2019年湖北省随州市随县中考数学模拟试卷【附答案】

2019年湖北省随州市随县中考数学模拟试卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，共32分）1．（4分）下列计算错误的是（）
A．x2•x3＝x6B．3﹣1＝C．﹣2+|﹣2|＝0D．3+＝4 2．（4分）人们越来越关注健康的话题．关于甲醛污染问题也一直困扰人们．我国质检总局规定：针织内衣、被套、床上用品等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000 075千克以下，将0.000 075用科学记数法表示为（）
A．0.75×10﹣4B．7.5×10﹣4C．7.5×10﹣5D．75×10﹣6
3．（4分）如图所示，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体的小正方体的个数是（）
A．4B．5C．6D．7
4．（4分）如图，已知AB∥CD，OM是∠BOF的平分线，∠2＝70°，则∠1的度数为（）
A．100°B．125°C．130°D．140°
5．（4分）反比例函数y＝与y＝在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）
A．B．2C．3D．1
6．（4分）一组数据3，x，4，5，8的平均数为5，则这组数据的众数、中位数是（）A．5，6B．4，4.5C．5，5D．5，4.5
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的
任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）
A．1B．2C．3D．4
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题4分，共32分）
9．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是．
10．（4分）掷一枚均匀的正方体，6个面上分别标有数字1，2，3，4，4，6，随意掷出这个正方体，朝上的数字不小于“3”的概率为．
11．（4分）如图，晚上小亮站在与路灯底部M相距3米的A处，测得此时小亮的影长AP 为1米，已知小亮的身高是1.5米，那么路灯CM高为米．
12．（4分）如图，把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是cm．
13．（4分）如图，直线y＝kx+b（k＞0）与x轴的交点为（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b ＜0的解集是．
14．（4分）已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形为边形．15．（4分）甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米处的景区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？若设乙每小时行x 千米，根据题意列出的方程是．
16．（4分）如图，⊙A与x轴相切于点O，点A的坐标为（0，1），点P在⊙A上，且在第一象限，∠P AO＝60°，⊙A沿x轴正方向滚动，当点P第n次落在x轴上时，点P的横坐标为．
三、解答题（共8小题，满分86分）
17．（10分）（1）解分式方程：．
（2）先化简，再求值：÷，其中x＝．
18．（9分）某校为了了解九年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后作出如下统计图，甲同学计算出前两组的频率和是0.12，乙同学计算出跳绳次数不少于100次的同学占96%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，结合统计图回答下列问题：
（1）这次共抽调了多少人？
（2）若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？
（3）如果这次测试成绩的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？
19．（9分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．
（1）用列表法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上的概率；
（3）求小明、小华各取一次小球所确定的数x，y满足y＜的概率．
20．（10分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以C为旋转中心，顺时针旋转△ABC到△DCE位置，使点A落在BC边的延长线上的E处，连接AD和BD．
（1）求证：△ADC≌△BCD；
（2）请判断△ABE的形状，并证明你的结论．
21．（10分）如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D．飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C、D之间的距离．
22．（12分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于D点，E为BC 的中点，连接ED并延长交BA延长线于F点．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝，AD＝1，求线段AF的长；
（3）当D为EF的中点时，试探究线段AB与BC之间的数量关系．
23．（12分）某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售．
（1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；
（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为z＝﹣（x﹣8）2+12，1≤x≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？
24．（14分）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，﹣4），其中x1，x2是方程x2﹣4x﹣12＝0的两个根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
2019年湖北省随州市随县中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，共32分）1．（4分）下列计算错误的是（）
A．x2•x3＝x6B．3﹣1＝C．﹣2+|﹣2|＝0D．3+＝4【解答】解：A、x2•x3＝x2+3＝x5，故本选项符合题意；
B、3﹣1＝，故本选项不符合题意；
C、﹣2+|﹣2|＝﹣2+2＝0，故本选项不符合题意；
D、3+＝4，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（4分）人们越来越关注健康的话题．关于甲醛污染问题也一直困扰人们．我国质检总局规定：针织内衣、被套、床上用品等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000 075千克以下，将0.000 075用科学记数法表示为（）
A．0.75×10﹣4B．7.5×10﹣4C．7.5×10﹣5D．75×10﹣6
【解答】解：0.000 075＝7.5×10﹣5．
故选：C．
3．（4分）如图所示，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体的小正方体的个数是（）
