人教版八年级数学上册 第十二章 全等三角形 单元测试卷

第十二章全等三角形（单元测试卷
人教版）
考试时间：120分钟，满分：120分
一、选择题：共10题，每题3分，共30分。

1．下列各组图形中，属于全等图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，已知12∠=∠，C B ∠=∠，则ACD ABD △≌△的依据是（）
A ．AAS
B ．ASA
C ．SSS
D ．SAS
3．如图，AOC BOD ≌ ，C ∠与D ∠是对应角，AC 与BD 是对应边．若10cm AD =，2cm OC =，则OB 的长为（）
A ．2cm
B ．4cm
C ．8cm
D ．10cm
4．如图，90,,125B D CB CD ∠∠∠==︒==︒，则2∠=（）
A ．25︒
B ．40︒
C ．65︒
D ．60︒
5．如图，在ABC 和DCB △中，AC 、BD 相交于点E ，AB DC =，若利用“SSS ”来判定ABC DCB △≌△，
则需添加的条件是（）
A ．AE DE =
B ．CE CD =
C ．BE CE =
D ．AC DB
=6．如图，作一个角等于已知角（尺规作图）的正确顺序是（）
A ．①⑤②④③
B ．①②④⑤③
C ．①④③⑤②
D ．②①③④⑤
7．如图，已知ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中能和ABC 重合的是（）
A ．丙和乙
B ．甲和丙
C ．只有甲
D ．只有丙
8．现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在（）处
A ．三角形三边的垂直平分线的交点
B ．三角形的三条角平分线的交点
C ．三角形的三条高所在直线的交点
D ．三角形的三条中线的交点
9．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，DE BC ⊥于点E ，且BE AB =．若13AB CD =，则BE CE
（）
A ．2
3B ．12C ．3
4D ．1
4
10．如图，在Rt ABC 中，AB AC =，45ABC ACB ∠=∠=︒，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE =︒∠，若3BD =，4CE =，15ADE S = ，则ABD △与AEC △的面积之和为（）
A ．36
B ．21
C ．30
D ．22
二、填空题：共8题，每题3分，共24分。

11．小明同学认为“三边分别相等的两个三角形全等”是一条基本事实你认为小明的判断是
（填“正确”
或“错误”）．
12．如图，EFG NMH ≌，点H G ，在线段EN 上，若1EH =，3NH =，则HG 的长为．
13．如图，A ABC B C '''≌△△，其中．375AB A C B C ===''''，，，
则ABC 的周长为
14．如图，图中的两个三角形全等，则1∠=°．
15．如图，12∠=∠，AD AB =，要使ADE ABC ≌，则可添加的一个条件是（写出一个即可）．
16．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=度．
17．如图，ABC 的三边AB ，CA ，BC 的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O ，则ABO S ：BCO S △：
CAO S =△
18．如图，CA BC ⊥，垂足为C ，3cm AC =，9cm BC =，射线BM BQ ⊥，垂足为B ，动点P 从C 点出发以1cm /s 的速度沿射线CQ 运动，点N 为射线BM 上一动点，满足PN AB =，随着P 点运动而运动，当点P 运动时间t 为秒时，BCA V 与点P 、N 、B 为顶点的三角形全等（0t >）．
三、解答题：共10题，共66分，其中第19题每小题4分，第20~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。

19．
（4分）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．
（1）如果要求油库到两条公路,AB AC 的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
20．
（6分）如图，AC BC ⊥，BD AD ⊥，垂足分别为C ，D ，AC BD =．求证BC AD =．
21．
（6分）如图，点B ，C ，D ，E 在一条直线上，BC ED =，AB EF =，AB EF ∥，求证：A F ∠=∠．
22．（6分）已知：如图，E ，F 是线段BC 上两点，AB DC =，AF DE =，BE CF =．求证：ABF DCE ≌△△．
23．如图，点F 在AB 上，BC AD ∥，AD AC =，AED B ∠=∠．求证：ABC DEA
≌24．
（6分）已知：点B ，C ，F ，E 在一条直线上，FB CE =，AB ED ∥，AC FD ∥．求证：AB DE =，AC DF =．
25．（7分）如图，已知AB CD =，AD BC =，O 为AC 的中点，过O 作一条直线分别与AB ，CD 交于点M ，N ，点E ，F 在直线MN 上，且OE OF =．
(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；
(2)求证：MAE NCF ∠=∠．
26．（7分）如图，在ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以AB BC ，为腰向ABC 外作等腰三角形ABM 和等腰三角形BCN ，其中，12060AB BM BC BN ABM NBC ==∠=︒∠=︒，，，，连接MN ．
(1)请写出BD 与MN 的数量关系，并说明理由．
(2)延长DB 交MN 于点F ，求MFB ∠的度数．
27．
（8分）已知，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 过点A ，且BD m ⊥于D ，CE m ⊥于E ，当直线m 绕点A 旋转至图1位置时，我们可以发现DE BD CE =+．
(1)当直线m 绕点A 旋转至图2位置时，问：BD 与DE 、CE 的关系如何？请予证明；
(2)直线m 在绕点A 旋转一周的过程中，BD 、DE 、CE 存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
28．（10分）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图①，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，2ABC C ∠=∠，求证：AC AB BD =+；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图②，在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，可以得到全等三角形，进而解决问题；方法二：如图③，延长AB 到点E ，使得BE BD =，连接DE ，可以得到等腰三角形，进而解决问题.
