上海上海大学附属学校数学高二下期中经典测试题(答案解析)

一、选择题
1．(0分)[ID ：13607]若4sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭等于（ ）
A ．
45
B ．4
5
-
C ．
3
5 D ．35
2．(0分)[ID ：13605]O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足
+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB B AC C
+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ） A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
3．(0分)[ID ：13599]已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，68,77AC ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =
，1
3
CE CB =，则向量AD 与AE 的关系是（ ） A ．2AD AE = B ．1
2
AD AE =
C ．A
D A
E ⊥
D ．AD 与A
E 成60︒夹角
4．(0分)[ID ：13582]《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=1
2（弦×矢＋矢×
矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为2π
3，弦长为40√3m
的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中π≈3，√3≈1.73） A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
5．(0分)[ID ：13575]已知2sin 23
α=
，则2cos 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭（ ）
A ．1
6
B ．
13
C ．
12
D ．
23
6．(0分)[ID ：13561]函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜
2
π
）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝Acosωx 的图象，只需把y ＝f （x ）的图象上所有的点（ ）
A ．向右平移12
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度
C ．向右平移
6π
个单位长度 D ．向左平移
6
π
个单位长度 7．(0分)[ID ：13597]已知20a b =≠，且关于x 的方程2
0x a x a b ++⋅=有实根，则
a 与
b 的夹角的取值范围是( )
A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
8．(0分)[ID ：13595]若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
（） A ．7
9
-
B ．13-
C ．
13
D ．
79
9．(0分)[ID ：13591]在ABC ∆中，已知向量AB 与AC 满足(
)AB AC BC AB
AC
+
⊥且
1
•
2
AB AC AB
AC
=
，则ABC ∆是( ) A ．三边均不相同的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角形
10．(0分)[ID ：13569]已知0w >,0φπ<<，直线4
x π
=
和54
=
x π
是函数()sin()f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）
A ．
π4
B ．
π3
C ．
π2
D ．
3π4
11．(0分)[ID ：13565]已知函数()()
sin 0,0,f A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且
()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐
标不变），所得图象对应的函数为()g x .若24g π⎛⎫
= ⎪⎝⎭38
f π
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A 2
B ．2-
C ．-2
D ．2
12．(0分)[ID ：13549]将函数3sin ()y x x x R =
+∈的图象向左平移()0m m >个长
度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）
A ．
12
π B ．
6
π C ．
3
π D ．
56
π 13．(0分)[ID ：13545]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x
=
- B ．cos y x =
C ．ln(1)y x =+
D ．2x y -=
14．(0分)[ID ：13535]已知函数()42sin(2)24
f π
αα=-
+，在锐角三角形ABC 中，
()6f A =，且cos2cos2B C =，则tan B 的值为( )
A ．1
B ．21-
C ．
22
D ．21+
15．(0分)[ID ：13530]从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n,则向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)垂直的概率为( ) A ．
16
B ．
13
C ．
14
D ．
12
二、填空题
16．(0分)[ID ：13722]已知函数f(x)=−4cos(ωx+φ)
e |x |
(ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所
示，则ω
φ=__________．
17．(0分)[ID ：13718]如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，且1OA OB ==，23OC =，若
(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则(x ,y )=___________.
18．(0分)[ID ：13707]已知P 是ABC ∆内任一点，且满足AP x AB y AC =+，x 、
y ∈R ，则2y x +的取值范围是______.
19．(0分)[ID ：13702]在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为__________．
20．(0分)[ID ：13663]已知向量a →
，b →
均为单位向量，若它们的夹角是60°，则3a b
-
等于___________；
21．(0分)[ID ：13660]在正△ABC 中，若6AB =，2DC BD =，则AD BC ⋅=________ 22．(0分)[ID ：13649]已知(1,2)a =，(8,6)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为________
23．(0分)[ID ：13636]若tanα＝2，则sinα·cosα的值为 ． 24．(0分)[ID ：13631]若cos 2cos()3
ααπ=+，则tan()6
π
α+
=______________．
25．(0分)[ID ：13629]设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若
FA FB FC 0++=，则FA FB FC ++=______． 三、解答题
26．(0分)[ID ：13820]在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知
2BA BC ⋅=，1
cos 3
B =，3b =，求：
（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.
