机械振动知识总结

一、单自由度系统的振动
2
()()0()(n
mx t kx t x t w x t +=⇔+120)cos sin cos n n A w t A w t x =+=2
()()()0()2()()0n n mx t cx t kx t x t w x t w x t ξ++=++= 211
)(n
n w t w t e X e ξξ--=+自然频率 阻尼率 22n c c mw mk
ξ=
=
w 2()2()(()cos(n n n
w t
d x t w x t w x t t C e
w t ξξψ-++=-：尼
激0 ()cos(n x t C w t =-幅频曲线
及其特性 ()H w 1：此时力与位移相位相反sin nwt c =/2/22T T T -=⎰周期函数将失去周期性，而离散频谱将转化为连续谱，此时傅里
()()(mx t cx t kx t ++21
)[1(/)n n c k w w ∞
==-∑
00
sin n d
x x ξωω+0sin n n x t ωω +自由振动是强迫振动的基础，任一时刻的强迫振动响应其实只是该时
刻前被激起的一系列自由振动的叠加。

2()2()()n n
x t w x t w x t ξ++=1()()()2iwt
t H w F w e dw π+∞-∞=⎰()()()mx t cx t kx t ++=
拉普拉斯变换：
()(0)(()()()F s mx ms X s D s D s ++=+
拉氏反变换：1
1()[()]2jw jw
x t L X s j γγ
π+--==⎰牛顿第二定律、定轴转动方程、能量原理、拉格朗日方程一般情况采用解析法求解，对于非线性方程，常采用数值方法求解
振动系统反作用力近似为位移和速度的函数：)x 泰勒展开并取
cx 结论：弹簧刚度与阻尼系数实际上是泰勒展开式中
定义：单位位移所需要的力。

弹簧串联、并联，关键在于共力还是共位移用积分计算结构运动时的动能，得到某结构的等效质量/d m ；经变形法；能量法：max V
不变，响应振幅与激振力振幅正比，为滞后激励多少，Ψ初相位微小的阻尼就可以限制振幅的无限扩大共振需要一个较长的建立过程，机器需有足够的加速功率顺利通过共振区。

频率接近共振频率时，系统振幅出现周期性忽大忽小的变化
}[]{x K +{})jwt u e =12-=
n w 、1r 一阶}
[T
x K θ
+{}sin B wt
1212((F k B B F k =共振时振幅比定义：又称振型迭加法，它利用}[]0y K +}2y t （）变换为原坐标解
[M]、[k]需为对称阵时才有）由主振型的正交性可得：由模态矩阵对原方程坐标变换后，可使得[M]——模态刚度矩阵/主刚度矩阵；分别为第一阶、第二阶模态质量/主质量，模态刚度
111221331
x k x k x k ⎫⎡⎪⎢+⎬⎢⎪⎢⎭⎣特点：不必利用牛二定律列出运动方程，可直接根据定义写出各个刚度影响系数——弹簧质量系统最适合用此法点作用单位力，而其余各点均无作用力时，在系统{}{}0x =其中梁类振动系统，柔度影响系数往往比刚度影响系数易于求得{}{}{}0[]A u x ==μ—振型矩阵；[A]—动力矩阵；结果1/2n
i i m y =∑
、需假定振型；22111/1/1/n nkk
w w ++特点：用于求多圆盘轴固有频率；比真实值略低；将多自由度转化为但自由度问题011/101t k ⎤⎡⎥⎢⎣
⎦[][]{11n T T θ-将分支的转矩和转角折算后加入到主支后即可}[]{}{x K x F +=、求取系统固有频率与主振型，得到振型矩阵：[]{}()
n u u =}[]{}[}{}{[][]M y y u y x u K F +==⇒左乘上式得到：[][}[]{}[]{[][]T T T u M y u K u y u F +=、求的各解耦方程的通解后再用杜哈美积分求得方程的特解 、把模态坐标响应变换为广义坐标响应，即为系统的实际响应
[]1/N
i
M u =⇒}[]}{}2
N N N ni N y K y w +⎡⎤+⎣⎦→上式即为最简单的已解耦的正则坐标运动方程式
四、连续体振动
sin r x
L π=cos
r x
L
π=21)
r x π-
五、机械振动系统数字仿真
10111m m dy d u d u du
dt dt dt dt
-++++111m m n n b s b s a s ---++++++y
x Ax Bu ⇒=+状态方程：、阶跃响应仿真 前函数;y=step(sys,t);plot(sys,t);、任意响应仿真 用函数：y=lsim(sys,u,t);u 、非0初始条件
响应的仿真通过方程转化为阶跃响应或任意响应的问题个状态变量xi ，个输入变量u ，m 个输出变量—输入矩阵；C —输出矩阵；中一个以状态空间表示的机械系统可以用A=[****];B=[****];C=[****];D=[****];sys=ss(A,B,C,D)
六、典型传动机构的动力学分析
(r my k s =-max max /y s =越小越好，加速度常用简谐曲线集中参数简化：弹性大部分 集中治理代替（保持前后动能不变），可得到串并联弹簧系统，之后得到MU KU +=阶主振型对系统贡献值取决于该阶固有频率与激振频率高速凸轮最低阶固有频率也高出激励频率很多，故一阶频率影响最大齿面间的相互作用力始终沿啮合线，将原两齿轮向齿轮啮合线齿轮振动——双质量弹簧系统——单质量弹簧系统——有激励的动力学模型2⇒固有频率2011/e x k x x en z +==两轮等效为圆盘，带转化为具有等效扭
转刚度的扭轴2;e J J =惯性横向激振力：
1sin w t 中心距很大：弦振动，固有频率：无张紧轮：n w =有张紧轮：
42(/EI l πρ
{}[]X K +七、典型振动机械的动力学分析
两侧下方对称布置一对参数相同的惯性力在两电机轴连线方向抵消，在与两轴连线相互垂直的方向上叠加为运动：水平方向振动、垂直方向振动、绕质心做摇摆振动。

x w 较复杂，01:0;1:;F A A m λλ≈≈
1=01=180ϕλϕ：；：（单调增）
一般在过共振区工作：22x y +=2tan )Φ
空间圆锥运动：2222(tan )x y A z +=+Φ≈221/22222)()]k x c x +
振动压力机对地面的作用力是土的弹性变形力和土的阻尼力的矢量和。

双驱双钢轮振动压路机，可建立振动压路机平面五自由度振动模型。

模型分为三阶段：塑性阶段、弹—塑性阶段、相对刚性阶段在塑性。

相对刚性阶段需修改模型后求解。

八、机械振动的控制技术
时,
1η≈
<时:抑制振
2ξ
设计时：
w
/
金属弹簧隔振器：
螺旋、扭转、钢板
支撑式：受压弹簧（应用较多）
、振源识别：测试分析激励大小、方向、频率，频率与转速常相关、选择隔振后机械系统的自然频率
九、机械振动测试。