(1)根据以上材料，任选一种方法证明：AC AB BD =+；
(2)如图④，四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，EA ED =，2C B ∠=∠，90DAE B ∠+∠=︒，探究DC ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明.
第十二章全等三角形（单元测试卷
人教版）
考试时间：120分钟，满分：120分
二、选择题：共10题，每题3分，共30分。

1．下列各组图形中，属于全等图形的是（）A ．B
．
C
．D ．【答案】C
【详解】解：A 中两个图形大小不同，不是全等图形，不符合题意；B 中图形是一个图形，不是全等图形，不符合题意；C 中两个图形是全等图形，符合题意；
D 中两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意；故选：C ．
2．如图，已知12∠
=∠，C B ∠=∠，则ACD ABD △≌△的依据是（）A ．AAS
B ．ASA
C ．SSS
D ．SAS 【答案】A 【详解】解：在ACD 和ABD △中，
12C B AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()AAS ACD ABD ≌．
故选：A ．
3．如图，AOC BOD ≌ ，C ∠与D ∠是对应角，AC 与BD 是对应边．若10cm AD =，2cm OC =，则OB 的长为（）
A ．2cm
B ．4cm
C ．8cm
D ．10cm 【答案】C 【详解】解：∵AOC BOD ≌ ，10cm AD =，∴10cm BC AD ==，
∵2cm OC =，∴8cm OB BC OC =-=．
故选：C
4．如图，90,,125B D CB CD ∠∠∠==︒==︒，则2∠=（）
A ．25︒
B ．40︒
C ．65︒
D ．60︒【答案】C
【详解】解：如图：
90B ∠=︒ ，125∠=︒，
3901902565∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，
在Rt ABC △和Rt ADC 中，
AC AC CB CD
=⎧⎨=⎩，Rt Rt (HL)ABC ADC ∴ ≌，
2365∴∠=∠=︒．
故选：C ．
5．如图，在ABC 和DCB △中，AC 、BD 相交于点E ，AB DC =，若利用“SSS ”来判定ABC DCB △≌△，则需添加的条件是（）
A ．AE DE
=B ．CE CD =C ．BE CE =D ．AC DB
=【答案】D 【详解】解： AB DC =，
BC CB =，
∴当AC DB =时，
SSS 可判定ABC DCB △≌△；
故选：D ．6．如图，作一个角等于已知角（尺规作图）的正确顺序是（）
A ．①⑤②④③
B ．①②④⑤③
C ．①④③⑤②
D ．②①③④⑤
【答案】A 【详解】解：根据用尺规作一个角等于已知角的作图步骤可知正确的是：①⑤②④③．
故选：A ．
7．如图，已知ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中能和ABC 重合的是（）
A ．丙和乙
B ．甲和丙
C ．只有甲
D ．只有丙
【答案】B
【详解】解：甲中的三角形和ABC 全等，符合全等三角形的判定定理SAS ；
乙中的三角形和ABC 不全等，不符合全等三角形的判定定理；
丙中的三角形和ABC 全等，符合全等三角形的判定定理AAS ；
故选：B ．
8．现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在（）处
A ．三角形三边的垂直平分线的交点
B ．三角形的三条角平分线的交点
C ．三角形的三条高所在直线的交点
D ．三角形的三条中线的交点【答案】B
【详解】解：要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，则洒水龙头的位置应选在三角形三条角平分线的交点，
故选：B
9．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，DE BC ⊥于点E ，且BE AB =．若13AB CD =，则BE CE （）
A ．2
3B ．12C ．34D ．1
4
【答案】B
【详解】解：连接BD ，如图，
∵AD DC DE BC ⊥⊥，，
∴90ADC ∠=︒，90DEB ∠=︒，
∵AB CD ，
∴90A ∠=︒，
在Rt DAB 和Rt DEB △中，
DB DB AB EB =⎧⎨=⎩
，
10．如图，在Rt ABC 中，AB AC =，45ABC ACB ∠=∠=︒，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE =︒∠，若3BD =，4CE =，15ADE S = ，则ABD △与AEC △的面积之和为（）
A ．36
B ．21
C ．30
D ．22【答案】B 【详解】解：如图，将AD
E V 关于AE 对称得到AFE △，
则,45AF AD EAF =∠=︒，15A AFE DE S S == ，
454590CAF CAD DAE EAF ∴∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，
18090BAD CAD BA A C BC ACB ∠+∠=∠=︒--∠=∠︒ ，
CAF BAD ∴∠=∠，
在ACF △和ABD △中，AC AB CAF BAD AF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