27．(0分)[ID ：13761]已知向量()3,2a x x =+-，向量()1,4b x =-，其中05x ≤≤. （1）用x 表示a b ⋅；
（2）求a b ⋅的最值，并求此时,a b 夹角的大小.
28．(0分)[ID ：13760]已知函数()()
2
cos 23sin cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=-+>的
最小正周期为2π．
()1求ω的值；
()2ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()2f B =，3a =
，ABC 面积
33
4
S =
，求b ． 29．(0分)[ID ：13756]已知平行四边形OABC 中，若P 是该平面上任意一点，则满足OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λOA
⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ （λ,μ∈R ）.
（1）若P 是BC 的中点，求λ+μ的值； （2）若A 、B 、P 三点共线，求证：λ+μ=1.
30．(0分)[ID ：13738]已知向量a ＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b ＝(－cosωx－sinωx,2
cosωx)．设函数f(x)＝a b ⋅＋λ(x∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中
ω，λ为常数，且ω∈1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
.
(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y ＝f(x)的图象经过点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭，求函数f(x)在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的取值范围
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．A 2．B 3．A 4．B 5．A 6．B 7．B 8．A 9．D 10．A 11．A 12．B 13．D 14．D 15．A
二、填空题
16．2【解析】
f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k∈Z)∵0 <2πω<2∴ω=π所以ωφ=2
17．(42)【解析】【分析】以OC为对角线作如图所示的平行四边形由题中角度关系可得出；然后由向量加法的平行四边形法则得出则可得出进而得出答案【详解】如图所示以OC 为对角线作平行四边形则有所以在Rt△MO
18．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别
19．【解析】分析：如图：以A为原点以ABAD所在的直线为xy轴建立如图所示的坐标系先求出圆的标准方程再设点P的坐标为（cosθ+1sinθ+2）根据=λ+μ求出λμ根据三角函数的性质即可求出最值详解：如
20．【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方再开方得结果【详解】【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积考查基本求解能力
21．【解析】【分析】由可得利用向量的线性运算可得再求出和即可【详解】由题意则故答案为:【点睛】本题考查了平面向量的线性运算考查了向量数量积的计算考查学生的计算能力属于基础题
22．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况
23．【解析】试题分析：答案为考点：同角三角函数的平方关系与商数关系
24．【解析】【分析】由化为再利用两角和与差的余弦公式再同时除以即可【详解】因为所以所以故答案为【点睛】本题考查三角函数的条件求值主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求
25．6【解析】【分析】由题意可得焦点F（02）准线为y＝﹣2由条件可得F是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p＝4焦点F（02）准线为y＝﹣2由于故F是三角形ABC的重心设AB
三、解答题
26．
27．
28． 29． 30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
πcos 3α⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
sin （ππ23α--）结合诱导公式求解即可
【详解】
π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
sin （ππ23α--）π4sin 65α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，
故选A ． 【点睛】
本题考查诱导公式及角的变换，是基础题
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
解出AP ，计算AP BC ⋅并化简可得出结论． 【详解】
AP OP OA =-=λ（
AB AC AB cosB
AC cosC
+
⋅⋅），
∴()
...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫
⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭
， ∴AP BC ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心． 故选B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅是关键．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
先求出=6,8AD （），=3,4AE （），所以2AD AE =，即得解. 【详解】
1141
()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+
45168168,,(6,8)577577⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫
=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
(3,4)=，
所以2AD AE =. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．B
解析：B 【解析】
分析：先根据经验公式计算出弧田的面积，再利用扇形面积减去三角形面积得实际面积，最后求两者之差.
详解：因为圆心角为2π
3，弦长为40√3m ，所以圆心到弦的距离为20，半径为40，
因此根据经验公式计算出弧田的面积为1
2(40√3×20+20×20)=400√3+200，
实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为1
2
×2π3
×402−1
2
×20×40√3=
1600π3
−
400√3， 因此两者之差为
1600π
3
−400√3−(400√3+200)≈16，选B.
