 ， 单 位 产 品售 价 为 ５元． 企 业 为 避 免 存 货 过 多而 造 成 损 失 ， 拟 从 以下 ２种 库 存 方 案 中选 出 一 个 较
优 的方 案 ：
数 学 建 模 比赛 （ Ｍ Ｃ Ｍ ／ Ｉ Ｃ Ｍ） 中， 计 算机 模拟 常用 于去 求解 、 检验 ， 是 建 模 过 程 中非 常 重 要 的 一 种 方 法 ｕ 般地 ， 计 算 机 模 拟 在 以 下 几 种 情 况 中 能 有 效 解 决
案 中 寻求 最 优 方 案 ； （ ４） 难 以用 解 析 式 表 示 的 系 统 ； （ ５ ） 虽然有解析式 ， 但是 分 析 、 计 算 过 程 过 于 复杂 ， 只 能 借 助 计算 机 模 拟 来 提 供 简 单 可 行 的方 法 ． 在通 常情 况下 ， 计 算 机 模 拟 是 按 时 间来 划 分 的 ， 因为 计 算 机 模 拟 实质 上 是 系 统 随 时 间 变 化 而 变 化 的 动 态 写 照．目 前， 计 算 机 模 拟 大 致 可 以分 为 随 机模 拟 （ 蒙特一卡洛方 法 ） 、 离 散 系 统 模 拟 和 连 续 系 统 模 拟 类 ． 其 中， 蒙 特一 卡 洛 （ Ｍｏ ｎ ｔ ｏ — Ｃ ａ ｒ ｌ ｏ ） 方法 是 典 型 的 静 态 模 拟 ； 离 散 系 统 模 拟 和 连 续系统模拟是属于 动态模 拟． 下 面 将 就 具 体 问 题 讨 论 这 三 种 数 学 建 模 竞 赛 中 经 常 用 到 的模 拟方 法 ． 二、 问题 的定 义与 分 类 数 学 建 模 的第 一 步 ， 就是提 出问题 ， 对 具 体 问 题 进 行 分 析、 整 理 与 归类 ． 问 题 的 定 义
例 １ 非 线 性 规 划 问题
后， 利用计算机进 行模 拟， 主要分 为随机模 拟 （ 蒙 特 一 卡 洛 方法） 、 离 散 系 统模 拟 和 连 续 系 统 模 拟 三 种 类 型． 最 后 对 结 果进行分析 ， 说 明计 算 机 模 拟 方 法 在 数 学 建 模 中的 有 效 性．
ｍｉ ｎ ｆ （ ） Ｘ∈Ｅ ． Ｓ ． ｔ ． ｇ ， （ ） ≥０ ｉ ＝１， ２， …， ｍ．
ａ
Ｊ≤ Ｊ ≤ｂ源自＝Ｊ １， ２， … ， ｎ．
【 关键词 】 计 算机 模 拟 ； 数 学 建模 ； 随机模拟 ； 离散 系统 【 中 图分 类 号 】 ０ ２ ４ ２ 【 文 献标 识 码 】 Ａ
一
（ ２ ） 离散 系统 （ ｄ ｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ） 问 题 离 散 系 统 是 指 系 统状 态 只 在 有 限 的 时 间 点 或 可 数 的 时 间 点 上 有 随 机 事 件 发 生 的 系统 ． 例如排队系统 ， 显然 ， 状态 量 的 变 化 只是 在 离 散 的 随 机 事件点上完成． 假 设 离 散 系 统 状 态 的 变 化 是 在 一 个 时 间 点 上 瞬 间完 成 的． 例 ２ 离散 系 统 问题 ： 库 存 问题
（ １ ） 难 以在 实 际 环 境 中 进 行 实 验 和 观察 ， 只 能 用 计 算 机 模拟 ， 比 如太 空飞 行 的研 究 ；
（ ２ ） 需 要 在 短 时 间 内 观 察 到 系 统 发展 的 全 过 程 ， 用 来 估 计某些参数对系统变化的影响 ； （ ３） 需要对系统进行 长时 间观察 、 运 行 比较 ， 从 大 量 方
专 题 研 究
・ ・
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◎ 常 春 张 舒 （ 桂 林 高等 师 范 专科 学校 数 学 与 计 算 机 科 学 系 ， 桂林 ， ５ ４ １ ０ ０ １ ； 海 军 工 程 大学 理 学 院 ， 武汉 ， ４ ３ ０ ０ ３ ３ ）
、
引 言
模 型（ Ｍ ｏ ｄ ｅ １ ） 和模 型建 构 （ Ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇ ） 不 仅 仅 是 科 学 理 论 体 系 中 的重 要 内 容 ， 也 是 我 们 认 识 世 界 的 重 要 工 具 和 方 法． 计 算 机 技 术 的 飞 速 发展 给许 多 学 科 带 来 了 巨 大 的影 响 ， 计 算机 使 问题 的求 解 变 得 更 加 简单 方 便 ， 同时 ， 也使 解决 问 题 的领 域变 得 更 加 宽 泛 ． 计算 机适合解决不确 定 、 规 模 大 且 难 以解 析化 的数 学 模 型． 例如 ， 对 于 一些 带 随 机 因 素 的 复 杂 系 统 的 问题 ， 建 模 之 前 常需 要 做 一 些 简 化 假 设 ， 这 可 能 导 致 与 实 际 情 况 相距 甚 远 ， 解答 无法应 用． 此 时， 利 用 计 算 机 进 行 模 拟 几 乎 成 为 了 唯 一 的选 择 ． 在 历 届 全 国 和 国 际 大 学 生
在销售部门、 工 厂 等 领 域 中都 存 在 库 存 问题 ， 库存太 多 造 成 浪 费 以及 资 金 积 压 ， 库 存 太 少 不 能 满 足 需 求 也 会 造 成 损 失． 部 门 的工 作 人 员 需 决 定 何 时 进 货 ， 进 多少 ， 使 得 所 花 费 的 平 均 费用 最 少 ， 而 收益 最 大 ， 这 就是 库存 问题 ．
一
问题 ：
方案 甲： 按前 １天 的销 售 量 作 为 当天 的库 存 量 ； 方案 乙 ： 按 前 ２天 的平 均 销 售 量 作 为 当天 的库 存 量 ． （ ３ ） 连续系统（ ｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ｏ ｕ ｓ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ） 问题 连 续 系 统 是 指 时 间 和 各 个 组 成 部 分 的 变 量 都 具 有 连 续 变 化 形 式 的系 统 ． 例 如 自动 控 制 系 统 ， 只有 当 受 控 过 程 和 控