中考数学二次函数(大题培优易错试卷)附答案解析

中考数学二次函数(大题培优易错试卷)附答案解析
一、二次函数
1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4
3
与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3
2
． （1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；
（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2
﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为
（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】
（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3
2
列出关于a 、c 的方程组求解即可；
（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到
22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y
Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】
（1）当y=0时，
14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32
，得16120
3322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩
，
解得14
a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2
﹣3x ﹣4；
（2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，
∴直线m 的解析式为y=
13
x ． ∵点P 是直线1上任意一点，
∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ． 又∵PE=3PF ， ∴
PC PB
PF PE
=． ∴∠FPC=∠EPB ． ∵∠CPE+∠EPB=90°， ∴∠FPC+∠CPE=90°， ∴FP ⊥PE ．
（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．
∵CF=3BE=18﹣3a ， ∴OF=20﹣3a ． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形， ∴
22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y
Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．
将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2
﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）． ∴Q （﹣2，6）．
如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．
∵CF=3BE=3a ﹣18， ∴OF=3a ﹣20． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，
∴
22x x x x Q P F E ++=，22y y y y
Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．
将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2
﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q （2，﹣6）．
综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣3（a≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是
多少？
（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．
【答案】（1）y=38
x 2
﹣
3
4
x ﹣3 （2）运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910
（3）K 1（1，﹣278
），K 2（3，﹣158）
【解析】 【详解】
试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣
910
（t ﹣1）2
+
9
10
．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=3
4
x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征
可设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣3
4
m ﹣3）．
如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =
9
4．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12
•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣
34m 2+3m=9
4．易求得K 1（1，﹣278
），K 2（3，﹣158）．
解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2
+bx ﹣3（a≠0），得
4230
16430a b a b --=⎧⎨
+-=⎩
， 解得3834a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
所以该抛物线的解析式为：y=38
x 2
﹣
3
4
x ﹣3； （2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ． ∴PB=6﹣3t ．
由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）．
在Rt △BOC 中，
． 如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．
∴QH ∥CO ， ∴△BHQ ∽△BOC ， ∴
HB OC BG
BC
=，即
Hb 35
t
=，
∴HQ=
35
t ． ∴S △PBQ =
12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+9
5t=﹣910（t ﹣1）2+910
．
当△PBQ 存在时，0＜t ＜2 ∴当t=1时，
S △PBQ 最大=9
10
．
答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910
； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）． 把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得
40
3k c c +=⎧⎨
=-⎩
， 解得3k 4c 3
⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
∴直线BC 的解析式为y=3
4
x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．
∴设点K 的坐标为（m ，3
8
m 2﹣
3
4
m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，
3
4
m ﹣3）．
∴EK=
34m ﹣3﹣（38m 2﹣34
m ﹣3）=﹣3
8m 2+32m ．
当△PBQ 的面积最大时，∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =9
10
． ∴S △CBK =
94
． S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+1
2
•EK•（4﹣m ） =
1
2
×4•EK =2（﹣3
8m 2+32
m ）
=﹣
34
m 2
+3m ． 即：﹣34
m 2+3m=94．
解得 m 1=1，m 2=3．
∴K 1（1，﹣278
），K 2（3，﹣15
8）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
3．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值. (2)求支柱MN 的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
【答案】（1）y=-350
x 2
+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】
试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．
（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．
试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).
将B 、C 的坐标代入2
y ax c =+，得 6,
0100.c a c =⎧⎨=+⎩
解得3
,650
a c =-
=. ∴抛物线的表达式是2
3650
y x =-+. (2) 可设N (5,N y )， 于是23
56 4.550
N y =-
⨯+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.
(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和， 则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).
过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050
H y =-
⨯+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
4．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .
（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值.
（2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4
D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.
【答案】（1）2
(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当1
02
b <<
时，12y y >；②当12b =
时，12y y =；③当14
25b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】
（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5) 又∵(0,5)B 在抛物线上，∴2
5(0)41b b =--++，解得2b = ∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A
代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-
（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，
∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为
5y x =-+
解方程组415y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得45
215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴点421
(,
)55
E ，(0,1)F
∵点M 在AOB ∆内，∴405
b <<
当点,C D 关于抛物线对称轴（直线x b =）对称时，1344b b -
=-，∴12
b = 且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线41y x =+上 综上：①当102b <<
时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当14
25
b <<时，12y y <.
