宜宾文科数学一诊参考答案 (1).doc

高2013级高三第一次诊断性测试
数学（文史类）参考答案
一.选择题：
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.
12 12.109
13.1 14. 15.②③ 三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚． 16.解：（Ⅰ）由题已知:
cos A A ⋅=+=m n , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分
2sin()6
A π
∴+=
sin()62
A π+=
. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 由A 为锐角得:6
3
A π
π
+
=
,6
A π
=
. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1
2
sin A =, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分
2()cos24sin 12sin 4sin f x x x x x =+=-+
=2132(sin )x --+. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分
x ∈R ,[]sin 11x ∴∈-,,
因此,当sin 1x =时,()f x 有最大值3；
当sin 1x =-时,()f x 有最小值5-, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11分 故所求函数()f x 的值域是[53]-,. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分
17.解:（Ⅰ）由题设可知,第3组的频率为0.0650.3⨯=,第4组的频率为0.0450.2⨯=,第5组的频率为
0.0250.1⨯=. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分
（Ⅱ）第3组的人数为0.310030⨯=,第4组的人数为0.210020⨯=,第5组的人数为0.110010⨯=. 因为第3,4,5组共有60名应聘者,所以利用分层抽样在60名应聘者中抽取6名,每组抽取的人数分别为
第3组:
306360⨯=,第4组:206260⨯=,第5组:10
6160
⨯=. 所以第3,4,5组分别抽取3人,2人,1人. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分 （Ⅲ）设第3组的3位应聘者为123,,A A A ,第4组的2位应聘者为12,B B ,第5组的1位应聘者为C . 则从六位应聘者中抽两名有:
121311121232122231(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C A A A B A B A C A B
3231212(,),(,),(,),(,),(,)A B A C B B B C B C ,共15种可能. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分
其中第4组的2位为12,B B 至少有一位应聘者入选的有：
1112212231321212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B B B B C B C ,共9种可能.
所以第4组至少有一名应聘者被甲考官面试的概率为93
155
=. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 18．解：（Ⅰ）在图2中,过A '作A F BE '⊥于F . 平面A BE '⊥平面BCDE ,BE 是交线.
∴A F '⊥平面BCDE ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分
90BA E '∠=︒，33A B A E ''==， 30A EB '∴∠=︒,3
2
A F '=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 由已知得,153
)2BCDE S BC DE CD =+⨯=梯形（四棱锥A BCDE '-的体积153353
32V =
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 （Ⅱ）延长过BE CD ,交于P ,连结A P ',过D 作//DR A P '交A C '于R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分
DR ⊄平面,A BE A P ''⊂平面,A BE '//DR ∴平面A BE ' ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分
11
//44PD DE DE BC PC BC ∴==，
1133
PD A R DC RC '∴
=∴=， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11分 ∴在棱A C '存在点R ,使得//DR 平面A BE ',
这时
1
3
A R RC '= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 19.解：（Ⅰ）∵3482
++=n n n a a S
∴3481121++=---n n n a a S （2≥n ） ∴1122
144)(8-----+=-n n n n n n a a a a S S ∴)(41122
--+=-n n n n a a a a ∵0>n a ∴41=--n n a a （2≥n ）
∴数列{}n a 是以4为公差的等差数列 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分 又∵34812
11++=a a S ∴03412
1=+-a a 而31<a ∴11=a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 ∴34-=n a n ()n *∈N ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知n n n n n S n -=⋅-+⋅=2242
)
1(1， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分 ∴)1
21
121(21)12)(12(1+--=+-=