二、填空题：共8题，每题3分，共24分。

11．小明同学认为“三边分别相等的两个三角形全等”是一条基本事实你认为小明的判断是
（填“正确”或“错误”）．
【答案】正确
【详解】根据“两个三角形的三条边分别对应相等，则两个三角形全等”可知，小明的判断是正确的．故答案为：正确．
12．如图，EFG NMH ≌，点H G ，在线段EN 上，若1EH =，3NH =，则HG 的长为．
【答案】2
【详解】解：∵EFG NMH ≌，
∴3EG NH ==，
∴312HG EG EH =-=-=，
故答案为：2．
13．如图，A ABC B C '''≌△△，其中．375AB A C B C ===''''，，，
则ABC 的周长为
【答案】15
【详解】解：∵A ABC B C '''≌△△，3AB =，7A C ''=，5B C ''=，
∴7AC A C ''==，5BC B C ''==，
∴ABC 的周长为35715AB BC AC ++=++=，
故答案为：15．
14．如图，图中的两个三角形全等，则1∠=°．
【答案】55
【详解】解：根据左图可知，边a 、c 夹角为55︒，
∵两个三角形全等，
∴155∠=︒．故答案为：55．15．如图，12∠=∠，AD AB =，要使ADE ABC ≌，则可添加的一个条件是（写出一个即可）．
【答案】AE AC =（答案不唯一）
【详解】解：添加条件AE AC =，理由如下：
∵12∠=∠，
∴12BAE BAE ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，
又∵AD AB =，AE AC =，
∴()SAS ADE ABC ≌，
故答案为：AE AC =（答案不唯一）．
16．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=度．
【答案】135
【详解】如图所示，
在△ACB 和△DCE 中，
AB DE A D AC DC ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()△△ACB DCE SAS ≅，
∴3ABE ∠
=∠，
∴()12313459045135∠+∠+∠=∠+∠+︒=︒+︒=︒；
故答案是：135︒．
17．如图，ABC 的三边AB ，CA ，BC 的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O ，则ABO S ：BCO S △：CAO S =
△
18．如图，CA BC ⊥，垂足为C ，3cm AC =，9cm BC =，射线BM BQ ⊥，垂足为B ，动点P 从C 点出发以1cm /s 的速度沿射线CQ 运动，点N 为射线BM 上一动点，满足PN AB =，随着P 点运动而运动，当点P
运动时间t 为秒时，BCA V 与点P 、N 、B 为顶点的三角形全等（0t >）．
【答案】6或12或18
【详解】解：①当P 在线段BC 上，AC BP =时，ACB PBN ≌，
3cm AC = ，
3cm BP ∴=，
936cm CP ∴=-=，
∴P 的运动时间为616÷=秒；
②当P 在线段BC 上，AC BN =时，ACB NBP ≌，
这时9cm,0BC PB CP ===，因此时间为0秒（舍去）；
③当P 在BQ 上，AC BP =时，ACB PBN ≌，
3cm AC = ，
3cm BP ∴=，
3912CP ∴=+=，
点P 的运动时间为12112÷=(秒)；
④当P 在BQ 上，AC NB =时，ACB NBP ≌，
9cm BC = ，
9cm BP ∴=，
9918CP ∴=+=，
点P 的运动时间为18118÷=(秒)，
∴点P 的运动时间为6或12或18．
故答案为：6或12或18．
三、解答题：共10题，共66分，其中第19题每小题4分，第20~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。

19．
（4分）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．
（1）如果要求油库到两条公路,AB AC 的距离都相等，那么如何选择油库的位置？（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？【答案】（1）油库的位置在直线MN 或直线EF 上；（2）见解析
【详解】解：（1）如图，油库的位置在直线MN 或直线EF 上；（2）如图，点P 1，P 2，P 3，P 4即为所求．
20．
（6分）如图，AC BC ⊥，BD AD ⊥，垂足分别为C ，D ，AC BD =．求证BC AD =．
【答案】证明见解析
【详解】证明：AC BC ⊥Q ，BD AD ⊥，90C D ∴∠=∠=︒，
在Rt △ABD 和Rt BAC 中，
AC BD BA AB =⎧⎨=⎩
，()Rt Rt HL ABD BAC ∴ ≌，
BC AD ∴=．
21．
（6分）如图，点B ，C ，D ，E 在一条直线上，BC ED =，AB EF =，AB EF ∥，求证：A F ∠=∠．
【答案】见解析【详解】证明： BC ED =，∴BD CE =，
AB EF ∥，
∴B E ∠=∠，
在ABD △与FEC 中，
AB FE B E BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴(SAS)ABD FEC ≌△△，∴A F ∠=∠．
22．
（6分）已知：如图，E ，F 是线段BC 上两点，AB DC =，AF DE =，BE CF =．求证：ABF DCE ≌△△．【答案】见详解
【详解】证明：BE CF = ，BE EF CF EF ∴+=+，
BF CE ∴=.
