厦门市八年级数学上册第二单元《全等三角形》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，AB ∥CD ，BE 和CE 分别平分∠ABC 和∠BCD ，AD 过点E ，且AD ⊥AB ，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若AD ＝14，则PE 的最小值为（ ）
A ．7
B ．10
C ．6
D ．5
2．如图，在ABC 和DEF 中，,B DEF AB DE ∠=∠=，添加下列一个条件后，仍然不能证明ABC DEF ≌，这个条件是（ ）
A ．A D ∠=∠
B ．B
C EF = C ．ACB F ∠=∠
D ．AC DF = 3．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交x 轴的负半轴和y 轴的正半轴于A 点，B 点，分别以点A ，点B 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧交于P 点，若点P 的坐标为(m ，n)，则下列结论正确的是（ ）
A ．m ＝2n
B ．2m ＝n
C ．m ＝n
D ．m ＝－n 4．如图，BD 是四边形ABCD 的对角线， AD//BC ，AB AD <，分别过点A ，C 作A
E BD ⊥，C
F BD ⊥，垂足分别为点E ，F ，若BE DF =，则图中全等的三角形有
( )
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
5．如图，AP 平分∠BAF ，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AF 于点E ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ）
A ．SSS
B ．SAS
C ．SSA
D ．AAS
6．下列判断正确的个数是（ ）①三角形的三条高都在三角形的内部，并且相交于一点；②两边及一角对应相等的两个三角形全等；③两角及一边对应相等的两个三角形全等；④到三角形的三边所在的直线距离相等的点有三个；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 7．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD ⊥C
E ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则
DE 的长是（ ）
A ．1.5
B ．2
C ．22
D ．10
8．下列说法不正确的是（ ）
A ．三边分别相等的两个三角形全等
B ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C ．有两角及一边对应相等的两个三角形全等
D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
9．如图，AD 是ABC 的角平分线，:4:3AB AC ，则ABD △与ACD △的面积比为（ ）．
A ．4:3
B ．16:9
C ．3:4
D ．9:16 10．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是
（ ）
A ．OA =O
B B ．A
C =BC C ．∠A =∠B
D ．∠1=∠2 11．如图，已知A
E 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝34°，那么∠BED ＝（ ）
A ．134°
B ．124°
C ．114°
D ．104°
12．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连结BF ，CE ．下列说法：①CE BF =；②ACE △和CDE △面积相；③//BF CE ；④BDF CDE ≌．其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
13．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．若3BC =，且:5:4BD DC =，5AB =，则ABD △的面积是______．
14．如图（1），已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图（2），已知AB AC =，D ，E 为BAC ∠的角平分线上两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图（3），已知AB AC =，D ，E ，F 为BAC ∠的角平分线上三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；……，依此规律，第7个图形中有全等三角形的对数是________．
15．如图，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE BC ⊥于点E ，若2DE =，7BC =，12ABC S =△，则AB 的长为______．
16．如图，ABC ADE ≅，延长BC ，分别交AD ，ED 于点F ，G ，若
120EAB ∠=︒，30B ∠=︒，10CAD ∠=︒，则CFD ∠=________︒．
17．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，S △ABD ∶S △ACD ＝________．
18．如图，△ABC 的面积为1cm 2，AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为___．
19．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．
20．如图，已知点(44)A -，
，一个以A 为顶点的45︒角绕点A 旋转，角的两边分别交x 轴
正半轴，y 轴负半轴于E 、F ，连接EF ．当△AEF 直角三角形时，点E 的坐标是________．
三、解答题
21．如图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE ，FD=FE ．
（1）如图2，将仪器放置在△ABC 上，使点O 与顶点A 重合，D 、E 分别在边AB 、AC 上，沿AF 画一条射线AP ，交BC 于点P ．则AP 就是∠BAC 的平分线吗？请给出判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的前提下，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，已知PQ=4，AC=7，△ABC 的面积是32，求AB 的长．
22．如图，在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒，点A 、E 、B 、D 在同一直线上，BC 、EF 交于点M ，AC DF =，AB DE =．
求证：（1）CBA FED ∠=∠；
（2）AM DM =．
23．如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠BAD =80°，试求：
（1）∠EDC 的度数．
（2）若∠BCD =n °，试求∠BED 的度数．（用含n 的式子表示）