点睛：扇形面积公式1
2
lr =12
αr 2，扇形中弦长公式2rsin α
2，扇形弧长公式l =αr.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用二倍角公式和诱导公式，可得21+cos(2+)
1sin 22cos 422π
απαα-⎛⎫+=
= ⎪
⎝
⎭，即得解. 【详解】
已知2
sin 23α=，则2211+cos(2+)1sin 2132cos 42226π
απαα--⎛⎫+=
=== ⎪⎝
⎭ 故选：A 【点睛】
本题考查了二倍角公式和诱导公式的综合应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】
根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜
2
π
）的图象，可得A ＝1， 1274123
w πππ⋅=-，∴ω＝2． 再根据五点法作图可得2×3π+φ＝π，求得φ＝3π，∴函数f （x ）＝sin （2x +3π
）．
故把y ＝f （x ）的图象上所有的点向左平移12
π
个单位长度，可得y ＝sin （2x +
6π+3
π
）＝cos2x ＝g （x ）的图象. 故选B ． 【点睛】
确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝
2M m -，b ＝2
M m
+；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝
2π
ω
；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)
或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝
2
π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π
. 7．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据方程有实根得到2
4cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1
cos 2
θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】
关于x 的方程2
0x a x a b ++⋅=有实根 2
40a a b ∴∆=-⋅≥
设a 与b 的夹角为θ，则2
4cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2
θ∴≤ 又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得
2cos(
2)cos(2)cos[2()]336a a a πππ+=--=--2[12sin ()]6a π
=---，即可求解． 【详解】 由题意，可得22cos(
2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336
a a a a πππππ+=--+=--=-- 27
[12sin ()]69
a π=---=-，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式
和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
AB AB
和
AC AC
是两个单位向量，设
AB AC AB
AC
+
＝AD ，则AD 是BAC ∠的平分线，由此
可得AD BC ⊥，从而确定三角形是等腰三角形，再由1
•
2
AB AC AB
AC
=
，求出BAC ∠即可判断． 【详解】 设
AB AC AB
AC
+
＝AD ，∵
AB AB
和
AC AC
是两个单位向量，∴AD 是BAC ∠的平分线，
由题意AD BC ⊥，∴ABC ∆是等腰三角形，
•
AB AC AB
AC
111cos 2BAC ⨯⨯∠=
，即1cos 2
BAC ∠=，∴3BAC π
∠=， ∴ABC ∆是等边三角形， 故选：D ． 【点睛】
本题考查向量的数量积，考查向量加法的平行四边形法则．解题关键是由向量垢平行四边形法则得出设
AB AC AB
AC
+
＝AD ，则AD 是BAC ∠的平分线．
10．A
解析：A 【解析】 因为直线4
x π
=和54
x π
=
是函数()()sin f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴， 所以T=522π44ππ⎛⎫
⨯-=
⎪⎝⎭
．所以ω=1，并且sin （4π+φ）与sin （54π+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，
所以φ=
4
π． 故选：A ． 11．A 解析：A 【解析】
【分析】
根据所给的条件求出参数,,A ωϕ 的值，然后令3,8
x π=代入到()f x 即可． 【详解】
由()f x 为奇函数，可知(0)sin 0,f A ϕ== 由ϕπ< 可得0.ϕ= 由()f x 的最小正周期为π可得2,T π
πω
=
= 所以 2.ω= 则()sin 2.f x A x =将()y f x =的图象上所有点的横
坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得()sin .g x A x =的图象，结合已知条件可得
sin 44g A ππ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
可得A=2,则()2sin 2.f x x =
所以332sin 84f ππ⎛⎫== ⎪
⎝⎭
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质以及图象的变换．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意得，3cos sin 2sin()3
y
x x x
，令,3
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，
可得函数的图象对称轴方程为,6
x k k Z π
π=
+∈，取0k =是y 轴右侧且距离y 轴最近的
对称轴，因为将函数的图象向左平移()0m m >个长度单位后得到的图象关于y 轴对称，
m 的最小值为6
π，故选B ．
考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质． 【方法点晴】
本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数
2sin()3
y x π
=+,可取出函数的对称轴，确定距离y 最近的点，即可得到结论．
13．D
解析：D 【解析】 试题分析：1
1y x
=
-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；
()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.