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.
5．在平面直角坐标系中，有两点(),A a b 、(),B c d ，若满足：当a b ≥时，c a =，
2d b =-；当a b <时，c a <-，d b <，则称点为点的“友好点”.
（1）点()4,1的“友好点”的坐标是_______.
（2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，点B 是点A 的“友好点”. ①当B 点与A 点重合时，求点A 的坐标.
②当A 点与A 点不重合时，求线段AB 的长度随着a 的增大而减小时，a 的取值范围. 【答案】（1）()41-,；（2）①点A 的坐标是()2,0或()1,1-；②当1a <或3
2
2a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小； 【解析】 【分析】
（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B 点坐标，A 点又在直线2y x =-上，得到2b a =-；①当点A 和点B 重合，得2b b =-．解出即可，②当点A 和点B 不重合， 1a ≠且2a ≠．所以对a 分情况讨论，1°、当1a <或
2a >时，()2
2231
3224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭
，所以当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取1a <．2°当12a <<时，()2
2231
+3224
AB b b a a a ⎛
⎫=--=--=--+
⎪
⎝
⎭
，当32a ≥
时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取3
2
2a ≤<． 综上，当1a <或
3
2
2a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【详解】
（1）点()4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点()4,1的“友好点”的坐标是()41-, （2）
点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，
∴2b a =-．
2a a >-，根据友好点的定义，点B 的坐标为()
2
,B a b -，
①当点A 和点B 重合，∴2b b =-． 解得0b =或1b =-． 当0b =时，2a =；当1b =-时，1a =，
∴点A 的坐标是()2,0或()1,1-．
②当点A 和点B 不重合，1a ≠且2a ≠．
当1a <或2a >时，()2
22313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭． ∴当a ≤
3
2
时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取1a <． 当12a <<时， ()2
2
2
31+3224AB b b a a a ⎛
⎫=--=--=--+ ⎪⎝
⎭ ．
∴当3
2
a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取
3
2
2a ≤<． 综上，当1a <或3
2
2a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【点睛】
本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB 的长用a 进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论
6．若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三组数”．
(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； (2)若M(t ，y 1)，N(t+1，y 2)，R(t+3，y 3)三点均在函数y ＝
k
x
(k 为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”，求实数t 的值；
(3)若直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)，与抛物线y ＝ax 2+3bx+3c(a≠0)交于B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点．
①求证：A ，B ，C 三点的横坐标x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”；
②若a ＞2b ＞3c ，x 2＝1，求点P(
c a ，b
a
)与原点O 的距离OP 的取值范围． 【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t 的值为﹣4、﹣2或2；(3)①证明见解析；
≤OP
＜
2
且OP≠1． 【解析】 【分析】
（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；
（2）把M 、N 、R 三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t 和k 分别表示出y 1、y 2、y 3，再由和谐三组数的定义可得到关于t 的方程，可求得t 的值； （3）①由直线解析式可求得x 1＝﹣
c
b
，联立直线和抛物线解析式消去y ，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x 2+x 3＝﹣
b a ，x 2x 3＝c
a
，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c ＝0，可得c ＝﹣(a+b)，由a ＞2b ＞3c 可求得
b
a
的取值范围，令m ＝b a
，利用两点间距离公式可得到OP 2关于m 的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP 2的取值范围，从而可求得OP 的取值范围． 【详解】
（1）不能，理由如下：
∵1、2、3的倒数分别为1、12、13
， ∴
12+13≠1，1+12≠13，1+13≠12
， ∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；
（2）∵M(t ，y 1)，N(t+1，y 2)，R(t+3，y 3)三点均在函数k
x
(k 为常数，k≠0)的图象上， ∴y 1、y 2、y 3均不为0，且y 1＝
k t ，y 2＝1k t +，y 3＝3
k t +， ∴11y ＝t k ，21y ＝1t k +，31y ＝3
t k
+， ∵y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”， ∴有以下三种情况： 当
11y ＝21y +31y 时，则t k ＝1t k ++3
t k
+，即t ＝t+1+t+3，解得t ＝﹣4；
当21y ＝11y +31y 时，则1t k +＝t k +3t k
+，即t+1＝t+t+3，解得t ＝﹣2；
当
31y ＝11y +21y 时，则3t k +＝t k +1t k
+，即t+3＝t+t+1，解得t ＝2； ∴t 的值为﹣4、﹣2或2； （3）①∵a 、b 、c 均不为0， ∴x 1，x 2，x 3都不为0，
∵直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)， ∴0＝2bx 1+2c ，解得x 1＝﹣
c
b
， 联立直线与抛物线解析式，消去y 可得2bx+2c ＝ax 2+3bx+3c ，即ax 2
+bx+c ＝0，
∵直线与抛物线交与B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点， ∴x 2、x 3是方程ax 2+bx+c ＝0的两根， ∴x 2+x 3＝﹣
b a ，x 2x 3＝
c a
， ∴21x +31x ＝2323x x x x +＝b a c a
-
＝﹣b c ＝11x ，
∴x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”； ②∵x 2＝1， ∴a+b+c ＝0， ∴c ＝﹣a ﹣b ， ∵a ＞2b ＞3c ，
∴a ＞2b ＞3(﹣a ﹣b)，且a ＞0，整理可得253a b b a
>⎧⎨>-⎩，解得﹣35＜b a ＜1
2，
∵P(
c a ，b
a
)， ∴OP 2＝(c a )2+(b a )2＝(a b a --)2+(b a )2＝2(b a )2+2b a +1＝2(b a +12)2+12
， 令m ＝
b a ，则﹣35＜m ＜12且m≠0，且OP 2
＝2(m+12)2+12， ∵2＞0，
∴当﹣
35＜m ＜﹣12时，OP 2随m 的增大而减小，当m ＝﹣35时，OP 2
有最大临界值1325，当m ＝﹣12时，OP 2
有最小临界值12
， 当﹣12＜m ＜12时，OP 2随m 的增大而增大，当m ＝﹣12时，OP 2
有最小临界值12
，当m ＝
12时，OP 2
有最大临界值52
，
∴
12≤OP 2<5
2且OP 2≠1， ∵P 到原点的距离为非负数，
≤OP 且OP≠1． 【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在(1)中注意利用和谐三数组的定义，在(2)中由和谐三数组得到关于t 的方程是解题的关键，在(3)①中用a 、b 、c 分别表示出x 1，x 2，x 3是解题的关键，在(3)②中把OP 2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．
7．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .
（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为2
23y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）
(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或3(1,2-或3(1,)2
-.
【解析】
分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；
（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2
=（-1+3）2
+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求
出点P 的坐标．
详解：（1）依题意得：1203
b
a a
b
c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪
⎩
，解得：123a b c =-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩，
∴抛物线的解析式为223y x x =--+. ∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ， ∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，
得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩
，
∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.
（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，
∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明
MA MC +的值最小的原因）.
（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，
∴218BC =，()2
222134PB t t =-++=+，()()2
2
2213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：
2t =-，
②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：
4t =，
③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：
1t =
2t =
. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-
或⎛- ⎝⎭
或⎛- ⎝⎭
.