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有2+1+1＝4个小正方体，
第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1＝5个．
故选：B．
4．（4分）如图，已知AB∥CD，OM是∠BOF的平分线，∠2＝70°，则∠1的度数为（）
A．100°B．125°C．130°D．140°
【解答】解：∵AB∥CD，∠2＝70°，
∴∠BOM＝∠2＝70°，
∵OM是∠BOF的平分线，
∴∠BOF＝2∠BOM＝140°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BOF＝140°．
故选：D．
5．（4分）反比例函数y＝与y＝在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）
A．B．2C．3D．1
【解答】解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C 为垂足，
∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC＝6，S△AOE＝3，S△BOC＝，∴S△AOB＝S四边形OEAC﹣S△AOE﹣S△BOC＝6﹣3﹣＝．
故选：A．
6．（4分）一组数据3，x，4，5，8的平均数为5，则这组数据的众数、中位数是（）A．5，6B．4，4.5C．5，5D．5，4.5
【解答】解：∵一组数据3，x，4，5，8的平均数为5，
∴（3+x+4+5+8）÷5＝5，
∴x＝5，
∴这组组数据的众数为5；
这组数据按从小到大的顺序排列为：3、4、5、5、8，
∴中位数是5，
故选：C．
7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，
∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，
∴BE＝CE＝CE′＝4，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴＝，即＝，解得CF＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝6﹣2＝4．
故选：D．
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，
∵OA＝OC＝4，∠AOC＝60°，
∴OD＝2，
由勾股定理得：AD＝2，
①当0≤t＜2时，如图所示，ON＝t，MN＝ON＝t，S＝ON•MN＝t2；
②2≤t≤4时，ON＝t，MN＝2，S＝ON•2＝t．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共32分）
9．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥2．
【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0且x≠0，
解得x≥2且x≠0，
所以，自变量x的取值范围是x≥2．
故答案为：x≥2．
10．（4分）掷一枚均匀的正方体，6个面上分别标有数字1，2，3，4，4，6，随意掷出这个正方体，朝上的数字不小于“3”的概率为．
【解答】解：∵投掷一次会出现1，2，3，4，5，6共六种情况，并且出现每种情况都是等可能的，
其中不小于3的情况有3，4，5，6四种，
∴朝上的数字不小于3的概率是＝．
故答案为．
11．（4分）如图，晚上小亮站在与路灯底部M相距3米的A处，测得此时小亮的影长AP 为1米，已知小亮的身高是1.5米，那么路灯CM高为6米．
【解答】解：根据题意，设路灯高度为x米，
则，
解得x＝6
故答案为6．
12．（4分）如图，把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是4cm．
【解答】解：∵把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，
∴扇形的弧长为：×2πr＝8π，
∵扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴2πr＝8π，
解得：r＝4，
故答案为：4
13．（4分）如图，直线y＝kx+b（k＞0）与x轴的交点为（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b ＜0的解集是x＜﹣2．
【解答】解：∵直线y＝kx+b（k＞0）与x轴的交点为（﹣2，0），
∴y随x的增大而增大，
当x＜﹣2时，y＜0，
即kx+b＜0．
故答案为：x＜﹣2．
14．（4分）已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形为八边形．【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得n＝8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
15．（4分）甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米处的景区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？若设乙每小时行x
千米，根据题意列出的方程是﹣＝．
【解答】解：设乙每小时行x千米，
根据题意列出的方程：﹣＝．
故答案为：﹣＝．
16．（4分）如图，⊙A与x轴相切于点O，点A的坐标为（0，1），点P在⊙A上，且在第一象限，∠P AO＝60°，⊙A沿x轴正方向滚动，当点P第n次落在x轴上时，点P的横坐标为π．
【解答】解：根据弧长公式，得
弧OP的长＝＝，圆周长是2π，
则点P第1次落在x轴上时，点P的横坐标是，点P第2次落在x轴上时，点P的横坐标是2π+＝，
以此类推，点P第n次落在x轴上时，点P的横坐标是2（n﹣1）π+＝π．故答案为：π．
三、解答题（共8小题，满分86分）
17．（10分）（1）解分式方程：．
（2）先化简，再求值：÷，其中x＝．
【解答】解：（1）方程的两边同乘（x﹣2），得：x﹣1﹣1＝3（x﹣2），
解得：x＝2．
检验：把x＝2代入（x﹣2）＝0，即x＝2不是原分式方程的解，
故原分式方程无解；
（2）原式＝÷
＝÷
＝÷
＝•
＝．
当x＝﹣1时，原式＝＝．
18．（9分）某校为了了解九年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后作出如下统计图，甲同学计算出前两组的频率和是0.12，乙同学计算出跳绳次数不少于100次的同学占96%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，结合统计图回答下列问题：
（1）这次共抽调了多少人？
（2）若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？
（3）如果这次测试成绩的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？
【解答】解：（1）第一组的频率为1﹣0.96＝0.04，
第二组的频率为0.12﹣0.04＝0.08，
故总人数为＝150（人），即这次共抽调了150人；
（2）第一组人数为150×0.04＝6（人），第三、四组人数分别为51人、45人，
这次测试的优秀率为×100%＝24%；
（3）前三组的人数为69，而中位数是第75和第76个数的平均数，而120是第四组中最小的数值，因而第75和第76都是120，所以成绩为120次的学生至少有76﹣69＝7人．19．（9分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．
（1）用列表法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y ＝的图象上的概率；
