上海市宝山区、嘉定区中考数学二模试题

2012学年嘉定九年级第二次质量调研
数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1.本试卷含三个大题，共25题；
2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.下列说法中，正确的是（▲）
（A ）
23是分数； （B ）0是正整数； （C ）7
22是有理数；（D ）16是无理数. 2.抛物线2
(1)4y x =-+与y 轴的交点坐标是（▲）
（A ）（0，4）； （B ）（1，4）； （C ）（0，5）； （D ）（4，0）． 3.下列说法正确的是（▲）
（A ）一组数据的平均数和中位数一定相等； （B ）一组数据的平均数和众数一定相等； （C ）一组数据的方差一定是正数；
（D ）一组数据的众数一定等于该组数据中的某个数据.
4.今年春节期间，小明把2000元压岁钱存入中国邮政储蓄银行，存期三年，年利率是
%.254，小明在存款到期后可以拿到的本利和为（▲）
（A ）20003
%)25.41(+元； （B ）20002+0003254⨯⨯%.元； （C ）20003254⨯⨯%.元； （D ）20003%)25.41(⨯+元．
5.如图1，已知向量a r 、b r 、c r
，那么下列结论正确的是（▲）
（A ）b c a ρρρ=+； （B ）b c a ρρρ=-； （C ）c b a ρρρ-=+； （D ）c b a ρρρ=+．
6.已知⊙1O 的半径长为cm 2，⊙2O 的半径长为cm 4.将⊙1O 、⊙2O 放置在直线l 上（如图2），如果⊙1O 在直线l 上任意滚动，那么圆心距21O O 的长不可能是(▲) （A ）cm 1； （B ）cm 2； （C ）cm 6； （D ）cm 8.
2O
a r
b r
c
r 图1
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.化简：21-
= ▲ ．
8. 计算：=2
3)(a ▲ ．
9. 计算：=÷3
166 ▲ （结果表示为幂的形式）． 10.不等式组⎩⎨
⎧>+≤-0
4201x ,
x 的解集是 ▲ ．
11.在一个不透明的布袋中装有2个白球和8个红球，它们除了颜色不同之外，其余均相同.如果从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ▲ ．（将计算结果化成最简分数） 12.如果关于x 的方程1)1(2
+=-a x a 无解，那么实数a = ▲ ．
13.近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）呈反比例，其函数关系式为x
y 100
=.如果近似眼镜镜片的焦距250.x =米，那么近视眼镜的度数y 为 ▲ ． 14.方程x x -=+6的根是 ▲ ．
15.手机已经普及，家庭座机还有多少？为此，某校中学生从某街道5000户家庭中随机抽取50户家庭进行统计，列表如下： 拥有座机数（部） 0 1 2 3 4 相应户数
10
14
18
7
1
该街道拥有多部电话（指1部以上,不含1部）的家庭大约有 ▲ 户.
16.如果梯形两底的长分别为3和7，那么联结该梯形两条对角线的中点所得的线段长为 ▲ ．
17.在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x ，y ），若规定以下两种变换：
①),(y x f =（2+x ，y ）．如)1,1(f =)1,3(；②),(y x g =),(y x --，如)2,2(g =)2,2(--. 按照以上变换有：))1,1((f g =)1,3(g =)1,3(--，那么))4,3((-g f 等于 ▲ ． 18.如图3，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，︒=∠90A ，cm AB 5=，cm BC 13=.以点B 为旋转中心，将BC 逆时针旋转︒90至BE ，BE 交CD 于F 点.如果点
E 恰好落在射线AD 上，那么D
F 的长为 ▲ cm .
三、简答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
A
C
B D E
F
C D
F
N
计算：︒
+︒︒
-︒+-60sin 45tan 30sin 30cos 42730
）（.
20.（本题满分10分）
解方程：
12
2
21=++-x x .
21.（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
如图4，在ABC ΔRt 中，90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上，且CA CD BC ⋅=2
. （1）求证：CBD A ∠=∠；
（2）当α=∠A ，2=BC 时，求AD 的长（用含α的锐角三角比表示）.
22.（本题满分10分，每个小题各5分）
某游泳池内现存水)(m 18903
，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2倍.假设在换水时需要经历“排水——清洗——灌水”的过程，其中游泳池 内剩余的水量y （3
m ）与换水时间．．．．t （h ）之间的 函数关系如图5所示.
根据图像解答下列问题：
（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；
（2）求灌水过程中的y （3
m ）与换水时间．．．．t （h ）之间的函数关系式，写出函数的定义域.
23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图6，点E 是正方形ABCD 边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点F 在CD 边的延长线上，且满足BE DF =.联结EF ，点M 、N 分别是EF 与AC 、AD 的交点.
（1）求AFE ∠的度数；
A
C
B
D
图4
(h)t
O
1890
5
21 )
(m 3y
（2）求证：FC
AC
CM CE =
.
