高三数学一轮复习 第九章(立体几何)9-3精品练习 试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校第9章第3节
一、选择题
1．(2021·调研)E、F、G、H是空间内四个点，条件甲：E、F、G、H四点不共面，条件乙：直线EF和GH不相交，那么甲是乙成立的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 点E、F、G、H四点不共面可以推出直线EF和GH不相交；但由直线EF和GH不相交不一定能推出E、F、G、H四点不共面，例如：EF和GH平行，这也是直线EF和GH不相交的一种情况，但E、F、G、H 四点共面．故甲是乙成立的充分不必要条件．
2．(文)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出以下结论：①a∥b，b⊂α⇒a∥α；
②α∥β，a∥β，a⊄α⇒a∥α；③α∩β＝a，b∥α，b∥β⇒b∥a；④a∥α，b⊂α⇒a∥b.
其中正确的有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[答案] B
[解析] ①可能有a⊂α；④可能有a与b异面，故只有②③正确．
(理)直线m、l，平面α、β，且m⊥α，l⊂β
①假设α∥β，那么m⊥l; ②假设α⊥β，那么m∥l；
③假设m⊥l，那么α∥β；④假设m∥l，那么α⊥β.
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] (1)中，假设α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确．(2)中，假设α⊥β，且m⊥α⇒m∥β或m⊂β，又l⊂β，那么m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．(3)如图，α∩β＝a，m⊥α，l⊂β，l∥a，满足m⊥l，但得不出α∥β.(4)中，假设m⊥l，且m⊥α⇒l⊥α，又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确．应选B.
3．(2021·文，4)用a，b，c表示三条不同的直线，γ
①假设a∥b，b∥c，那么a∥c；
②假设a⊥b，b⊥c，那么a⊥c；
③假设a∥γ，b∥γ，那么a∥b；
④假设a⊥γ，b⊥γ，那么a∥b.
A．①②B．②③
C．①④D．③④
[答案] C
[解析] ①平行关系的传递性．
②举反例：在同一平面α内，a⊥b，b⊥c，有a∥c.
③举反例：如图的长方体中，a∥γ，b∥γ，但a与b相交．
④垂直于同一平面的两直线互相平行．故①，④正确．
4．(文)α、β是相异平面，a、b、c是相异直线，A、B
A．α∩β＝a，b⊂α，c⊂β，b∩c＝A⇒A∈a
B．α∥β，a⊂α，b⊂β，P∈a⇒P∉b
C．α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，a∩b＝A⇒b∩c＝A
D．a⊄α，b⊄α，a⊂β，b⊂β，a∩b＝A⇒α∥β
[答案] D
[解析] ∵a⊄α可能是a∥α，也可能是a与α相交，当a与α相交时，∵a⊂β，∴交点在β内，故D错．
(理)(2021·东北四联考)两个平面α与β相交但不垂直，直线m在平面α内，那么在平面β内
( ) A．一定存在直线与m平行，也一定存在直线与m垂直
B．一定存在直线与m平行，但不一定存在直线与m垂直
C．不一定存在直线与m平行，但一定存在直线与m垂直
D．不一定存在直线与m平行，也不一定存在直线与m垂直
[答案] C
[解析] 直线m在平面α内，直线m与平面α、β的交线的位置关系有两种可能：平行或相交，当平行时，在平面β内一定存在直线与m平行，也一定存在直线与m垂直，当相交时，在平面β内不存在直线
与m 平行，但一定存在直线与m 垂直，应选C.