考点：函数增减性
14．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据()6f A =得到4
A π
∠=，根据cos2cos2B C =得到38
B C π
∠=∠=
，利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】
())264f A A π=-+=，即sin(2)42
A π-=
. 锐角三角形ABC ，故32,444A π
ππ
⎛⎫
-
∈- ⎪
⎝⎭
，故244A ππ-=，4A π∠=. ()2,20,B C π∈，cos2cos2B C =，故38
B C π
∠=∠=
.
22tan 3tan 2tan 11tan 4
B B B π
=
==--，故tan 1B =或tan 1B =（舍去）.
故选：D . 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.
15．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据分步计数乘法原理求得所有的(),m n )共有12个，满足两个向量垂直的(),m n 共有2个，利用古典概型公式可得结果. 【详解】
集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m ,有4种方法； 从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n ，有3种方法， 所以，所有的(),m n 共有4312⨯=个，
由向量(),a m n =与向量()11
b =-,垂直,可得0a b n m ⋅=-=，即m n =, 故满足向量(),a m n =与向量()11
b =-,垂直的(),m n 共有2个：()()3,3,5,5， 所以向量(),a m n =与向量()11
b =-,垂直的概率为21
126
=，故选A. 【点睛】
本题主要考查分步计数乘法原理的应用、向量垂直的性质以及古典概型概率公式的应用，
属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式m
P n
=求得概率.
二、填空题
16．2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k ∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=2
解析：2
【解析】
f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π
2
f(1)=0⇒cos(ω+π
2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k ∈Z)∵0<
2πω
<2∴ω=π
所以ω
φ=2
17．(42)【解析】【分析】以OC 为对角线作如图所示的平行四边形由题中角度关系可得出；然后由向量加法的平行四边形法则得出则可得出进而得出答案【详解】如图所示以OC 为对角线作平行四边形则有所以在Rt△MO
解析：(4,2) 【解析】 【分析】
以OC 为对角线作如图所示的平行四边形，
由题中角度关系可得出||4||4,||2||2ON OA OM OB ====；然后由向量加法的平行四边形法则得出OC ON OM xOA yOB =+=+，则可得出4,2x y ==，进而得出答案
()(),4,2x y =.
【详解】
如图所示，以OC 为对角线作平行四边形，则有MON 120∠︒=，MOC 90∠︒=，
MCO NOC 30∠∠︒==，所以在Rt △MOC 中，由||23OC =OM OC tan 302︒==， ON MC 2OM 4===；由向量加法的平行四边形法则可得OC ON OM =+，又因OC xOA yOB =+，得出ON xOA =，OM yOB =，
0,0x y >>，则有||||ON x OA =，||||OM y OB =，则由以上等式可解的4,2x y ==，所以()(),4,2x y =.
故答案为：()4,2.
【点睛】
本题考查了向量平行四边加法法则的应用，考查了特殊直角三角形边长的求解，属于一般难度的题.