24．（本题满分12分，每小题满分4分） 已知平面直角坐标系xOy （如图7），抛物线c bx x y ++=221
经过点)0,3(-A 、)2
3,0(-C . （1）求该抛物线顶点P 的坐标； （2）求CAP ∠tan 的值；
（3）设Q 是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q 的横坐标为t ，当点Q 在第四象限
时，
用含t 的代数式表示△QAC 的面积.
25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
已知AP 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的一个动点（不与点A 、P 重合），联结AC ，
以直线AC 为对称轴翻折AO ，将点O 的对称点记为1O ，射线1AO 交半圆O 于点B ，联结OC .
（1）如图8，求证：AB ∥OC ；
（2）如图9，当点B 与点1O 重合时，求证：CB AB =；
（3）过点C 作射线1AO 的垂线，垂足为E ，联结OE 交AC 于F .当5=AO ，11=B O 时，
求AF
CF
的值. 图7
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.C ；2.C ；3.D ；4.B ；5.C ；6.A.
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.12-；8.6
a ；9.3
26；10.12≤<-x ；11.5
4
；12.1=a ；13.400=y ；14.2-=x ；15.2600；16.2；17.（5，4-）；18.
1235（或写成12
112）. 三、简答题（本大题共7题，满分78分）
19．解：原式=2
31212
3
4331+
-⨯
+- ……………………6分
=3
2132331+-
+- …………1分
=13231-=+--. …………2+1分 20．解：方程两边同时乘以)x )x 2(2+-（，得
4)2(222-=-++x x x …1+1+1+1分
整理，得 0232
=--x x . ……2分
解这个整式方程，得 21731+=
x ，2
17
32-=x . ……2+1分 （若记错了求根公式，但出现了17，即根的判别式计算正确，可得1分）
经检验知，21731+=
x ，2
1732-=x 都是原方程的根. ……1分 所以，原方程的根是 21731+=
x ，2
17
32-=x .
21.解：（1）∵CA CD BC ⋅=2
，∴
BC
CA
CD BC =
. ……1分 ∵90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上，∴BCD ACB ∠=∠. ……1分 ∴△ACB ∽△BCD . ∴CBD A ∠=∠. ……1+1分 说明：若没有写出“∵90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上，∴BCD ACB ∠=∠”，但只要写出了BCD ACB ∠=∠，可得1分.
（2）∵CBD A ∠=∠，α=∠A ，∴α=∠CBD .……………………………1分 在Rt△ACB 中，90ACB ∠=︒，2=BC ，α=∠A . ∵BC
AC
A =
∠cot ， ∴ααcot 2cot =⋅=BC AC . …………………………………………2分 在Rt△BCD 中，︒=∠90BCD ，α=∠CBD ，2=BC ， ∵BC
CD
CBD =
∠tan ， ∴ααtan 2tan =⋅=BC CD . …………………………………………2分 ∴ ααtan 2cot 2-=-=CD AC AD . ……………………………1分 本题解题方法较多，请参照评分.
如写成 αα
tan 2tan 2
-=
AD ；4cos 4tan 22
--=ααAD ； 4cos 4
4sin 422---=
α
αAD ；αα
tan 24sin 4
2--=AD 等等，均正确.
22.解（1）由图像可知，该游泳池5个小时排水)(m 18903
， ……1分
所以该游泳池排水的速度是37851890=÷（/h m 3
）. ……1分
由题意得该游泳池灌水的速度是1892
1
378=⨯
（/h m 3），……1分 由此得灌水)(m 18903
需要的时间是101891890=÷（h ） ……1分 所以清洗该游泳池所用的时间是610521=--（h ） ……1分
（2）设灌水过程中的y （3
m ）与换水时间t （h ）之间的函数关系式是b kt y +=（0≠k ）. 将（11，0），（21,1890）代入b kt y ++=，得
⎩⎨
⎧=+=+.b k ,b k 189021011 解得⎩⎨⎧-==.
