2020年高中数学人教A版必修五 不等式 练习20 Word版含答案

学业分层测评（二十）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·新余高二检测)某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )
A.⎩⎨⎧ x ＋y ≤10，
2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，z ＝20x ＋40y
B.⎩⎨⎧ x ＋y ≥10，
2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，
z ＝20x ＋40y
C.⎩⎨⎧
x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，
z ＝20x ＋40y
D.⎩⎨⎧
x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N ，
z ＝40x ＋20y
【解析】 由题意易知选A.
【答案】 A
2．(2015·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ＋2y ≥0，
x －y ≤0，
x －2y ＋2≥0，
则z ＝2x －y
的最小值等于( )
A ．－5
2 B ．－2 C ．－32
D ．2
【解析】 作出可行域如图，
由图可知，当直线z ＝2x －y 过点A 时，z 值最小． 由⎩⎨⎧
x －2y ＋2＝0，x ＋2y ＝0，得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12， z min ＝2×(－1)－12＝－52. 【答案】 A
3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ＋2y ≥2，
2x ＋y ≤4，
4x －y ≥－1，
则目标函数z ＝3x －y 的取值
范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－32，－1 C.[]－1，6
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－6，32 【解析】 作出可行域如图所示．
目标函数z ＝3x －y 可转化为y ＝3x －z ，作l 0：3x －y ＝0，在可行域内平移l 0，可知在A 点处z 取最小值为－3
2，在B 点处z 取最大值为6.
【答案】 A
4．已知实数
x ，y 满足条件⎩⎨⎧
x ≥0，
y ≤1，
2x －2y ＋1≤0，
若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)
取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( )
A ．1 B.12 C ．－12
D ．－1
【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y ＝mx －z (m ≠0)与直线2x －2y ＋1＝0重合，即m ＝1时，目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个，故选A.
【答案】 A
5．(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲 乙 原料限额 A (吨)
3
2
12
B(吨)128
A.12
C．17万元D．18万元
【解析】
设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有
⎩
⎨
⎧3x＋2y≤12，
x＋2y≤8，
x≥0，y≥0，
z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.
【答案】 D
二、填空题
6．满足不等式组
⎩
⎨
⎧x＋y≤5，
2x＋y≤6，
x≥0，
y≥0，
并使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的
坐标是________．
【解析】首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M(0,5)时截距最大，此时z最大．
【答案】(0,5)
7．若实数x，y满足
⎩
⎨
⎧x－y＋1≥0，
x＋y≥0，
x≤0，
则z＝3x＋2y的最小值是________. 【导
学号：05920078】
【解析】 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
设t ＝x ＋2y ， 则y ＝－12x ＋t
2，
当x ＝0，y ＝0时，t 最小＝0. z ＝3x ＋2y 的最小值为1. 【答案】 1
8．设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧
2x －y ＋1>0，
x ＋m <0，
y －m >0
表示的平面区域内存在点P (x 0，
y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________．
【解析】 由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P (x 0，y 0)，使x 0－2y 0＝2成立，只需点A (－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方即可，即－m －2m －2>0，解得m <－23.
【答案】 ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－23
三、解答题
9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利
润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于多少？
【解】设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件x，y满足的约束条件为
⎩⎪
⎨
⎪⎧
x＋y≤12，
2x＋y≤19，
10x＋6y≥72，
x≤8，y≤7，
x∈N*，y∈N*.
目标函数z＝450x＋350y.作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x＋350y－z＝0知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，
即z max＝450×7＋350×5＝4 900.
10．(2015·辽宁三校联考)变量x，y满足条件
⎩
⎨
⎧x－y＋1≤0，
y≤1，
x＞－1，
求(x－2)2＋y2的最小值．
【解】不等式组
⎩
⎨
⎧x－y＋1≤0，
y≤1，
x＞－1
在平面直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．
设P(x，y)是该区域内的任意一点，则(x－2)2＋y2的几何意义是点P(x，y)与点M(2,0)距离的平方．由图可知，当点P的坐标为(0,1)时，|PM|最小，所以|PM|≥22＋1＝5，所以|PM|2≥5，即(x－2)2＋y2≥5.
[能力提升]
1．(2014·北京高考)若x ，y 满足⎩⎨⎧
x ＋y －2≥0，
kx －y ＋2≥0，
y ≥0，
且z ＝y －x 的最小值为－4，
则k 的值为( )
A ．2
B ．－2 C.12
D ．－12
【解析】 作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A －2
k ，0.
∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－1
2，故选D. 【答案】 D
2．(2014·山东高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x －y －1≤0，
2x －y －3≥0，当目标函数z ＝
ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )
A ．5
B ．4 C. 5
D ．2
【解析】 法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩
⎨⎧
x －y －1＝0，
2x －y －3＝0，
解得⎩⎨⎧
x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，
a 2＋
b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.
法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是
|－25|22＋12
＝2，所以a 2＋b 2
的最小值是4.故选B. 【答案】 B
3．(2014·浙江高考)当实数x ，y 满足⎩⎨⎧
x ＋2y －4≤0，
x －y －1≤0，
x ≥1
时，1≤ax ＋y ≤4恒成
立，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎨⎧
1≤2a ＋1≤4，
1≤a ≤4
即可，
解得1≤a ≤3
2，
所以a 的取值范围是1≤a ≤3
2.
【答案】 ⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤1，32
4．设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 1≤13，S 4≥10，S 5≤15，求a 4的最大值．
【解】 可将此题看成关于a 1和d 的线性规划问题，根据题意可知
⎩⎪
⎨
⎪⎧a1≤13，
4a1＋
4×3
2d≥10，
5a1＋
5×4
2d≤15，
化简为
⎩
⎨
⎧a1≤13，
2a1＋3d≥5，
a1＋2d≤3，
求a4＝a1＋3d的最大值，将其转化为
⎩
⎨
⎧x≤13，
2x＋3y≥5，
x＋2y≤3，求z＝x＋3y的最大值问题，不等式组表示的平面区域如图所示．
由z＝x＋3y，得y＝－
1
3x＋
z
3，平移直线y＝－
1
3x，由图可知，当直线y＝－
1
3x＋
z
3过点A时，z有最大值．由⎩
⎨
⎧2x＋3y＝5，
x＋2y＝3，
得A(1,1)，所以z max＝1＋1×3＝4，
即a4的最大值为4.
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