（3）类比探究：已知AB ∥CD ，BE 、DE 分别是∠ABC 、∠ADC 的n 等分线，
ABE ∠=1ABC n ∠，1CDE ADC n ∠=∠，∠BAD =α，∠BCD =β，请猜想∠BED = ．
24．OAB 和ODE 均为等腰三角形，且AOB DOE β∠=∠=，OA OB =，OD OE =，连接AD 、BE ，它们所在的直线交于点F ．
（1）观察发现：如图1，当60β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的
度数是______；
（2）探究证明：如图2，当90β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的
度数是______，根据图2证明你的猜想；
（3）拓展推广：当β为任意角时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______．（用含β的式子表示）
25．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．
（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；
（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；
（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b -+，(),0B a ，且
()2320a b a b +-+-=，C 为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AD AC =，CAD OAB ∠=∠，直线DB 交y 轴于点P ．
（1）求证：AO AB =；
（2）求证：AOC ABD ∆∆≌；
（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
当EP ⊥BC 时，EP 最短，根据角平分线的性质，可知EP=EA=ED=
12AD ，由AD ＝14，求出即可．
【详解】
解：当EP ⊥BC 时，EP 最短，
∵AB ∥CD ，AD ⊥AB ，
∴AD ⊥CD ，
∵BE 平分∠ABC ，AE ⊥AB ，EP ⊥BC ，
∴EP=EA ，
同理，EP=ED ，
此时，EP=
12AD=12
×14=7， 故选A ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，熟练找到P 点位置并应用角平分线性质求EP 是解题关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据全等三角形的判定，利用ASA 、SAS 、AAS 即可得答案．
【详解】
解：∵∠B=∠DEF ，AB=DE ，
∴添加∠A=∠D ，利用ASA 可得△ABC ≌△DEF ；
添加BC=EF ，利用SAS 可得△ABC ≌△DEF ；
添加∠ACB=∠F ，利用AAS 可得△ABC ≌△DEF ；
添加AC DF =，不符合任何一个全等判定定理，不能证明△ABC ≌△DEF ；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS 、ASA 、SAS 、AAS 和HL 是解题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
根据角平分线的性质及第二象限内点的坐标特点即可得出结论．
【详解】
解：∵由题意可知，点C 在∠AOB 的平分线上，∴m=-n ．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是作图−基本作图，熟知角平分线的作法及其性质是解答此题的关键． 4．C
解析：C
【分析】
根据AD //BC 证得ADB CBD ∠=∠，由BE DF =得到BF=DE ，由此证明
△ADE ≌△CBF ，得到AE=CF ，AD=CB ，由此证得△ABE ≌△CDF ，得到AB=CD ，由此利用SSS 证明△ABD ≌△CDB.
【详解】
解：∵AD //BC ，
∴ADB CBD ∠=∠，
BE DF =，
BF DE ∴=，
AE BD ⊥，CF BD ⊥，
AED CFB ∠∠∴=90=，
()ADE CBF ASA ∴≅，
AE CF ∴=，AD CB =，
∵∠AEB=∠CFD 90=，BE=DF ，
()ABE CDF SAS ∴≅，
AB CD ∴=，
BD DB =，AB=CD ，AD CB =，
()ABD CDB SSS ∴≅,
则图中全等的三角形有：3对，
故选:C .
【点睛】
此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据已知条件找到对应的边或角是解题的关键.
5．D
解析：D
【分析】
求出∠PDA=∠PEA=90°，∠DAP=∠EAP ，根据AAS 推出两三角形全等即可．
【详解】
解：∵PD ⊥AB ，PE ⊥AF ，
∴∠PDA=∠PEA=90°，
∵AP 平分∠BAF ，
∴∠DAP=∠EAP ，
在△APD 和△APE 中
DAP EAP PDA PEA AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△APD ≌△APE （AAS ），
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．
6．D
解析：D
【分析】
根据三角形的高线、角平分线的性质及全等三角形的判定分析各个选项即可．
【详解】
解：①只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部，此选项错误；
②有两边及一角对应相等的两个三角形全等，此选项错误；
③有两角和一边对应相等，满足AAS或ASA，此选项正确；
④在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；
在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．
则到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，此选项错误；
⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，此选项错误．
正确的有一个③，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法及三角形的角平分线，垂心等概念，熟练掌握概念和性质是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90︒，进而得出∆CEB≅∆ADC，就可以得出BE=DC，进而求出DE的值．
【详解】
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90︒，
∴∠EBC+∠BCE=90︒，
∵∠BCE+∠ACD=90︒，
∴∠EBC=∠DCA，
在∆CEB和∆ADC中，∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC，
∴∆CEB≅∆ADC(AAS)，
∴BE=DC=1，CE=AD=3，
∴DE=EC-CD=3-1=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
直接利用三角形全等的判定条件进行判定，即可求得答案；注意而SSA是不能判定三角形全等的.
