2019高中数学 1.1.1集合的含义与表示课件 新人教A版必修

再选用适当的方法表示．
[解析]
(1)列举法：由(x＋1)(x－
2 3
)2(x2－2)(x2＋1)＝0，得
x＝－1∈Q，x＝23∈Q，x＝± 2∉Q.
∴A＝{－1，23}有限集．
(2)描述法：{x|x＝3k＋1，k∈N}．无限集． (3)描述法：坐标平面内在第一、三象限的点的特点是纵、 横坐标同号，所以不在第一、三象限的点的集合可表示为{(x， y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．无限集． (4) 列 举 法 ： {0,12,22,32 ， …} ； 也 可 用 描 述 法 ： {x|x ＝ n2 ， n∈N}．无限集． [规律总结] (1)数集和点集在以后的学习中时常用到，其 一般格式为：数集：{x|p(x)}，点集：{(x，y)|p(x，y)}． (2)何谓适当的方法？即较为简洁、和谐的表示方法．一般 无限集用描述法，有限集且元素个数较少时用列举法．
2．元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是__集合A中的元素， 就说a属于集合A
A∈__A a属于集合A
不属于
如果a__不__是_集合A中的元 素，就说a不属于集合A
a∉A A_不__属__于_集合A
[归纳总结] 符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之
间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向
若 a≠0，则当且仅当方程的判别式 Δ＝4－4a＝0，即 a＝1 时，方程有两个相等的实根 x1＝x2＝－1，此时集合 A 中有且仅 有一个元素，
[名师点拨] 集合中的元素必须满足如下性质： (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定 的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合 是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其 一． (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一 个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． (3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3} 与{2,3,1}表示同一集合．
●探索延拓
分类讨论的思想
已知集合A是由方程ax2＋2x＋1 ＝0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合．
(1)1是A中的一个元素，求集合A中的其他元素； (2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B； (3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围． 探究1.集合的元素即为方程的解？ 探究2.方程是一次还是二次？方程无解、有一解、二解分 别满足什么条件？
[解析] (1)∵1 是 A 的元素∴1 是方程 ax2＋2x＋1＝0 的 一个根，∴a×12＋2×1＋1＝0，即 a＝－3，
∴方程即为－3x2＋2x＋1＝0， ∴x1＝1，x2＝－13，∴集合 A 中的其他元素为－13.
(2)若 a＝0，方程化为 2x＋1＝0，此时有且仅有一个根 x ＝－12；
名称 符号
非负整 数集(自 然数集)
N
正整数集 __N_*_或___N_＋__
整数集 Z
有理数集 Q
实数集 R
(3) 列 举 法 ： 把 集 合 的 _元__素__ 一 一 列 举 出 来 ， 并 用 花 括 号 “{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(4) 描 述 法 ： 在 花 括 号 内 先 写 上 表 示 这 个 集 合 元 素 的 _一__般__符__号__及_取__值__(_或__变__化__)_范__围__，再画一条竖线，在竖线后写 出这个集合中元素所具有的_共__同__特__征__．这种用集合所含元素 的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
●预习自测 1．下列给出的对象中，能组成集合的是( )
A．著名的数学家
B．很大的数
C．较胖的人
D．小于3的整数
[答案] D
[解析] “著名的数学家”和“较胖的人”无明确的标
准，对于某人是否“著名”或“较胖”无法客观地判断，因此
“著名的数学家”和“较胖的人”不能组成集合；“很大的
数”也无明确的标准，所以也不能组成集合；任意给定一个整
4．(1)用列举法表示集合{x∈N|x＜5}为________． (2)方程x2－6x＋9＝0的解集用列举法可表示为________． (3) 用 描 述 法 表 示 大 于 3 且 不 大 于 8 的 实 数 的 集 合 为 ________． [答案] (1){0,1,2,3,4} (2){3} (3){x|3＜x≤8} [解析] (1)因为x∈N，且x＜5，所以x＝0,1,2,3,4.(2)由x2－ 6x＋9＝0，得x1＝3，x2＝3.(3)实数x大于3且不大于8可表示为3 ＜x≤8.