[点评] 当m 与平面α、β的交线l 相交时，假设在平面β内存在直线a ∥m ，那么由线面平行的判定定理知a ∥α，再由性质定理知a ∥l ，∴m ∥l ，这与m 和l 相交矛盾．
①假设平面α内的直线m 与平面β内的直线n 为异面直线，直线l 是α与β的交线，那么l 至多与
m 、n 中一条相交；②假设直线m 与n 异面，直线n 与l 异面，那么直线m 与l 异面；③一定存在平面γ同
时和异面直线m 、n
( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．①③
[答案] C
[解析] ①错误，l 可能与m ，n 两条都相交；②错误，直线m 与l 亦可共面；③正确． 在m 、n 上分别取点M 、N ，那么经过直线MN 可以作出平面与m 、n 都相交． 6．不重合的平面α、β和不重合的直线m 、n ①m ⊂α，n ⊂β，α⊥β⇒m ⊥n
②m ⊥α，n ⊥β，α与β相交⇒m 与n 相交 ③m ⊥n ，n ⊂β，m ⊄β⇒m ⊥β ④m ∥α，n ∥β，m ∥n ⇒α∥β A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
[答案] A
α∩β＝l ，m ∥l ∥n ，知①错；图(2)中取n 上一点P ，过P 作m ′⊥α，当m ∥m ′时满足②的条件，但m 与n 不相交；③、④显然错误，应选A.
7．正方体的棱长为1，C 、D 、M 分别为三条棱的中点，A 、B 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是( ) A.2
3
B.
6
3 C.1
3 D.
62
[答案] C
[解析] 设点M 到ABCD 的距离为h ，连结AC ，作CF ⊥AB ，垂足为F ，那么BF ＝24，BC ＝52，∴CF ＝32
4
，连CM ，那么V C －ABM ＝V M －ABC .
V C －ABM ＝1
3S △ABM ×CM ＝13×14×1＝112
，
又V M －ABC ＝13×1
2×AB ×CF ×h ＝13×12×2×324×h ＝h 4
， 那么由h 4＝112得h ＝1
3
，应选C. 8．(2021·一中)直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，那么α∥β是l ⊥m 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 [答案] A
[解析] 假设α∥β，那么由l ⊥α知l ⊥β，又m ⊂β，可得l ⊥m ；假设α与β相交(如图)，设α∩β＝n ，当m ∥n 时，由l ⊥α可得l ⊥m ，而此时α与β不平行．于是α∥β是l ⊥m 的充分不必要条件．应选A.
9．(2021·襄樊测试)设m 、n 是平面α内的两条不同直线，l 1、l 2是平面β内的两条相交直线，那么
α⊥β的一个充分不必要条件是( )
A ．l 1⊥m ，l 1⊥n
B ．m ⊥l 1，m ⊥l 2
C ．m ⊥l 1，n ⊥l 2
D ．m ∥n ，l 1⊥n
[答案] B
[解析] 由m ⊥l 1，m ⊥l 2，l 1、l 2是平面β内两条相交直线，知m ⊥β，又m ⊂α，所以α⊥β；假设
α⊥β，m ⊂α，那么未必有m ⊥β，未必有m ⊥l 1，m ⊥l 2，应选B.
10．(2021·理)过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
[答案] D
[解析] 如图，连结AC 1，可知AC 1与三棱AB ，AD ，AA 1所成角相等，由两条异面直线所成角的定义知，分别过点B 、C 、D 的体对角线BD 1、CA 1、DB 1与三棱AB 、AD 、
AA 1成的角也都相等，故过点A 作与BD 1，CA 1，DB 1平行的直线也满足直线l 的要求，故这样的直线可作4条．
二、填空题
11．(文)(2021·调研)l 是一条直线，α，β是两个不同的平面．假设从“①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥
β
[答案] ①②⇒③
[解析] 在β内任取一点P ，P 与l 确定一个平面γ，那么γ与β相交于过P 点的一条直线l ′， ∵l ∥β，∴l ∥l ′，∵l ⊥α，∴l ′⊥α，∴β⊥α.