【详解】
解：A，三边分别相等的两个三角形全等，故本选项正确；
B，两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C，两个角和一个边对应相等的两个三角形，可利用ASA或AAS判定全等，故本选项正确；
D，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故本选项正确．
故选：B
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定．注意普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．
9．A
解析：A
【分析】
过点D作DE垂直于AB，DF垂直于AC，由AD为角BAC的平分线，根据角平分线定理得到DE=DF，再根据三角形的面积公式表示出△ABD与△ACD的面积之比，把DE=DF以及AB：AC的比值代入即可求出面积之比．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∵AD为∠BAC的平分线，
∴DE=DF，又AB：AC=4：3，
∴S△ABD：S△ACD=（1
2AB•DE）：（
1
2
AC•DF）=AB：AC=4：3．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．此类题经常过角平分线上作角两边的垂线，这样可以得到线段的相等，再结合其他的条件探寻结论解决问题．
10．B
解析：B
【分析】
根据题意可以得到∠AOC=∠BOC，OC=OC，然后即可判断各个选项中条件是否能判定
△AOC≌△BOC，从而可以解答本题．
【详解】
解：由已知可得，∠AOC=∠BOC，OC=OC，
∴若添加条件OA=OB，则△AOC≌△BOC（SAS），故选项A不符合题意；
若添加条件AC=BC，则无法判断△AOC≌△BOC，故选项B符合题意；
若添加条件∠A=∠B ，则△AOC ≌△BOC （AAS ），故选项C 不符合题意；
若添加条件∠1=∠2，则∠ACO=∠BCO ，则△AOC ≌△BOC （ASA ），故选项D 不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 11．B
解析：B
【分析】
根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可；
【详解】
∵AE 平分∠BAC ，∠BAE ＝34°，
∴34EAC ∠=︒，
∵ED ∥AC ，
∴18034146AED ∠=︒-︒=︒，
∵BE ⊥AE ，
∴90AEB =︒∠，
∴36090146124BED ∠=︒-︒-︒=︒；
故答案选B ．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关键 。

12．C
解析：C
【分析】
根据“SAS”可证明△CDE ≌△BDF ，则可对④进行判断；利用全等三角形的性质可对①进行判断；由于AE 和DE 不能确定相等，则根据三角形面积公式可对②进行判断；根据全等三角形的性质得到∠ECD=∠FBD ，则利用平行线的判定方法可对③进行判断；
【详解】
∵ AD 是△ABC 的中线，
∴ CD=BD ，
∵ DE=DF ，∠CDE=∠BDF ，
∴ △CDE ≌△BDF(SAS)，所以④正确；
∴ CE=BF ，所以①正确；
∵ AE 与DE 不能确定相等，
∴ △ACE 和△CDE 面积不一定相等，所以②错误；
∵ △CDE ≌△BDF ，
∴∠ECD=∠FBD ，
∴BF ∥CE ，所以③正确；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积 ，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
二、填空题
13．【分析】过点D 作DE ⊥AB 利用角平分线的性质可得CD ＝DE 再利用线段的比求得线段DC 的长度进而即可求解【详解】过点D 作DE ⊥AB ∵AD 平分∠BACDE ⊥ABDC ⊥AC ∴CD ＝DE 又∵且BD ：DC ＝5 解析：103
【分析】
过点D 作DE ⊥AB ，利用角平分线的性质可得CD ＝DE ，再利用线段的比求得线段DC 的长度，进而即可求解．
【详解】
过点D 作DE ⊥AB ，
∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DC ⊥AC
∴CD ＝DE
又∵3BC =，且BD ：DC ＝5：4，
∴DE ＝DC ＝3÷（5＋4）×4＝
43． ∵5AB =，
∴ABD △的面积=
43×5÷2=103 故答案是：
103
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，添加辅助线，是解题的关键． 14．28【分析】设第n 个图形中有an （n 为正整数）对全等三角形根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律an=（n 为正整数）再代入n=7即可求出结论【详解】解：设第n 个图形中有an （n 为正整数）对全
解析：28
【分析】
设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形，根据各图形中全等三角形对数的变化
可找出变化规律“a n =
(1)2
n n +（n 为正整数）”，再代入n=7即可求出结论． 【详解】 解：设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形．
∵点E 在∠BAC 的平分线上
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD 和△ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△ACD （SAS ），
∴a 1=1；
同理，可得：a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，…，
∴a n =1+2+3+…+n=
(1)2n n +（n 为正整数）， ∴a 7=7(71)282
