常见不等式通用解法

常见不等式通用解法总结
一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式
如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式,重点关注解区间的“形状”。

当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。

2260x x --<的解为3
(,2)2
-
当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号)时，解区间为两根的两边. 2210x x -->
的解为(,1(1)-∞⋃+∞
当二次项系数小于0时,化成二次项系数大于0的情况考虑。

②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）
如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围,进而算出x 的范围 又如243
2
x ax >+
，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式
解法步骤总结：
如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根,所以，讨论24a ∆=-的正负性即可。

此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ⎧
⎪∆<⎪
⎪
∆=∈≠-⎨⎪
⎪⎪∆>-∞⋃+∞⎩
又如不等式223()0x a a x a -++>,发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所
以只需要判定2a 和a 的大小即可。

此不等式的解集为22
01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,)a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠⎧⎪
<<-∞⋃+∞⎨⎪<>-∞⋃+∞⎩
又如不等式22(1)40ax a x -++>,注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成
(2)(2)0ax x -->，然后开始判断两根
2
a
和2的大小关系，这样做是有问题的。

事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数a 是有可能为0的。

讨论完0a =的情况再讨论0a <和0a >的情况.所以此不等式的解集应该是： 0,(,2)20,(,2)
21,(,)(2,)
1,{|2}201,(,2)(,)a a a a a a x R x a a =-∞⎧⎪
⎪<⎪
⎪⎪
>-∞⋃+∞⎨⎪
⎪=∈≠⎪
⎪<<-∞⋃+∞⎪⎩
注意,0a >和0a <时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边.
二、数轴标根法（又名穿针引线法)解不等式
这种问题的一般形式是123()()()...()0n x a x a x a x a ----<（或,,>≤≥）
步骤：
①将不等式化为标准式，一段为0，另一端为一次因式的乘积(注意！系数为正)或二次不可约因式（二次项系数为正)。

②画出数轴如下,并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。

③记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。

例如，求不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->的解集，画出图如下，发现解集为
为什么数轴标根法是正确的呢？对于不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->来说，要满足四项相乘为正，说明①四项均正，解集为(4,)+∞②两正两负，只能是(1),(2)x x --正，(3),(4)x x --负,此时解集为(2,3)③四项均负，解集为(,1)-∞。

综上，解集为这三种情况的并集.当不等式左侧有奇数项的时候同理。

由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。

注意，这种方法要灵活使用，若不等式为2(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->，使用数轴标根
法得到的解集显然和上述不一样,因为2(1)x -是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线”时，可以忽略,或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”.
2(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->的示意图见下。

三、解分式不等式
分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0，另
一边为含x 的多项式。

把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为()
0()
f x
g x <(或
,,>≤≥的形式)，此时解()()0f x g x <就可以解出原不等式的解集。

特别地，若要解
()
0()f x g x ≤，则解()()0()0f x g x g x ≤⎧⎨
≠⎩
即可。

例如228
16
x x x -≤--，移项化简得22
3206x x x x -+≥--,使用穿针引线法得到解集为{|223}x x x x <-≤≤>或1或，一定要注意分母不为零，而分子可以为零。

例：一道比较复杂的题，求
(1)
1(1)2
a x a x ->≠-的解集，现写出此题的完整解题过程。

解:原不等式通过移项通分可化为
(1)(2)
02
a x a x --->-，由于1a ≠，所以可以进一步化
为2
(1)()
102a a x a x ---
->-，两根为21
a a --和2。

当1a >时,解集为两根的两边,显然有
221a a -<-，所以此时解集为2
(,)(2,)1
a a --∞⋃+∞- 当1a <时，解集为两根中间，此时必须根据a 的取值判断两根范围。

①当01a <<时，221a a ->-，此时解集为2
(2,)1
a a -- ②当0a =时,
2
21
a a -=-，此时解集为∅ ③当0a <时，
221a a -<-,此时解集为2
(,2)1
a a --
至此，a 的所有值都讨论完毕,所以这道题讨论到这样就结束了
当然,如果这道题不给1a ≠的限制条件，只需要再讨论一下1a =时的解集情况即可. 补充内容：一类经典但易错的分式不等式问题
①求
1
1x
>的解集
②求1
1x
<的解集 ③求1
1x
<-的解集 ④求
1
1x
>-的解集 ⑤求1
32x
-<
<的解集
解答：①(0,1)②(,0)(1,)-∞⋃+∞③(1,0)-④(,1)(0,)-∞-⋃+∞⑤11
(,)(,)32
-∞-⋃+∞，注
意①②的区别 四、绝对值不等式
对于含有绝对值的不等式,解题思想为 ①直接脱去绝对值符号 ()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<，()()()()()()f x g x f x g x f x g x >⇔><-或
②构造函数,数形结合
③在不等式的一端有多个绝对值时,使用零点分段法分类讨论(分类讨论思想随处可见）
④平方法（不等式两边都是非负时才能用，慎用）
例：图形法某经典问题，解不等式11a x -<，先画出1
()1f x x
=-的图像如下，然后分
①当0a ≤时，()y f x =的图像在y a =的图像上方，除了点(1,1)，此时显然不等式无解
②当1a =时，()y f x =的图像与y a =的图像交点为1(,1)2，此时的解集为1
(,)2+∞
③当01a <<时,()y f x =的图像与y a =的图像交点横坐标为
11
,
11a a
-+，此时解集为11(,)11a a
+-
④当1a >时，()y f x =的图像与y a =的图像交点横坐标为
11
,
11a a
-+，此时解集为11(,),(,)11a a
-∞+∞-+
当然此题使用()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<也可以做，化成1
1a a x
-<-
<，只是在讨论的时候需要细心，考虑到a 的所有取值。

绝对值不等式的零点分段法，以及特别的做题技巧
例如125x x -++≥，发现不等号左边有两个绝对值，所以应该根据两个不同的零点
分段讨论
①当1x ≥时,原不等式化为215x +≥，解得2x ≥ ②当21x -≤<时,原不等式化为35≥，显然无解
③当2x <-时,原不等式化为125x --≥，解得3x ≤-
综上，原不等式的解集为三种情况下的并集（注意，为什么是并集而不是交集?),(,3][2,)-∞-⋃+∞
技巧:可以将绝对值看成距离，也就是将1x -看成数轴上点x 到点1的距离，将2x +看
成x 到—2的距离，若画出数轴，发现位于区间[2,1]-的点（绿色点)到区间端点的距离之和为3，位于区间[2,1]-之外的点到区间端点的距离之和大于3，特别地,在2处和-3处距离之和为5,所以令x 继续远离区间[2,1]-，发现距离之和大于5。

2
也就是说12x x -++的取值范围是[3,]+∞
同理，遇到减号的情况，例如31x x +--，发现其取值范围是[4,4]- 此技巧常用于填空题，既可以求不等式解集，又可以求参数的范围。

例1：若存在实数x 使得不等式11x x a ++-≤成立，则a 的取值范围是 ？（答案
[2,0]-）
例2：不等式212x x +--≤的解集是 ？（答案1
(,]2
-∞）
五、无理不等式
无理不等式能出的考题较少，主要是要注意偶次根号下式子要非负。

（终于可以用平方法了，但是也要讨论不等式两端的正负性才能使用）。

对于奇次根号，由于不需考虑根号下式子的正负性,直接打开根号即可。

()0
()()0g x g x f x <⎧⇔⎨≥⎩或2
()0()[()]g x f x g x ≥⎧⎨>⎩
（注意这里为什么没有写()0f x ≥？）
2()0()()0
()[()]
g x g x f x f x g x ⎧>⎪
⇔≥⎨⎪<⎩。