在ABF △和DCE △中，
AB DC AF DE BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()SSS ABF DCE ∴ ≌．
23．如图，点F 在AB 上，BC AD ∥，AD AC =，AED B ∠=∠．求证：ABC DEA
≌【答案】见详解
【详解】解：BC AD ，C DAE ∴∠=∠，
在ABC 和DEA △中，
B AED
C DAE AC A
D ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
(AAS)ABC DEA ∴ ≌．
24．
（6分）已知：点B ，C ，F ，E 在一条直线上，FB CE =，AB ED ∥，AC FD ∥．求证：AB DE =，AC DF =．【答案】见解析
【详解】证明：∵AB ED ∥，AC DF ∥，∴B E ∠=∠，ACB DFE ∠=∠，∵FB CE =，
∴BF CF CE CF -=-，即BC EF =．在ABC
和DEF 中，
B E B
C EF ACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴()ASA ABC DEF ≌△△．∴AB DE =，AC DF =．
25．
（7分）如图，已知AB CD =，AD BC =，O 为AC 的中点，过O 作一条直线分别与AB ，CD 交于点M ，N ，点E ，F 在直线MN 上，且OE OF =．
(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；
(2)求证：MAE NCF ∠=∠．【答案】(1)4；ABC CDA ≌，AMO CNO ≌，OAE OCF ≌，AME CNF
≌(2)证明见解析
【详解】（1）解：有4对全等三角形，分别为：
ABC CDA ≌，AMO CNO ≌，OAE OCF ≌，AME CNF ≌，
理由如下：
AB CD = ，BC AD DA ==，AC CA =，
()SSS ABC CDA ∴ ≌，
BAC DCA ∴∠=∠，
即MAO NCO ∠=∠，
O 为AC 的中点，
OA OC ∴=，
又AOM CON ∠=∠ ，
()ASA AMO CNO ∴ ≌，
AM CN ∴=，OM ON =，
OA OC = ，AOE COF ∠=∠，OE OF =，
()SAS OAE OCF ∴ ≌，
AE CF ∴=，
OE OF = ，OM ON =，
OE OM OF ON ∴-=-，
即ME NF =，
又AM CN = ，
()SSS AME CNF ∴ ≌；
（2）证明：AB CD = ，BC AD DA ==，AC CA =，
()SSS ABC CDA ∴ ≌，
BAC DCA ∴∠=∠，
即MAO NCO ∠=∠，
O 为AC 的中点，
OA OC ∴=，
又AOM CON ∠=∠ ，
()ASA AMO CNO ∴ ≌，
AM CN ∴=，OM ON =，
OA OC = ，AOE COF ∠=∠，OE OF =，
()SAS OAE OCF ∴ ≌，
AE CF ∴=，
OE OF = ，OM ON =，
OE OM OF ON ∴-=-，
即ME NF =，
又AM CN = ，
()SSS AME CNF ∴ ≌，
MAE NCF ∴∠=∠．
26．
（7分）如图，在ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以AB BC ，为腰向ABC 外作等腰三角形ABM 和等腰三角形BCN ，其中，12060AB BM BC BN ABM NBC ==∠=︒∠=︒，，，，连接MN ．
(1)请写出BD 与MN 的数量关系，并说明理由．
(2)延长DB 交MN 于点F ，求MFB ∠的度数．
【答案】(1)2MN BD =，见解析
(2)120︒
【详解】（1）解：2MN BD =，理由如下：
如图，延长BD 至E ，使DE BD =，连接AE ，
∵点D 是AC 的中点，
∴CD AD =，
∵CDB ADE
∠=∠∴ADE CDB
≌△△∴BC AE DAE DCB =∠=∠，，∵BC BN =，
∴AE BN =，
∵12060ABM NBC ∠=︒∠=︒，，∴180MBN ABC ∠+∠=︒，
∵180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒，∴MBN BAC ACB BAC DAE BAE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∵AB BM =，
∴ABE BMN ≌V V ，
∴BE MN
=∴2MN BD =．
（2）解：延长DB 交MN 于点F ，∵ABE BMN ≌V V ，
∴ABE BMN ∠=∠，
∵120ABM ∠=︒，