⨯+=． 故答案为：28．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定以及规律型：图形的变化类，根据各图形中全等三角形对数的变化，找出变化规律“a n =(1)2
n n +（n 为正整数）”是解题的关键． 15．5【分析】作DF ⊥AB 于F 根据角平分线的性质得到DE=DF 根据三角形的面积公式计算即可；【详解】如图：作DF ⊥AB 于F ∵BD 平分
∠ABCDE ⊥BCDF ⊥AB ∴DE=DF ∴×AB×DF+×BC×DE=
解析：5
【分析】
作DF ⊥AB 于F ，根据角平分线的性质得到DE=DF ，根据三角形的面积公式计算即可；
【详解】
如图：作DF ⊥AB 于F ，
∵ BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，
∴DE=DF ， ∴
12×AB×DF+12×BC×DE=ABC S ∆ ， 即12×AB×2+12
×7×2=12， 解得：AB=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键； 16．95【分析】根据全等三角形的性质得∠BAC=∠DAE 结合三角形外角的性质和三角形内角和定理即可求解【详解】解：∵∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的性质三角形外角的性质和三角形内角和定
解析：95
【分析】
根据全等三角形的性质，得∠BAC=∠DAE ，结合三角形外角的性质和三角形内角和定理，即可求解．
【详解】
解：∵ABC ADE ≅，
∴()
12010255BAC DAE ∠=∠=-÷=，
∴85ACF BAC B ∠=∠+∠=，
∴18085CFA ACF CAD ∠=-∠-∠=，
∴1808595CFD ∠=-=．
故答案为：95．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握上述定理和性质，是解题的关键． 17．4:3【分析】利用角平分线的性质可得出△ABD 的边AB 上的高与△ACD 的边AC 的高相等根据三角形的面积公式即可得出△ABD 与△ACD 的面积之比等于对应边之比；【详解】∵AD 是△ABC 的角平分线∴设△
解析：4:3
【分析】
利用角平分线的性质，可得出△ABD 的边AB 上的高与△ACD 的边AC 的高相等，根据三角形的面积公式，即可得出△ABD 与△ACD 的面积之比等于对应边之比；
【详解】
∵ AD 是△ABC 的角平分线，
∴ 设△ABD 的边AB 上的高与△ACD 的边AC 的高分别为1h ，2h ，
∴ 1h =2h ，
∴△ABD 与△ACD 的面积之比=AB ：AC=8：6=4：3，
故答案为：4：3．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键；
18．cm2【分析】如图延长AP 交BC 于T 利用全等三角形的性质证明AP=PT 即可解决问题【详解】解：如图延长AP 交BC 于
T ∵BP ⊥AT ∴∠BPA=∠BPT=90°∵BP=BP ∠PBA=∠PBT ∴△BPA ≌ 解析：12
cm 2 【分析】
如图，延长AP 交BC 于T ．利用全等三角形的性质证明AP=PT 即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长AP 交BC 于T ．
∵BP ⊥AT ，
∴∠BPA=∠BPT=90°，
∵BP=BP ，∠PBA=∠PBT ， ∴△BPA ≌△BPT （ASA ），
∴PA=PT ，∴BPA BPT CAP CPT S S S S ==，
1122
PBC ABC S S ∴==， 故答案为
12
cm 2. 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题．
19．【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=4然后由
S △ABC=S △ABD+S △ACD 及三角形的面积公式得出结果【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线DE ⊥ABDF ⊥AC ∴DF=DE=4又∵S △ABC
解析：【分析】
首先由角平分线的性质可知DF=DE=4，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果．
【详解】
解：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DF=DE=4．
又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，AB=8，
∴
12×8×4+ 12
×AC×4=28， ∴AC=6．
故答案是：6．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的长是一种很好的方法，要注意掌握应用．
20．或【分析】根据等腰三角形的性质作辅助线构造全等三角形得到对应线段相等即可得到结论【详解】①如图所示：∴∵∴∵∴∴在△和中
∴△△FDE ∴∴②当时同①的方法有：∴综上所述满足条件的点坐标为或故答案为：或
解析：(8)0，
或(40)， 【分析】
根据等腰三角形的性质，作辅助线构造全等三角形，得到对应线段相等即可得到结论．
【详解】
①如图所示：
90AFE ︒∠=，
∴90AFD OFE ︒∠+∠=，
∵90OFE OEF ︒∠+∠=，
∴AFD OEF ∠=∠，
∵90AFE ︒∠=，45EAF ︒∠=，
∴45AEF EAF ︒∠==∠，
∴AF EF =，
在△ADF 和FOE 中，
ADE FOE AFD OEF AF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADF ≌△FDE ，
∴4FO AD ==，8OE DF OD FO ==+=，
∴(40)E ，
． ②当90AEF ︒∠=时，同①的方法有：8OF =，4OE =，
∴(40)E ，
， 综上所述，满足条件的点E 坐标为(8)0，
或(40)， 故答案为：(8)0，
或(40)， 【点睛】
