山东省菏泽市2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题(文)-含答案

2017-2018学年度第二学期期末考试
高二文科数学试题（B ） 第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共60分）. 1.复数()1z i i =-，则z =（ ）
A ．1
B
C ．2
D ．4
2.下列说法：①归纳推理是合情推理；②类比推理不是合情推理；③演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论是正确的.其中正确说法的个数为（ A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
3.下列说法错误的是 （ ）
A ． 线性回归直线ˆˆˆy
bx a =+至少经过其样本数据点中的一个点 B ．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法 C ． 残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好
D ．在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好 4.求函数()sin cos f x x α=+的导数（ ）
A ．cos sin x α+
B ．cos sin x α- C. 0 D ．sin x - 5.曲线3
24y x x =-+在点()1,3处的切线斜率有（ ）
A ．
3
B ．1 C. D ．6.某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如表的2×2列联表：
由公式()()()()()
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，算的27.61K ≈
附表：
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 7.要描述一工厂某产品的生产工艺，应用 （ ）
A ．程序框图
B ．组织结构图 C. 知识结构图 D ．工序流程图 8. 宋代理学家程颐认为：“格犹穷也，物犹理也，犹曰穷其理而已也。

”就是说，格就是深刻探究，穷尽，物就是万物的本原，关于“格物致和”的做法，就是“今日格一件，明日又格一件，积习既多，然后脱然自有贯通处。

”上述推理用的是（ ） A ． 类比推理 B ．演绎推理 C. 归纳推理 D ．以上都不对
9.已知,x y 的取值如下表所示：若y 与x 线性相关，且ˆ0.95y
x a =+，则a =（ ）
10.用反证法证明命题：“若，则函数3
y x ax b =++至少有一个零点”时，要做的假设是（ ）
A ．函数3
y x ax b =++没有零点 B ．函数3y x ax b =++至多有一个零点 C.函数3y x ax b =++至多有两个零点 D ．函数3y x ax b =++恰好有一个零点
11.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题： ①-2是函数()y f x =的极值点； ②1是函数()y f x =的极值点；
③()y f x =的图象在0x =处切线的斜率小于零； ④函数()y f x =在区间()2,2-上单调递增. 则正确命题的序号是（ ）
A ．①③
B ． ②④ C. ②③ D ．①④
12.函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈，都有()()f x f x '>成立，若()ln 22f =，则不等式()x
f x e >的解集是（ ）
A ．()1,+∞
B ．()0,1 C. ()ln 2,+∞ D ．()0,ln 2
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，共20分） 13.复数212i
z i
-=
+的虚部为 ． 14. 函数()3
9f x x x =-的极大值点为 ．
15.已知函数()3
f x x ax =-+在区间()1,1-上是增函数，则实数a 的取值范围
是 ．
16.下列说法正确的序号是 ．
①用()(
)
2
2
1
2
1
ˆ1n
i
i
i n
i i y y
R y y
==-=-
-∑∑刻画回归效果，当 2R 越大时，模型的拟合
效果越差；反之，则越好；
②可导函数()f x 在0x x =处取极值，则()00f x '=；
③归纳推理是由特殊到一般的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理； ④综合法证明数学问题是“由因导果”，分析法证明数学问题是“执果索因”。