18．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别 解析：()0,2
【解析】 【分析】
本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案，可讨论当P 点在BC 上时，1x y +=，特别地，当点P 与点B 重合时有1x =，0y =；当点P 与点C 重合时有
0x =，1y =；又利用点P 在三角形内部可得答案． 【详解】
三角形ABC 内一点，且向量AP xAB y AC =+， 当P 点在BC 上时，1x y +=，
特别地，当点P 与点B 重合时有1x =，0y =； 当点P 与点C 重合时有0x =，1y =． 但是因为P 在三角形ABC 内，
01x y ∴<+<，01x <<，01y <<, 02x x y ∴<++<,
即2y x +的取值范围是(0,2). 故答案为：(0,2)
【点睛】
本题考查向量的加法运算以及三角形法则，平面向量基本定理的应用，有限与无限的数学思想，考查向量与不等式等知识的综合处理能力．
19．【解析】分析：如图：以A 为原点以ABAD 所在的直线为xy 轴建立如图所示的坐标系先求出圆的标准方程再设点P 的坐标为（cosθ+1sinθ+2）根据=λ+μ求出λμ根据三角函数的性质即可求出最值详解：如 解析：3
【解析】
分析：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求
出圆的标准方程，再设点P的坐标为（25
5
cosθ+1，
25
5
sinθ+2），根据
AP=λAB+μAD，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．
详解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC=2，CD=1，
∴22
21
5
∴1
2
BC•CD=
1
2
BD•r，
∴
5
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4
5
，
设点P的坐标为（25
5
cosθ+1，
5
5
sinθ+2），
∵AP=λAB+μAD，
2525
sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴25
5
cosθ+1=λ，
5
5
sinθ+2=2μ，
∴λ+μ=
5
5
cosθ+
5
5
（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故答案为：3．
点睛：本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
20．【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方再开方得结果【详解】【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积考查基本求解能力 解析：7
【解析】 【分析】
结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果. 【详解】
221
3961961172
a b a b a b -=+-⋅=+-⨯⨯⨯
= 【点睛】
本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力.
21．【解析】【分析】由可得利用向量的线性运算可得再求出和即可【详解】由题意则故答案为:【点睛】本题考查了平面向量的线性运算考查了向量数量积的计算考查学生的计算能力属于基础题 解析：6-
【解析】 【分析】
由2DC BD =可得1
3
BD BC =
,利用向量的线性运算可得()
21133AD BC AB BD BC AB BC BC AB BC BC ⎛⎫
⋅=+⋅=+⋅=⋅+ ⎪⎝⎭
,再求出AB BC ⋅和
2
BC 即可.
【详解】
由题意,2DC BD =,则1
3
BD BC =
, 66cos6018AB BC BA BC ︒⋅=-⋅=-⨯=-,2
6636BC =⨯=,
()
211118366333AD BC AB BD BC AB BC BC AB BC BC ⎛⎫
⋅=+⋅=+⋅=⋅+=-+⨯=- ⎪⎝⎭
.
故答案为:6-.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算,考查了向量数量积的计算,考查学生的计算能力,属于基础
题.
22．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况
解析：2
5
-
【解析】 【分析】
直接利用投影公式得到答案. 【详解】
(1,2)a =，(8,6)b =-，a 在b 方向上的投影为：
8122
105
a b b
⋅-=
=- 故答案为：2
5
- 【点睛】
本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影概念的理解情况.
23．【解析】试题分析：答案为考点：同角三角函数的平方关系与商数关系 解析：
【解析】 试题分析：
，答案为
．
考点：同角三角函数的平方关系与商数关系
24．【解析】【分析】由化为再利用两角和与差的余弦公式再同时除以即可【详解】因为所以所以故答案为【点睛】本题考查三角函数的条件求值主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求
解析：33
. 【解析】
【分析】
由cos 2cos()3ααπ=+化为cos 2cos()6666ααππππ⎛
⎫+-=++ ⎪⎝
⎭,再利用两角和与差的余弦公
式，再同时除以cos 6πα⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
即可. 【详解】
因为cos 2cos()3
ααπ=+，所以cos()2cos()6
6
6
6
π
π
π
π
αα+
-
=+
+
，
cos()cos
3sin()sin
6
6
6
6
π
π
π
π
αα+
=+
，所以3tan()6
3
π
α+
=
.
故答案为33
. 【点睛】
本题考查三角函数的条件求值，主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求式；条件与所求都要变形，找到联系.恰当利用角的变换有时可简化运算.考查运算能力，属于中档题.