点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
8．综合与探究
如图，抛物线2
6y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物
线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的
3
4
时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)233
642
y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(M M M M . 【解析】 【分析】
(1)利用待定系数法进行求解即可；
(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据
S △BCD =
34S △AOC ，得到S △BCD =92
，然后求出BC 的解析式为3
62y x =-+，则可得点G 的坐
标为3(,6)2m m -+，由此可得2
334
DG m m =-+，再根据
S △BCD =S △CDG +S △BDG =1
2
DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案；
(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154
和点N 的纵坐标为15
4
-
两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由
此即可求得答案. 【详解】
(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)， ∴4260
16460
a b a b -+=⎧⎨
++=⎩，
解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴抛物线的函数表达式为233
642
y x x =-
++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，
由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6， ∴S △OAC =11
26622
OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =
3
4S △AOC ， ∴S △BCD =39
642
⨯=，
设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，
由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326
k n ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩，
∴直线BC 的函数表达式为3
62
y x =-+， ∴点G 的坐标为3
(,6)2
m m -+， ∴223333
6(6)34224
DG m m m m m =-
++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，
∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111
()2222
DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =221
33346242
m m m m -+⨯=-+（）， ∴239
622
m m -
+=， 解得11m =(舍)，23m =，
∴m 的值为3；
(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,
)4
，∴点N 点纵坐标为±154，
当点N 的纵坐标为15
4
时，如点N 2， 此时23315
6424x x -
++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215
(1,
)4
N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为15
4
-时，如点N 3，N 4，
此时23315
6424
x x -
++=-，解得：1211x x ==
∴315(1)4N +-
，415
(1)4
N -，
∴3M ，4(M ；
以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，
∵115(1,
)4
N -，D(3，154)，
∴N 1D=4， ∴BM 1=N 1D=4， ∴OM 1=OB+BM 1=8， ∴M 1(8，0)，
综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(M M M M ，，，，.
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
9．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣1
2
x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和
点B（0，5
2
），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时
针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1
2
x2+2x+
5
2
；（2）线段CD的长为2；（3）M点的坐
标为（0，7
2
）或（0，﹣
7
2
）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y=﹣1
2
（x﹣2）2+
9
2
，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物
线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，9
2
﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，
DP=DC=t ，则P （2+t ，
92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+5
2
得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长；
（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，5
2
），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标
为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+5
2
+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+5
2
+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．
【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，
52）代入y=﹣12
x 2
+bx+c 得 1
0252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得252b c =⎧⎪
⎨=⎪⎩，
∴抛物线解析式为y=﹣
12x 2+2x+5
2
； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+92
， ∴C （2，
9
2
），抛物线的对称轴为直线x=2， 如图，设CD=t ，则D （2，9
2
﹣t ），
∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处， ∴∠PDC=90°，DP=DC=t ，
∴P （2+t ，
9
2﹣t ）， 把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得﹣12（2+t ）2+2（2+t ）+52=9
2﹣t ，
整理得t 2
﹣2t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2， ∴线段CD 的长为2；
（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，5
2
），
∵抛物线平移，使其顶点C （2，9
2
）移到原点O 的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移9
2
个单位，
而P 点（4，
92）向左平移2个单位，向下平移9
2
个单位得到点E ， ∴E 点坐标为（2，﹣2）， 设M （0，m ），
当m ＞0时，
12•（m+52
+2）•2=8，解得m=72，此时M 点坐标为（0，7
2）；
当m ＜0时，12•（﹣m+52
+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M 点坐标为（0，﹣7
2）；
综上所述，M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣7
2
）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.
10． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x =1，y =3，y =x +2，y =﹣x +4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C 分别在
x 轴和y 轴上，抛物线21
()4
y x m n =
-+经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部． （1）直接写出点D （m ，n ）所有的特征线；
（2）若点D 有一条特征线是y =x +1，求此抛物线的解析式；
（3）点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A ′的位置，当点A ′在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？
【答案】（1）x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m+n ；（2）21
(2)34
y x =-+；（3）抛物
线向下平移93
-或23
12距离，其顶点落在OP 上． 【解析】
试题分析：（1）根据特征线直接求出点D 的特征线；
（2）由点D 的一条特征线和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．
试题解析：解：（1）∵点D （m ，n ），∴点D （m ，n ）的特征线是x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m +n ；
（2）点D 有一条特征线是y =x +1，∴n ﹣m =1，∴n =m +1．∵抛物线解析式为
21()4y x m n =-+，∴21
()14
y x m m =-++，∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方
形的对称轴，D （m ，n ），∴B （2m ，2m ），∴21
(2)24
y m m n m =-+=，将n =m +1带入得到m =2，n =3；
∴D （2，3），∴抛物线解析式为21
(2)34
y x =
-+． （3）①如图，当点A ′在平行于y 轴的D 点的特征线时：
根据题意可得，D （2，3），∴OA ′=OA =4，OM =2，∴∠A ′OM =60°，∴∠A ′OP =∠AOP =30°，
∴MN
=3． ②如图，当点A ′在平行于x 轴的D 点的特征线时，设A ′（p ，3），则OA ′=OA =4，OE =3，
EA ，∴A ′F =4，设P （4，c ）（c ＞0），，在Rt △A ′FP 中，（4﹣
）2+（3﹣c ）2=c 2
，∴c =
163-，∴P （4，163
-），∴直线OP 解析式为
y x ，∴N （2，83
-），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣
=
OP上．
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．
（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少；
（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；
（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；
（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．
【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣
≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．
【解析】
【分析】
(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；
(2)利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；
(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断；
(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题.