(理)(2021·哈三中)α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，有以下三个条件 ①m ∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③m ⊂γ，n ∥β
α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，那么m ∥n
[答案] ①或③
②如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，α、β、γ分别为平面ADD 1A 1、平面ABCD 、平面A 1B 1C 1D 1，m 为AD ，n 为A 1B 1，满足α∩β＝m ，n ⊂γ，m ∥γ，n ∥β，但m 与n 显然不平行．
]12．如图是一正方体的外表展开图，MN 和PB 是两条面对角线，那么在正方体中，直线MN 与直线PB 的位置关系为________．(从相交、平行、异面、重合中选填)
[答案] 异面
[解析] 将外表展开图折起复原为正方体如图，故MN 与PB 异面．
13．(2021·东北师大附中等三校)一个几何体的三视图如下列图：其中，正(主)视图中大三角形是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为________．
[答案] 3
2
[解析] 由三视图可知，该几何体是正六棱锥，底面边长为1，侧棱长为2，如图设底面中心为O ，易知
OD ＝1，
又PD ＝2，∴PO ＝3，
∴体积V ＝13×⎝⎛⎭
⎫6×3
4×12×3＝32.
①有三个角是直角的四边形一定是矩形；②不共面的四点可以确定四个平面；③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线；④假设点A 、B 、C ∈平面M ，且点A 、B 、C ∈平面N ，那么平面M 与平面N
[答案] ②
[解析] 如图(1)，平面α内∠ABC 为直角，P ∉α，过P 作PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，那么四边形PDBE 有三个直角，故①假；在图②的平面α内，四边形ABCD 中任意三点不共线，知③假；图③中，M ∩N ＝l ，A 、B 、C 都
在l 上，知④假，只有②真．
三、解答题
15．(文)(2021·通州调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝1，AB ＝3，点E 在CD 上移动．
(1)求三棱锥E －PAB 的体积；
(2)试在PD 上找一点F ，使得PE ⊥AF ，并证明你的结论． [解析] (1)∵PA ⊥平面ABCD ， ∴V E －PAB ＝V P －ABE ＝1
3S △ABE ·PA ＝13×12×1×3×1＝36. (2)F 是PD 的中点
∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PA ∵ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD ∵PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD
∵F 是PD 上的点，AF ⊂平面PAD ，∴AF ⊥DC ∵PA ＝AD ，点F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD 又CD ∩PD ＝D ，∴AF ⊥平面PDC ∵PE ⊂平面PDC ，∴PE ⊥AF .
(理)(2021·哈三中)如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝23，沿对角线BD 将△ABD 向上折起，使点A 移至点P ，且点P 在平面BCD 内的投影O 在CD 上．
(1)求证：PD ⊥BC ；
(2)求二面角P －DB －C 的正弦值； (3)求点C 到平面PBD 的距离．
[解析] (1)∵BC ⊥CD ，BC ⊥OP ，∴BC ⊥平面PCD ，∴PD ⊥BC ； (2)过O 作OE ⊥BD 于点E ，连接PE ∵BD ⊥OP ，∴BD ⊥平面OPE ，∴BD ⊥PE ， ∴∠PEO 为二面角P －BD －C 的平面角， 在△POE 中，PE ＝3，OE ＝1，PO ＝22，那么 sin ∠PEO ＝223
；
(3)V C－PBD＝V P－BCD，
∴1
3×⎝⎛⎭⎫
1
2
×6×23×h
＝1
3×⎝⎛⎭⎫
1
2
×6×23×22，解得h＝2 2.
16．如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，E是SD的中点．
(1)求证：SB∥平面EAC；
(2)求证：AC⊥BE.
(3)(理)假设SD＝2，AD＝2，求二面角C－AS－D的余弦值．
[解析] (1)证明：连结BD交AC于点O，连结EO.
因为底面ABCD是正方形，
所以O是BD的中点．
又因为E是SD的中点，
所以EO∥SB.
又因为EO⊂平面EAC，SB⊄平面EAC，
所以SB∥平面EAC.
(2)因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
因为SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以AC⊥SD.
又因为SD∩BD＝D，所以AC⊥平面BDS.
因为BE⊂平面BDS，所以AC⊥BE.
(3)(理)解法1：因为SD⊥平面ABCD，所以SD⊥CD.
因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥CD.
又因为SD∩AD＝D，
所以CD⊥平面SAD，所以CD⊥AS.
过点D在平面SAD内作DF⊥AS于F，连结CF.
由于DF∩CD＝D，
所以AS⊥平面DCF.