n n n n b n ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分
∴1
2)1211215131311(2121+=+--+⋅⋅⋅+-+-=
+⋅⋅⋅++n n n n b b b n ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 ∵2
112112<+=+n n n ， ∴存在1
2
m ≥,使m b b b n <+⋅⋅⋅++21对于任意的正整数n 均成立． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分
20.解：（Ⅰ）设点(),F x y ,点(),P x y '',因为点P 在x 轴上的射影为H ,所以(),0'H x ． 又因为2+=OH OP OF ,所以点F 是线段PH 的中点，
即有22
'
=⎧'=⎧⎪
⇒'⎨⎨
'==⎩⎪⎩x x x x y y y y ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分 因为点P 是圆2
2
4x y +=上任意一点,所以()()2
2
4''+=x y ，()()
2
22
22414
+=⇒+=x x y y ．
所以点F 的轨迹C 的方程为2
214
+=x y ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 （Ⅱ）设()11,A x y ,()22,B x y ,联立解方程组:
()222
22
14844014
=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩y kx m k x kmx m x y , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分
∴()()()222
1222122
84144408144414⎧∆=-+->⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩km k m km x x k m x x k ，即22122
2122148144414⎧⎪<+⎪
-⎪
+=⎨+⎪
⎪-=⎪+⎩
m k km x x k m x x k ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分 ∴12122
2()214+=++=
+m
y y k x x m k ．
又点N 是线段AB 中点,由中点坐标公式,得22
4(
,)1414km m
N k k
-++， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 又2=OQ ON ,
得22
(
,)1414Q k k -++， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11分
将22
(,)1414Q k k
-++代入椭圆方程22
14+=x y ， 得
()()
22
2
2
2
228211414+
=++k m m k k ,化简得22241=+m k ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅13分
21.解:（Ⅰ）当3a =-时,()ln 3f x x x x =-(0)x >，
有()ln 13ln 2f x x x '=+-=-, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 ∵令()0f x '≥,即ln 20x -≥，∴2
e x ≥
∴ 函数()f x 的单调增区间2[e ,)+∞ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 （Ⅱ）解法一:若对任意(1,)x ∈+∞,()(1)f x k a x k >+--恒成立， 即(1)ln k x x x x -<+恒成立，∵(1,)x ∈+∞，∴10x ->． 则问题转化为ln 1
x x x
k x +<- 对任意(1,)x ∈+∞恒成立， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分
设函数ln ()1x x x
h x x +=
-,则2
ln 2()(1)
x x h x x --'=-， 再设()ln 2m x x x =--,则1
()1m x x
'=-． ∵(1,)x ∈+∞，∴()0m x '>，
则()ln 2m x x x =--在(1,)x ∈+∞上为增函数， ∵(3)1ln 30m =-<，(4)2ln 40m =->,
∴0(3,4)x ∃∈,使000()ln 20m x x x =--=．
∴当0(1,)x x ∈时,()0,()0m x h x <<;当0(,)x x ∈+∞时,()0,()0m x h x >> ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 ∴ ln ()1
x x x
h x x +=
-在0(1,)x x ∈上递减,在0(,)x x ∈+∞上递增.
∴()h x 的最小值为000
00ln ()1
x x x h x x +=
-． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分
∵000()ln 20m x x x =--=，∴00ln()11x x +=-，代入函数000
00ln ()1
x x x h x x +=-.
得00()h x x =,∵0(3,4)x ∈,且()k h x <,对任意(1,)x ∈+∞恒成立， ∴min 0()k h x x <=，∴3k ≤，
∴k 的值为1,2,3． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅14分
解法二:(按同比例给分)
令()()()1ln (1)=-+--=--+⎡⎤⎣⎦g x f x k a x k x x k x k (1)>x , ∴()ln 1(1)ln 2'=+--=+-g x x k x k .
当20-≥k 时,即2≤k 时,()0'>g x ,()g x 在(1,2)上单调递增， ∴()(1)10>=>g x g 恒成立，而k *∈N ∴1=k 或2=k ．
当20-<k 时，即2>k 时，2()0e -'=⇒=k g x x ， ∴()g x 在2(1,e )-k 上单调递减,在2(e ,)-+∞k 上单调递增，
∴2222min ()(e )e (2)(1)e e 0---->=---+=->k k k k g x g k k k k 恒成立， ∴2
>e
-k k ，而k *
∈N ，
∴3=k ．
综上可得,1=k 或2=k 或3=k 时成立．。