【详解】
解：(1)当a=﹣1时，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∴顶点D(﹣1，4)，C(0，3)，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，
∴E（3，0），
∴OE=3，
(2)结论：OE的长与a值无关．
理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，
∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，
∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，
当y=0时，x=3，
∴E（3，0），
∴OE=3，
∴OE的长与a值无关．
(3)当β=45°时，OC=OE=3，
∴﹣3a=3，
∴a=﹣1，
当β=60°时，在Rt△OCE中，
∴﹣
∴a=，
∴45°≤β≤60°，a≤a≤﹣1．(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．
∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，∴∠DPM=∠EPN，
∴△DPM≌△EPN，
∴PM=PN，PM=EN，
∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，
∴EN=4+n=3﹣m，
∴n=﹣m﹣1，
当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1，∵抛物线的顶点在第二象限，
∴m＜1．
∴n=﹣m ﹣1(m ＜1)．
故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE 的长与a 值无关；(3)﹣1；(4)n=﹣m ﹣1（m ＜1）． 【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。

12．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点
(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．
（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．
（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得
2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．
【答案】（1）抛物线的表达式为：2
28y x x =-++，直线AB 的表达式为：
21y x =-；（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(12)+或
(12)．
【解析】 【分析】
（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2
+9，即可求解；
（2）S △DAC =2S △DCM ，则
()()
()()()2111
2821139112222
DAC
C A S
DH x x x x x x =
-=-++-++=--⨯，，即可求解；
（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】
解：（1）二次函数表达式为：()2
19y a x =-+， 将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-，
故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①， 则点()3,5B ，
将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB 的表达式为：21y x =-； （2）存在，理由：
二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ， 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，
设点()
2
,28D x x x -++，点(),21H x x -，
∵2DAC DCM S S ∆∆=，
则()()
()()()21112821139112222
DAC C A S
DH x x x x x x =
-=-++-++=--⨯， 解得：1x =-或5（舍去5），
故点()1,5D -；
（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++， ①当AM 是平行四边形的一条边时，
点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，
同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++， 解得：6s =或﹣4， 故点()6,16P -或()4,16--； ②当AM 是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++，
解得：1s =±
故点(
)12P 或()
12；
综上，点()6,16P -或()4,16--或(
)12或()
12．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
13．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+5
3
x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣
2）．点E是直线y=﹣1
3
x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．
【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=21
4
，M坐标为（
3
2
，3）；（3）F坐标为（0，﹣
3
2
）．
【解析】
【分析】
1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E坐标即可；
（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可；
（3）令y=0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC 与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标．
【详解】
（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：
20
162
3
2
a c
c
⎧
++=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
解得：
2
a
3
2
c
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，即二次函数解析式为y=﹣