本题考查三角形全等性质和判定、等腰直角三角形的性质，注意直角三角形按角分类讨论分三种情况，不要漏解．
三、解答题
21．（1）AP 是∠BAC 的平分线，理由见解析；（2）AB=9
【分析】
（1）利用“SSS”证明△ADF ≌△AEF 即可证明AP 是∠BAC 的平分线；
（2）利用角平分线的性质得到PG=PQ=4，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
解：（1）AP 是∠BAC 的平分线，理由如下：
在△ADF 和△AEF 中，
AD AE AF AF DF EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ADF ≌△AEF （SSS ），
∴∠DAF=∠EAF ，
即AP 平分∠BAC ；
（2）过点P 作PG ⊥AC 于点G ，
∵AP 平分∠BAC ，PQ ⊥AB ，PG ⊥AC ，
∴PG=PQ=4， ∵11 22ABC ABP APC S
S S AB PQ AC PG =+=⋅+⋅ ∴114743222
AB ⨯+⨯⨯=， ∴AB=9．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的判定和性质．熟练掌握确定三角形的判
定方法，正确的识别图形是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据HL 定理可得Rt △ABC ≌ Rt △DEF ，从而得到∠CBA=∠FED ；
（2）由（1）所得结论和已知条件可以证得△AEM ≌△DBM ，从而可得AM=DM ．
【详解】
证明：（1）在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒
AC DF AB DE
=⎧⎨=⎩ ∴()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△
∴CBA FED ∠=∠．
（2）∵CBA FED ∠=∠
∴ME MB =，且AEM
DBM ∠=∠ 又∵AB DE =
∴AB EB DE EB -=-
即AE DB =
在AEM △和DBM △中
AE DB AEM DBM ME MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()AEM DBM SAS △≌△
∴AM DM =．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理HL 、SAS 及三角形全等的性质是解题关键．
23．（1）40︒；（2）1402BED n ∠=︒+︒；（3）1()αβ+n
【分析】
（1）根据平行线的性质及角平分线的性质即可得解；
（2）过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，由AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，推出
12
BEF ABE n ∠=∠=︒，利用EF ∥CD ，求得∠FED =∠EDC =40°，即可得到 1402
BED n ∠=︒+︒； （3）过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，利用AB ∥CD 推出∠ABC =∠BCD =β，
∠ADC =∠BAD =α，求得1ABE n
β∠=，111FED CDE ADC BAD n n n α∠=∠=∠=∠=，利用
EF ∥AB ，求出1BEF ABE n β∠=∠=
，即可得到1()BED n αβ∠=+． 【详解】
解：（1）∵AB ∥CD ， ∴∠ADC =∠BAD =80°， 又∵DE 平分∠ADC ，
∴1
402
EDC ADC ∠=∠=︒； （2）如图，过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，
∵AB ∥CD ，
∴∠ABC =∠BCD =n °，
又∵BE 平分∠ABC ，
∴12
ABE n ∠=︒， ∵EF ∥AB ， ∴12BEF ABE n ∠=∠=
︒， ∵EF ∥CD ，
∴∠FED =∠EDC =40°，
∴1402
BED n ∠=︒+︒． （3）1()αβ+n
．
如图，过点E 作EF ∥AB ，则EF ∥AB ∥CD ，
∵AB ∥CD ，
∴∠ABC =∠BCD =β，∠ADC =∠BAD =α， ∴1ABE n
β∠=，111FED CDE ADC BAD n n n α∠=∠=∠=∠=， ∵EF ∥AB ，
∴1BEF ABE n β∠=∠=
， ∴1()BED n
αβ∠=+． 故答案为：1
()αβ+n ．
【点睛】
此题考查平行线的性质，角平分线的性质，熟记平行线的性质并正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
24．（1）AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°，理由见解析；（3）AD BE =，β
【分析】
（1）设AF 交BD 于G ，证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，得到60AFB AOB ∠=∠=︒；
（2）证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，根据
OFA DFB ∠=∠及三角形内角和定理即可证得90AFB AOB ∠=∠=︒；
（3）根据（1）与（2）直接得到结论．
【详解】
（1）证明：设AF 交BO 于G ，
∵60AOB DOE ∠=∠=︒，
∴AOB BOD DOE BOD ∠-∠=∠-∠，
即AOD BOE ∠=∠，
∵OA OB =，OD OE =，
∴AOD BOE ≌△△，
∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，
∵
OGA FGB ∠=∠，
∴180180OGA OAD FGB OBE ∠-∠=∠--∠︒-︒，
∴60AFB AOB ∠=∠=︒， 故答案为：AD BE =，60°；
（2）AD BE =，90°
证明：设AF 交BO 于G ，
∵90AOB DOE ︒∠=∠=，