（3）求小明、小华各取一次小球所确定的数x，y满足y ＜的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
12 3 4
x
y
1 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）
2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）
3 （1，3）（2，3）（3，3）（4，3）
4 （1，4）（2，4）（3，4）（4，4）
（2）共有16种情况，乘积为4的，即落在反比例函数y＝的图象上的情况有3种，所以概率是；
（3）乘积小于4的，即满足y＜的情况有5种，所以概率是．
20．（10分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以C为旋转中心，顺时针旋转△ABC到△DCE位置，使点A落在BC边的延长线上的E处，连接AD和BD．
（1）求证：△ADC≌△BCD；
（2）请判断△ABE的形状，并证明你的结论．
【解答】解：（1）证明：∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
由旋转可得：△EDC≌△ABC，
∴∠DCE＝∠ACB＝72°，BC＝DC，DE＝AB＝AC，
又B、C、E三点共线，
∴∠BCD＝108°，
∵BC＝DC，
∴∠CBD＝∠CDB＝36°，
又∠E＝36°，
∴∠DBE＝∠E，
∴BD＝ED，
∴BD＝CA，
在△ADC和△BCD中，，
∴△ADC≌△BCD（SAS）；
（2）△ABE为等腰三角形，理由为：
证明：∵△ADC≌△BCD，
∴∠ADC＝∠BCD＝108°，又∠CDE＝72°，
∴∠ADC+∠CDE＝180°，即A、D、E三点共线，
又∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝72°，∠ABE＝72°，
∴∠BAE＝∠ABE，
∴AE＝BE，即△ABE为等腰三角形．
21．（10分）如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D．飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C、D之间的距离．
【解答】解：∵飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°，到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，
∴∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，∠BAD＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即△ABC为直角三角形，
∵AB＝6千米，
∴BC＝AB•cos30°＝6×＝3千米．
Rt△ABD中，BD＝AB•tan30°＝6×＝2千米，
作CE⊥BD于E点，
∵AB⊥BD，∠ABC＝30°，∴∠CBE＝60°，
则BE＝BC•cos60°＝，DE＝BD﹣BE＝，CE＝BC•sin60°＝，
∴CD＝＝＝千米．
∴山头C、D之间的距离千米．
22．（12分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于D点，E为BC 的中点，连接ED并延长交BA延长线于F点．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝，AD＝1，求线段AF的长；
（3）当D为EF的中点时，试探究线段AB与BC之间的数量关系．
【解答】证明：（1））连接BD，DO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠CDB＝90°
又∵E为BC的中点，
∴DE＝EB＝EC，
∴∠EDB＝∠EBD．
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∵∠ABC＝90°，
∴∠EDB+∠OBD＝90°．
即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）设AF＝x，则FD＝＝（切割线定理），在RT△ABD中，BD＝＝2，
∵∠AFD＝∠DFB，∠FDA＝∠FBD，
∴△AFD∽△DFB，
∴＝＝，即＝，
解得：x＝，即线段AF的长度为；
（3）∵点D为EF中点，
∴BD＝FD＝DE（斜边中线等于斜边一半），
又∵ED＝EB（切线的性质），
∴△EDB为等边三角形，
∴∠DBE＝60°，∠BCD＝30°，
∴BC＝AB；
23．（12分）某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售．
（1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；
（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为z＝﹣（x﹣8）2+12，1≤x≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？
【解答】解：（1）y＝；
（2）设利润为W，则
W＝
W＝x2+14，对称轴是直线x＝0，当x＞0时，W随x的增大而增大，
∴当x＝5时，W最大＝+14＝17.125（元）
W＝（x﹣8）2+18，对称轴是直线x＝8，当x＞8时，W随x的增大而增大，
∴当x＝11时，W最大＝×9+18＝19＝19.125（元）
综上可知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件19.125元．
24．（14分）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交
于点C（0，﹣4），其中x1，x2是方程x2﹣4x﹣12＝0的两个根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣12＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝6．
∴A（﹣2，0），B（6，0），
又∵抛物线过点A、B、C，故设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），
将点C的坐标代入，求得，
∴抛物线的解析式为；
（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NH⊥x轴于点H（如图（1））．
∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0），
∴AB＝8，AM＝m+2，
∵MN∥BC，∴△MNA∽△BCA．
∴，
∴，
∴，
∴，
＝，
＝．
∴当m＝2时，S△CMN有最大值4．
此时，点M的坐标为（2，0）；
（3）∵点D（4，k）在抛物线上，
∴当x＝4时，k＝﹣4，
∴点D的坐标是（4，﹣4）．
①如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE，
∵D（4，﹣4），∴DE＝4．
∴F1（﹣6，0），F2（2，0），
②如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F（n，0），
∵点A的坐标为（﹣2，0），
则平行四边形的对称中心的横坐标为：，
∴平行四边形的对称中心坐标为（，0），
∵D（4，﹣4），
∴E'的横坐标为：﹣4+＝n﹣6，
E'的纵坐标为：4，
∴E'的坐标为（n﹣6，4）．
把E'（n﹣6，4）代入，得n2﹣16n+36＝0．
解得．，，
综上所述F1（﹣6，0），F2（2，0），F3（8﹣2，0），F4（8+2，0）．。