2
3
x2+
5
3
x+2，
联立一次函数解析式得：2225
233y x y x x ﹣﹣=+⎧⎪
⎨=++⎪⎩， 消去y 得：﹣
13x+2=﹣23x 2+5
3
x+2， 解得：x=0或x=3， 则E （3，1）；
（2）如图①，过M 作MH ∥y 轴，交CE 于点H ，
设M （m ，﹣23m 2+53m+2），则H （m ，﹣1
3
m+2）， ∴MH=（﹣
23m 2+53m+2）﹣（﹣13m+2）=﹣2
3
m 2+2m ， S 四边形COEM =S △OCE +S △CME =12×2×3+1
2
MH•3=﹣m 2+3m+3， 当m=﹣
a b =32时，S 最大=214，此时M 坐标为（3
2
，3）； （3）连接BF ，如图②所示，
当﹣
23x 2+53x+20=0时，x 1
=4，x 2
=4， ∴
OA=
4，
OB=4
， ∵∠ACO=∠ABF ，∠AOC=∠FOB ， ∴△AOC ∽△FOB ，
∴OA OC
OF OB =
，即4OF = ，
解得：OF=
32
， 则F 坐标为（0，﹣3
2
）． 【点睛】
此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
14．如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax 2+bx+4过点B ，C 两点，且与x 轴的一个交点为D （﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP =t （0＜t ＜10）．
（1）请直接写出B 、C 两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P 作PE ⊥BC ，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，∠PBE =∠OCD ？ （3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM ∥BQ ，交CQ 于点M ，作PN ∥CQ ，交BQ 于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．
【答案】（1）B （10，4），C （0，4），215463y x x =-++；（2）3；（3）103或 203
. 【解析】
试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C 点坐标，由矩形的性质可求得B 点坐标，由B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可设P （t ，4），则可表示出E 点坐标，从而可表示出PB 、PE 的长，由条件可证得△PBE ∽△OCD ，利用相似三角形的性质可得到关于t 的方程，可求得t 的值；
（3）当四边形PMQN 为正方形时，则可证得△COQ ∽△QAB ，利用相似三角形的性质可求得CQ 的长，在Rt △BCQ 中可求得BQ 、CQ ，则可用t 分别表示出PM 和PN ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值． 试题解析：
解：（1）在y ＝ax 2
＋bx ＋4中，令x ＝0可得y ＝4，
∴C （0，4），
∵四边形OABC 为矩形，且A （10，0）， ∴B （10，4），
把B 、D 坐标代入抛物线解析式可得1001044
4240a b a b ++=⎧⎨-+=⎩
，
解得
1
6
5
3
a
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴抛物线解析式为y＝
1
6
-x2＋
5
3
x＋4；
（2）由题意可设P（t，4），则E（t，
1
6
-t2＋
5
3
t＋4），
∴PB＝10﹣t，PE＝
1
6
-t2＋
5
3
t＋4﹣4＝
1
6
-t2＋
5
3
t，
∵∠BPE＝∠COD＝90°，当∠PBE＝∠OCD时，则△PBE∽△OCD，
∴PE PB
OD OC
=，即BP•OD＝CO•PE，
∴2（10﹣t）＝4（
1
6
-t2＋
5
3
t），解得t＝3或t＝10（不合题意，舍去），
∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；当∠PBE＝∠CDO时，
则△PBE∽△ODC，
∴PE PB
OC OD
=，即BP•OC＝DO•PE，
∴4（10﹣t）＝2（
1
6
-t2＋
5
3
t），解得t＝12或t＝10（均不合题意，舍去）
综上所述∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；
（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，∴∠CQO＋∠AQB＝90°，
∵∠CQO＋∠OCQ＝90°，
∴∠OCQ＝∠AQB，
∴Rt△COQ∽Rt△QAB，
∴CO OQ
AQ AB
=，即OQ•AQ＝CO•AB，
设OQ＝m，则AQ＝10﹣m，
∴m（10﹣m）＝4×4，解得m＝2或m＝8，
①当m＝2时，CQ
BQ
∴sin∠BCQ＝BQ
BC
，sin∠CBQ＝
CQ
BC
，
∴PM＝PC•sin∠PCQ
t，PN＝PB•sin∠CBQ
（10﹣t），
t（10﹣t），解得t＝10
3
，
②当m＝8时，同理可求得t＝20
3
，
∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为10
3
或
20
3
．
点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B 点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE∽△OCD是解题的关键，在（3）中利用
Rt△COQ∽Rt△QAB求得CQ的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
15．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．
（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；
（3）求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标．
【答案】（1）点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）当m=0
时，S取最小值，最小值为1
2
；当m=3时，S取最大值，最大值为5．（3）满足
∠MPO=∠POA的点M的坐标为（0，4）或（24
7
，
124
49
）．
【解析】
【分析】（1）代入y=c可求出点C、P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，进而可得出点P的坐标及抛物线的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标，过点M作ME∥y轴，交直线AB 于点E，由点M的横坐标可得出点M、E的坐标，进而可得出ME的长度，再利用三角形。