三、解答题
17.用“分析法”证明：当1a >
=
18.已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且()3z i +为纯虚数（z 是z 的共轭复数）. （1）设复数121m i
z i
+=
-，求1z ；
（2）设复数2017
2a i z z
-=，且复数2z 所对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.
19.已知函数()()3
2
391f x x x x x R =--+∈.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若()210f x a -+≥对[]2,4x ∀∈-恒成立，求实数a 的取值范围.
20.中央电视台播出的《朗读者》节目，受到广大人民群众的喜爱.随着节目的播出，极大激发了观众对朗读以及经典的阅读学习积累的热情，从中获准匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众的周均阅读学习经典的知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：
由表中数据，试求线性回归方程y
bx a =+，并预测年龄为50岁观众周均学习阅读经典知识的时间.
参考公式：()()()
1
1
2
2
21
1
ˆˆˆ,n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nxy
b
a
y bx x x x
nx
====---==
=---∑∑∑∑ 21. 已知函数()x
f x e ax =-.
（1）当2a =时，求曲线()f x 在点()()
0,0f 处的切线方程； （2）在（1）的条件下，求证：()0f x >； （3）当1a >时，求函数()f x 在[]0,a 上的最大值. 22. （二选一）从下面两道题中，任选一道作答. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为12x t
y t =--⎧⎨=+⎩
（t 为参数），以坐标原点
为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22
2
1sin ρθ
=+，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知点P 的极坐标为4π⎫
⎪⎪⎝⎭
，求PA PB 的值.
选修4-5：不等式选讲
已知函数()23f x x x =-++. （1）求不等式()15f x ≤的解集；
（2）若()2
x a f x -+≤对x R ∈恒成立，求a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5 BCADB 6-10 CDCDA 11、12：DC 二、填空题
13. -1 14. 15. [)3,+∞ 16.②③④ 三、解答题
17.0,0>>，
<
只需证：
(2
2
<，
即证：24a a +<，
a <， 即证：221a a -<，
而这显然成立，所以原命题成立. 18.解：∵1mi z =+，∴1z mi =-，
∴()()()()()313313z i mi i m m i +=-+=++-， 又∵()3z i +为纯虚数，∴30
130m m +=⎧⎨
-≠⎩
，∴3m =-，∴13z i =-.
（1）13251122i z i i -+==---，∴12z ==
；
（2）∵13z i =-，∴()()23311310
a a i
a i z i ++--=
=-. 又∵复数2z 所对应的点在第四象限，∴3
01031010
a a +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，∴313a a >-⎧⎪
⎨<⎪⎩，
∴1
33
a -<<
. 19.解：（1）令()2
3690f x x x '=-->，解得1x <-或3x >，
令()2
3690f x x x '=--<，解得：13x -<<，
故函数()f x 的单调增区间为()(),13,-∞-+∞，单调减区间为[]1,3-.
（2）由（1）知()f x 在[]2,1--上单调递增，在[]1,3-上单调递减，在[]3,4上单调递增， 又()()()()21,326,32f f f f -=-=-<-， ∴()min 26f x =-，
∵()210f x a -+≥对[]2,4x ∀∈-恒成立， ∴()min 21f x a ≥-，即2126a -≤-，∴25
2
a ≤-. 20.解：35, 3.5x y ==，
ˆˆ0.07, 1.05b
a ==， ˆ0.07 1.05y
x =+， 50x =时，ˆ 4.55y
=小时， 答：年龄50岁观众周均学习阅读经典知识的时间为4.55小时.
21.解：（1）当2a =时，()()2,2x x f x e x f x e '=-=-，所以()()01,01f f '==-，
切线方程为10x y +-=.
（2）由（1）知()0f x '=，则0ln 2x =，当时(),ln 2x ∈-∞时，()0f x '<； 当()ln 2,x ∈+∞时，()0f x '>.
所以()f x 在(),ln 2-∞上单调递减，()f x 在()ln 2,+∞上单调递增， 当ln 2x =时，函数最小值是()()ln 221ln 20f =->，因此()0f x >.
（3）()x
f x e a '=-，令()0f x '=，则ln 20x =>，当1a >时，设()ln
g a a a =-，
因为()1110a g a a a
-'=-
=>，所以()ln g a a a =-在()1,+∞上单调递增， 且()11ln11g =-=，所以()ln 0g a a a =->在()1,+∞恒成立，即ln a a >，
当()()0,ln ,0x a f x '∈<，当()()l n ,,0x aa f x '∈>；所以()f x 在()0,ln a 上单调递减，
在()ln ,a a 上单调递增.所以()f x 在[]0,a 上的最大值等于()(){}
max 0,f f a ， 因为()()2
01,a
f f a e a ==-，
设()()()()2
011a
h a f a f e a a =-=-->，所以()2a
h a e a '=-.
由（2）()20a
h a e a '=->在()1,+∞恒成立，所以()h a 在()1,+∞上单调递增.
又因为()1
2
11120h e e =--=->，所以()h a 在()1,+∞恒成立，即()()0f a f >，
因此当1a >时，()f x 在[]0,a 上的最大值为()2
a
f a e a =-.
22.解：（1）l 的普通方程为：10x y +-=； 又∵2
2
2
sin 2ρρθ+=，∴2
2
2
2x y y ++=，
即曲线C 的直角坐标方程为：2
212
x y +=； （2）11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上，直线l
的参数方程为1212
x y ⎧'
=⎪⎪⎨
⎪'=+
⎪⎩（t '为参数）
，
代入曲线C
的直角坐标方程得2
2
112202222t ⎛⎫⎛⎫
''-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
即
235
0224
t t ''+-=， 121256
PA PB t t t t ''''===.
23.解：（1）因为()21,35,3221,2x x f x x x x --<-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪+>⎩
，
所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -≤<-； 当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤<；
当2x >时，由()15f x ≤得27x -<≤. 综上，()15f x ≤的解集为[]8,7-. （2）由()2
x a f x -+≤得()2
a x f x ≤+，
因为()()()235f x x x ≥--+=，当且仅当32x -≤≤取等号， 所以当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5， 所以当0x =时，()2
x f x +取得最小值5，
故5a ≤，取a 的取值范围为(],5-∞.。