所以AS⊥CF.
故∠CFD是二面角C－AS－D的平面角．
在Rt △ADS 中，SD ＝2，AD ＝2，可求得DF ＝2
3 3.
在Rt △CFD 中，DF ＝233，CD ＝2，可求得CF ＝30
3
.
所以cos ∠CFD ＝DF CF ＝
105
. 即二面角C －AS －D 的余弦值为
105
. 解法2：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D －xyz .
那么D (0,0,0)，A (2，0,0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0,0，2)，S (0,0,2)， SA →
＝(2，0，－2)，SC →
＝(0，2，－2)．
设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么由
n ⊥SA →，n ⊥SC →
得，
⎩
⎪⎨⎪⎧
n ·SA →＝0n ·SC →＝0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －2z ＝0
2y －2z ＝0，
取z ＝2，得n ＝(2,2，2)．
易知平面ASD 的一个法向量为DC →
＝(0，2，0)． 设二面角C －AS －D 的平面角为θ. 那么cos θ＝|n ·DC →||n ||DC →|
＝10
5
. 即二面角C －AE －D 的余弦值为
105
. 17．(文)(2021·东北师大附中月考)如图，在几何体P －ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，
AB ＝PA ＝2.
(1)当AD ＝2时，求证：平面PBD ⊥平面PAC ；
(2)假设PC 与AD 所成角为45°，求几何体P －ABCD 的体积． [解析] (1)当AD ＝2时，四边形ABCD 是正方形，那么BD ⊥AC ， ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ， 又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ， ∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC .
(2)假设PC 与AD 成45°角，∵AD ∥BC ，∴∠PCB ＝45°. ∵BC ⊥AB ，BC ⊥PA ，AB ∩PA ＝A ， ∴BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， ∴BC ⊥PB ，
∴∠CPB ＝90°－45°＝45°，∴BC ＝PB ＝22， ∴几何体P －ABCD 的体积V ＝1
3×(2×22)×2
＝
82
3
. (理)(2021·文)如下列图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点． (1)求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； (2)证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M .
[解析] 方法1：(1)如图，因为C 1D 1∥B 1A 1，所以∠MA 1B 1为异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角． 因为A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，所以∠A 1B 1M ＝90°， 而A 1B 1＝1，B 1M ＝B 1C 12
＋MC 12
＝2，故
tan ∠MA 1B 1＝
B 1M
A 1
B 1
＝ 2. 即异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值为 2. (2)由A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，BM ⊂平面平面BCC 1B 1，得
A 1
B 1⊥BM ①
由(1)知，B 1M ＝2，
又BM ＝BC 2
＋CM 2
＝2，B 1B ＝2，
所以B 1M 2
＋BM 2
＝B 1B 2
，从而BM ⊥B 1M ②
又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，而BM ⊂平面ABM ，因此平面ABM ⊥平面A 1B 1M .
方法2：以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→
的方向分别作为x 、y 、z 轴的正方向，建立如下列图的空间直角坐标系，那么A (0,0,0)，B (1,0,0)，A 1(0,0,2)，B 1(1,0,2)，C 1(1,1,2)，D 1(0,1,2)，M (1,1,1)．
(1)A 1M →＝(1,1，－1)，C 1D 1→
＝(－1,0,0)， cos 〈A 1M →，C 1D 1→
〉＝－13×1
＝－33. 设异面直线A 1M 与C 1D 1所成角为α，那么cos α＝
3
3
，
∴tan α＝ 2.
即异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值是 2. (2)A 1B 1→＝(1,0,0)，BM →＝(0,1,1)，B 1M →
＝(0,1，－1)，
A 1
B 1→·BM →＝0，BM →·B 1M →
＝0，
∴A 1B 1→⊥BM →，BM →⊥B 1M →
，即BM ⊥A 1B 1，BM ⊥B 1M ， 又B 1M ∩A 1B 1＝B 1，
∴BM ⊥平面A 1B 1M ，而BM ⊂平面ABM ， 因此ABM ⊥平面A 1B 1M .。