高考数学复习点拨 利用导数刻画图象解题

利用导数刻画图象解题
函数的图象是函数的一个重要性质，它能准确的实现数与形之间的等价转化，给抽象的数量关系赋予形象和直观的几何意义时，应注意使“形”能完整的体现原来的数量关系，下面通过两例体验用导数刻画函数的图象解题： 例1、设a 为实数，函数()325f x x x x a =--+. ⑴求()f x 的极值；
⑵当a 在什么范围内取值时，方程()0f x =有且仅有一个根. 解析：⑴由题意，得()()()2
321131f x x x x x '=--=-+
令()0f x '=，得1
x =-或1x =，由下表得：
所以()15
5327
f x f a ⎛⎫=-=
+ ⎪⎝⎭
极大，()()151f x f a ==-极小 ⑵由题意知，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点， 则①若函数图象如图（甲），满足15
50327
f a ⎛⎫
-=
+< ⎪⎝⎭
，则127a <-；
②若函数图象如图（乙），满足()1510f a =->，则15
a >. ∴实数a 取值范围127a <-或a
点评：本题中第1问利用导数求解函数的极值，第2问中由第1问得到的结论，把问题转化
甲乙
为曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点，利用导数刻画出函数的图象，利用数形结合法求解.
例2、已知函数()()2
1ln ,2
f x x
g x x a ==
+（a 为常数），直线L 与函数()f x 、()g x 的图象都相切，且L 与函数()f x 、()g x 图象的切点的横坐标为1. ⑴求直线L 的方程及a 的值；
⑵当k R ∈时，试讨论方程()
()2
1f x g x k +-=的解的个数.
解析：⑴由()1|1x f x ='=，得直线L 的斜率为1，切点为()()
1,1f ，即()1,0. ∴直线的方程为1y x =-，又点()1,0在()g x ，∴12
a =-
. ⑵令(
)()()2
2
2
111
1ln 12
2
y f x
g x x x =+-=+-+，2y k =. 则()()3
1222
112111x x x x x x y x x x x -+-'=-==+++
令10y '=，得0,1,1x =-，当x 变化时，函数1y 变化规律（如下表）：
又∵(
)2
2
1ln 12
2
y x
x =+-+为偶函数 据此可刻画出()2
2111ln 122
y x x =+-+ 当()ln 2,k ∈+∞时，方程无解； 当ln 2k =或1,
2k ⎛⎫
∈-∞ ⎪⎝⎭
时，方程有两解； 当12k =
时，方程有三个解； 当1,ln 22k ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
点评：本题在第2问中，利用导数描绘了图象的变化趋势，利用了数形结合法，讨论方程根的情况，同时也体现了转化与化归思想在解题中的应用.。