∴18012060ABE MBF ∠+∠=︒-︒=︒，∴60BMF MBF ∠+∠=︒，
∴18060120MFB ∠=︒-︒=︒．
27．
（8分）已知，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 过点A ，且BD m ⊥于D ，CE m ⊥于E ，当直线m 绕点A 旋转至图1位置时，我们可以发现DE BD CE =+．
(1)当直线m 绕点A 旋转至图2位置时，问：BD 与DE 、CE 的关系如何？请予证明；
(2)直线m 在绕点A 旋转一周的过程中，BD 、DE 、CE 存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）【答案】
(1)DE BD CE =-，证明见解析；
(2)DE BD CE =+，DE BD CE =-，DE CE BD =-．
【详解】（1）证明：如图2，
∵BD m ⊥，CE m ⊥，
∴90BDA CEA ∠=∠=︒，
∴90ABD DAB ∠+∠=︒．
∵90BAC ∠=︒，
∴90DAB CAE ∠+∠=︒，
∴ABD CAE ∠=∠．
在ABD △和CAE V 中，
BDA CBA ABD CAB AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ABD CAE △△≌（AAS ），
∴AD CE =，BD AE
=∵DE AE AD =-，
∴DE BD CE =-．
（2）直线m 在绕点A 旋转一周的过程中，BD 、DE 、CE 存在3种不同的数量关系：DE BD CE =+，DE BD CE =-，DE CE BD =-．如图1时，DE BD CE =+，
如图2时，DE BD CE =-，
如图3时，DE CE BD =-，（证明同理）
28．
（10分）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：
如图①，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，2ABC C ∠=∠，求证：AC AB BD =+；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图②，在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，可以得到全等三角形，进而解决问题；方法二：如图③，延长AB 到点E ，使得BE BD =，连接DE ，可以得到等腰三角形，进而解决问题
.
(1)根据以上材料，任选一种方法证明：AC AB BD =+；
(2)如图④，四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，EA ED =，2C B ∠=∠，90DAE B ∠+∠=︒，探究DC ，CE ，BE 之间的数量关系，并证明.
【答案】(1)详见解析
(2)BE DC CE =+，详见解析
【详解】（1）证明：方法一，
∵AD 平分BAC ∠，
∴BAD CAD ∠=∠，
在BAD 和EAD 中，
AD AD BAD EAD AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴(SAS)BAD EAD ≌，
∴BD ED =，2AED B C ∠=∠=∠，∵AED C EDC ∠=∠+∠，
∴EDC C ∠=∠，
∴ED EC =，
∴BD EC =，
∴AC AE EC AB BD =+=+；
方法二：
∵BE BD =，
∴E BDE ∠=∠，
∴2ABC E BDE E ∠=∠+∠=∠，∵2ABC C ∠=∠，
∴E C ∠=∠，
∵AD 平分BAC ∠，
∴BAD CAD ∠=∠，
在AED △和ACD 中，
E C EAD CAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
　，
∴(SAS)AED ACD ≌，
∴D A AB B B C AE E AB +=+==；（2）解：BE DC CE =+，证明如下：如图，在EB 上截取EF ，使得EF DC =，连接AF ，∵EA ED =，
∴EAD EDA ∠=∠，
∴2180DAE AED ∠+∠=︒，
∵90DAE B ∠+∠=︒，
∴22180DAE B ∠+∠=︒，
∴2AED B ∠=∠，
∵2C B ∠=∠，
∴AED C ∠=∠，
∵BED AEB AED CDE C ∠=∠+∠=∠+∠，∴AEB CDE ∠=∠，
在AEF △和EDC △中，
EF DC =，AEF EDC =∠∠，AE ED =，∴(SAS)AEF EDC ≌，
∴AF EC =，2AFE C B ∠=∠=∠，∵AFE B BAF ∠=∠+∠，
∴B BAF ∠=∠，
∴BF AF =，
∴BF CE =，
又∵BE BF EF =+，
∴BE DC CE =+．。