∴AOB BOD DOE BOD ∠+∠=∠+∠，
即AOD BOE ∠=∠，
∵OA OB =，OD OE =，
∴AOD BOE ≌△△，
∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，
∵OGA DGB ∠=∠，
∴90AFB AOB ∠=∠=︒；
故答案为：AD BE =，90°；
（3）证明：由（1）与（2）可得AD BE =，AFB AOB β∠=∠=
故答案为：AD BE =，β．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
25．（1）(0,3)E ；（2）见解析；（3）30OBC ∠=︒．
【分析】
（1）先根据AAS 判定△AOE ≌△BOC ，得出OE=OC ，再根据点C 的坐标为（3，0），得到OC=OE=3，进而得到点E 的坐标；
（2）先过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，根据△AOE ≌△BOC ，得到S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，再根据OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，得出OM=ON ，进而得到OD 平分∠ADC ；
（3）在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，根据SAS 判定△OPD ≌△OCD ，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OBC=30°．
【详解】
证明：（1）
AD BC ⊥，AO BO ⊥，
90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．
又AEO BED ∠=∠，
OAE OBC ∴∠=∠．
(5,0)A -，(0,5)B ， 5OA OB ∴==．
在AOE △和BOC 中
OAE OBC OA OB
AOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， (ASA)AOE BOC ∴≌，
OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，
3OE OC ∴==，
(0,3)E ∴．
（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，
AOE BOC ≌，
AOE BOC S S ∴=，AE BC =， 11
22
AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，
OM AD ⊥，ON BC ⊥，
DO ∴平分ADC ∠．
（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，
∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，
∴△OPD ≌△OCD ，
∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，
∵OC CD AD +=，∴OC=AD-CD
∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，
∴∠PAO=∠POA ，
∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，
又∵∠PAO+∠OCD=90°，
∴3∠PAO=90°，
∴∠PAO=30°，
∵OAP OBC ∠=∠
∴∠OBC=∠PAO =30°．
【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不变，理由见解析．
【分析】
（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值，作AE ⊥OB 于点E ，由SAS 定理得出△AEO ≌△AEB ，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先根据∠CAD=∠OAB ，得出∠OAC=∠BAD ，再由SAS 定理即可得出结论； （3）设∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP 的长度不变，故可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵()2
320a b a b +-+-=， ∴30,20,a b a b +-=⎧⎨-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩
∴()1,3A ，()2,0B ．
作AE OB ⊥于点E ，
∵()1,3A ，()2,0B ，
∴1OE =，211BE =-=，在AEO ∆与AEB ∆中，
∵,90,,AE AE AEO AEB OE BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴AEO AEB ∆∆≌，
∴OA AB =．
（2）证明：∵CAD OAB ∠=∠，
∴CAD BAC OAB BAC ∠+=∠+∠∠，即OAC BAD ∠=∠．
在AOC ∆与ABD ∆中，
∵,,,OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴AOC ABD ∆∆≌．
（3）解：点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设AOB α∠=． ∵OA AB =，
∴AOB ABO α∠=∠=．
由（2）知，AOC ABD ∆∆≌，
∴ABD AOB α∠=∠=．
∵2OB =，1801802OBP ABO ABD α∠=︒-∠-∠=︒-为定值，90POB ∠=︒，易知POB ∆形状、大小确定，
∴OP 长度不变，
∴点P 在y 轴上的位置不发生改变．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．。