b ,
k 2079189 ……1+2分
所以灌水过程中的y （3m ）与时间t （h ）之间的函数关系式是
2079189-=t y （2111≤<t ）. ……1+1分
备注：学生若将定义域写成2111≤≤t ，亦视为正确，此处不是问题的本质. 23.解：（1）在正方形ABCD 中， ︒=∠=∠=∠90BAD ADC B ，AD AB =.……1分 ∵BE DF =，︒=∠=∠90ADF B ，AD AB =，∴△ABE ≌△ADF .……1分 ∴AF AE =，DAF BAE ∠=∠. ……………1+1分 ∴︒=∠=∠+∠=∠+∠=∠90BAD BAE EAD DAF EAD EAF . ……1分 ∵AF AE =，∴AEF AFE ∠=∠. ∴︒=︒⨯=
∠=∠45902
1
AEF AFE . ……………1分 (2) 方法1：∵四边形ABCD 是正方形，∴︒=∠45ACD . ……………1分
∵︒=∠45AEF ，∴ACF AEF ∠=∠. ……………1分 又∵FMC AME ∠=∠， ……………1分 ∴△ABE ∽△ADF ， ……………2分 ∴
FC
AC
CM CE =
. ……………1分 方法2：∵四边形ABCD 是正方形，∴︒=∠=∠45ACD ACB . …………1分 ∵△ABE ≌△ADF ，∴AFD AEB ∠=∠. ……………1分
∵CAE CAE ACB AEB ∠+︒=∠+∠=∠45， CFM CFM AFE AFD ∠+︒=∠+∠=∠45，
∴CFM CAE ∠=∠. ……………2分
又∵ACD ACB ∠=∠，△ACE ∽△FCM . ……………1分
∴
FC
AC
CM CE =. ……………1分 其他方法，请参照评分.
24．解：（1）将)0,3(-A 、)2
3,0(-C 代入c bx x y ++=
2
2
1，得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==+--.23,032)3(2
c c b 解得 ⎪⎩⎪
⎨⎧-==.c ,b 231 ………………2分
所以抛物线的表达式为2
3
212-+=
x x y . ………………1分 其顶点P 的坐标为（1-，2-）. ………………1分 （2）方法1：延长AP 交y 轴于G ，过 C 作AG CH ⊥，垂足是H . 设直线AP 的表达式为b kx y +=， 将),(A 03-、),(P 21--代入，得
⎩⎨
⎧-=+-=+-2
3b k b k ，解得⎩⎨⎧-=-=31b k . ∴3--=x y . 进而可得G （30-,）. ………1分 ∴OA OG =，︒=∠=∠45OAG G . 在Rt △CHG 中，4
2
345sin =︒⋅==CG CH HG . ………1分 在Rt △AOG 中，2345cos =︒
=
OG
AG ，
∴4
2
9=-=HG AG AH . ∴3
1
tan ==
∠AH CH CAP .……1+1分 方法2：设a CH =，易得a CG 2=
，a OG 22=，a AG 4=，
a AH 3=， 3
1
tan ==
∠AH CH CAP . 方法3：联结OP ，利用两种不同的方式分别表示四边形APCO 的面积：
49+
=+=∆∆∆APC AOC APC APCO S S S S 四边形； 4
15
433=+=+=∆∆POC APO APCO S S S 四边形；
∴23=∆APC S ，然后求523
=
AC 、22=AP ， 利用面积求AC 边上的高552=
h ，求1010sin =∠CAP ，进而求3
1
tan =∠CAP .
（3）设)2
32
1,(2
-+t t t Q ， …………1分
由Q 在第四象限，得t t =，
2
321232122+--=-+t t t t . 联结OQ ，易得 AOQ QOC AOC QAC S S S S ∆∆∆∆-+=. ∵4923321=-⨯-⨯=
∆AOC S ，t t S QOC 43
2321=⨯-⨯=∆， ………1分 4
9
2343232132122+--=-+⨯-⨯=
∆t t t t S QOA …………1分 ∴t t t t t S QAC 4
9
43)492343(434922+=+---+=
∆. …………1分 25.解：（1）∵点1O 与点O 关于直线AC 对称，∴AC O OAC 1∠=∠. ………1分 在⊙O 中，∵OC OA =，∴C OAC ∠=∠. …………1分 ∴C AC O ∠=∠1. ∴1AO ∥OC ，即AB ∥OC . …………1+1分 （2）方法1：联结OB . ………1分 ∵点1O 与点O 关于直线AC 对称，AC 1OO ⊥， ………1分 由点1O 与点B 重合，易得AC OB ⊥. ………1分 ∵点O 是圆心，AC OB ⊥，∴CB AB = ………2分
方法2：∵点1O 与点O 关于直线AC 对称，∴1AO AO =，1CO CO = ………1+1分 由点1O 与点B 重合，易得 AB AO =,CO CB = …………1分 ∵OC OA =，∴CB AB =. ∴ CB AB = ………1+1分 方法3：证平行四边形1AOCO 是菱形. (3) 过点O 作AB OH ⊥，垂足为H .∵AB OH ⊥，AB CE ⊥，
∴OH ∥CE ，又∵AB ∥OC ，∴5==OC HE .……1分 当点1O 在线段AB 上（如图），6111=+=+=B O AO B O AO AB ，
又∵ AB OH ⊥，∴32
1
==
AB AH . ∴835=+=+=AH EH AE ……1分
∵AB ∥OC , ∴
8
5
==AE OC AF CF ……1分 当点1O 在线段AB 的延长线上，类似可求7
5
==AE OC AF CF . …2分
11。