用适当的方法表示下列集合： (1)由大于5，且小于9的所有自然数组成的集合； (2)被5除余2的所有正整数组成的集合； (3)不等式2x＋3≥0的解组成的集合； (4)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合． [解] (1){6,7,8}． (2){x|x＝5n＋2，n∈N}． (3){x|2x＋3≥0}． (4){(x，y)|y＝x2}．
高效课堂
●互动探究
集合的概念
下列各组对象：ຫໍສະໝຸດ ①接近于0的实数的全体 ②比较小的正整数的全体
③平面上到两定点A，B的距离相等的点的全体 ④等边
三角形的全体 ⑤ 2的近似值的全体．
其中能构成集合的组数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
探 究 1.“ 接 近 于 0”“ 比 较 小 ” “ 近 似 值 ” 是 否 有 明 确 的 标 准？
[解析] 由m－1＝3，得m＝4，此时3m＝12，m2－1＝15， 故m＝4满足集合中元素的互异性；
由3m＝3，得m＝1，此时m－1＝m2－1＝0，故舍去； 由m2－1＝3，得m＝±2，经检验m＝±2满足集合中元素的 互异性． 故填4或±2. [答案] 4或±2
[规律总结] (1)什么是元素分析法？ 解决集合问题的关键是能否把用集合语言描述的问题转化 为数学问题，而集合离不开元素，因此分析元素是解决集合问 题的核心，这种抓住元素进行分析的方法称为元素分析法． (2)如何应用元素分析法解决有关集合问题？ ①分析元素的性质，即确定性、互异性、无序性； ②由元素所具有的性质转化为相关问题的性质．如本题正 是由3∈A得3为集合A中的任一元素且各元素互不相同．
4．实数的分类
有理数整数正零负整整数数__自__然__数___
实数


分数正负分分数数
无理数正负无无理理数数
●自主预习
1．集合的概念 (1)含义：一般地，我们把__研__究__对__象__统称为元素，把一些 元素组成的_总__体__叫做集合(简称为集)． (2)集合相等：只要构成两个集合的_元__素__是一样的，即这 两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．
1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示
第一章
1 优效预习 2 高效课堂
3 当堂检测 4 课时作业
优效预习
●知识衔接
1．在平面上，到一个定点的距离等于定长的点的集合是 _圆_．
2．到一条线段的两个端点距离相等的点的集合是这条线 段的___垂__直__平__分__线__．
3．到一个角的两边距离相等的点的集合是 ____这__个__角__的__平__分__线_______．
探究2.在限定某个集合时，如果限定条件不明确，会出现 什么后果？
[解析] “接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明 确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“ 2 的近似 值”也没有明确 2 精确到什么程度，因此很难判定一个数， 如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成 集合．
[答案] A
[解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市 是否“小”无法客观地判断，因此“我国的小城市”不能构成 一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数 x ， 可 以 明 确 地 判 断 是 不 是 “ 不 超 过 20 的 非 负 数 ” ， 即 “0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故 “不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集 合 ． (5)“ 一 些 点 ” 无 明 确 的 标 准 ， 对 于 某 个 点 是 否 在 “ 一 些 点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点” 不能构成集合．
性，左右两边不能互换．
3．集合的表示法 (1) 自 然 语 言 表 示 法 ： 用 文 字 语 言 形 式 来 表 示 集 合 的 方 法．例如：小于3的实数组成的集合． (2)字母表示法：用一个大写_拉__丁__字__母___表示集合，如A， B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等，常用数集 的表示：
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
集合与函数的概念 第一章
本章的章头图表现了运载“神舟”五号载人航天飞船的火 箭升空，以及“神舟”五号载人航天飞船进入预定轨道后在太 空飞行的场景．其中包含了一些可以用函数描述的变化规律， 如上升过程中飞船离地面的距离随时间的变化而变化，飞船外 的温度和气压随气船与地面的距离的变化而变化，等等．而高 中的函数是用集合来刻画的，集合语言是一种抽象的数学语言， 学习集合语言最好的方法就是使用，非洲大草原上生存着几千 种动物，它们常常面临着生与死的考验，为了生存，它们过着 “群居”的生活，这种“物以类聚”就产生某种动物集合．让 我们一起走进“集合”世界，探索集合的奥秘．
若2∉{x|x－a＞0}，则实数a的取值范围是________． [答案] {a|a≥2}
[分析]
2不在给 定集合中
→
2不满足不等 式x－a＞0
→
2满足不等 式x－a≤0
→
得到a的 取值范围
[解析] 因为2∉{x|x－a＞0}，所以2不满足不等式x－a＞
0，即2满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，a≥2.
数，能够判定是否小于3，有明确的标准，故D能组成一个集
合．
2．用符号“∈”或“∉”填空： (1)3______N；(2)0.5________Z；(3) 2________Q； (4)2 3______R；(5)π________Q；(6)－2________N. [答案] (1)∈ (2)∉ (3)∉ (4)∈ (5)∉ (6)∉
[规律总结] 1.确定性是判断一组对象能否构成集合的标 准．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同 一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
下列每组对象能否构成一个集合： (1)我国的小城市； (2)某校2019年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数； (4)方程x2－9＝0在实数范围内的解； (5)直角坐标平面内第一象限的一些点．
(1)方程(x＋1)(x－23)2(x2－2)(x2＋1)＝0的有理根组成的集合 A；
(2)被3除余1的自然数组成的集合； (3)坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合； (4)自然数的平方组成的集合．
探究1.除自然语言外，集合的常用表示方法还有哪些？
探究2.弄清集合中的元素是什么？是有限个还是无限个？
3．下列集合： ①{1,2,2}； ②R＝{全体实数}； ③{3,5}； ④不等式x－5＞0的解集为{x－5＞0}． 其中，集合表示方法正确的是________． [答案] ③ [解析] ①违背了集合中元素的互异性；②中全体实数本 身就是集合，不能再加大括号；④中用描述法表示的集合，未 写出代表元素，应为{x|x－5＞0}．
[规律总结] 判断指定的对象能不能构成集合，关键在于 能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不 是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序 性．
集合中元素的特性
已知A＝{m－1,3m，m2－1}，若 3∈A则m＝________.
探究1.3∈A说明了什么？ 探究2.集合A中的元素对m有什么限制？
所以实数a的取值范围是{a|a≥2}．
[规律总结] 当a∈A时，若集合A是用描述法表示的，则a 一定满足集合中元素的共同特征，如满足方程(组)、不等式(组) 等；若集合A是用列举法表示的，则a一定等于其中的一个元 素．反之，当a∉A时，结论恰恰相反．
集合的表示方法
用适当的方法表示下列集合，并判断是有限 集，还是无限集？