25．6【解析】【分析】由题意可得焦点F （02）准线为y ＝﹣2由条件可得F 是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p ＝4焦点F （02）准线为y ＝﹣2由于故F 是三角形ABC 的重心设AB
解析：6 【解析】 【分析】
由题意可得 焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由条件可得F 是三角形ABC 的重心，可得
2123
3
y y y ++=
， 由抛物线的定义可得 结果． 【详解】
由题意可得 p ＝4，焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由于 0FA FB FC ++=， 故F 是三角形ABC 的重心，设 A 、B 、C 的纵坐标分别为 y 1，y 2，y 3， ∴2123
3
y y y ++=
，∴y 1+y 2+y 3＝6． 由抛物线的定义可得 FA FB FC ++=（y 1+2）+（y 2+2）+（y 3+2）＝12． 故答案为12． 【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到 y 1+y 2+y 3＝6，是解题的关键．
三、解答题 26．
（1）3,2a c ==；（2）2327
【解析】
试题分析：（1）由2BA BC ⋅=和1
cos 3
B =
，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解
，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得
22
sin .3
B =
由正弦定理，得42
sin sin 9
c C B b =
=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27
cos 1sin 9
C C =-=
，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=得，
，又1
cos 3
B =
，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解
，得a=2，c=3或a=3，c=2.
因为a>c,∴ a=3，c=2.
（2）在ABC ∆中，22122
sin 1cos 1()3B B =-=-= 由正弦定理，得22242
sin sin 339
c C B b =
=⋅=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1(
)99
C C =-=-=.
于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223
393927
⋅+⋅=
. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.
27．
（1）a b ⋅=()2
14x ---
（2）a b ⋅的最大值为4-，夹角为17
π- 【解析】 【分析】
（1）根据坐标形式下的向量的数量积运算，用x 表示出a b ⋅；
（2）由二次函数确定出a b ⋅的最大值，并利用向量的夹角公式计算出夹角的余弦值，从而求解出夹角的大小. 【详解】
（1）因为()3,2a x x =+-，()1,4b x =-，
所以()()()()2
231422514a b x x x x x x ⋅=+-+-=-+-=---； （2）因为a b ⋅=()2
14x ---，且05x ≤≤，
所以当1x =时，a b ⋅有最大值4-，此时()()4,1,0,4a b =-=，
所以cos ,
17a b <>=
=，所以,a b π<>=-. 【点睛】
本题考查向量数量积的坐标表示以及相关计算，难度一般.已知两个向量,a b ，若要求解两个向量的夹角，可先通过向量的夹角公式cos ,a b
a b a b ⋅<>=先求解出夹角的余弦值，若
,a b <>非特殊角，再通过反三角函数即可得到向量的夹角大小.
28．
(1)
12(2)3 【解析】
【分析】 （1）化简()π2sin 26f x x ω⎛⎫=-
⎪⎝⎭ ，根据函数的最小正周期2π2π2T ω==即可求出ω的值
2）由（1）知，()π2sin 6f x x ⎛⎫=-
⎪⎝⎭.由()π2sin 26f B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，求得2π3B =，再根
据ABC 的面积SS =
，解得c =b . 【详解】
（1）()22cos cos sin f x x x x x ωωωω=-+ cos2x x ωω=-
π2sin 26x ω⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ 故函数的最小正周期2π2π2T ω==，解得12ω=. （2）由（1）知，()π2sin 6f x x ⎛⎫=-
⎪⎝⎭.由()π2sin 26f B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得ππ2π62B k -=+（k Z ∈）.所以2π2π3
B k =+（k Z ∈）.又(0,π)B ∈，所以
2π
3B =.ABC 的面积112πsin sin 2234
S ac B c ==⨯=，解得c =由余弦
定理可得2222cos b a c ac B =+- 222π23
=
+- 9=，所以3b =. 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求
解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．
29．
（1）12 （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +1
2
BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,再结合BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,可求出λ,μ; （2）设AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ (t ∈R ),可得OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,结合AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AO
⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,可得到OP
⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−t )OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tOB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,从而可证明λ+μ=1. 【详解】 （1）由题意,OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ −1
2OA ⃑⃑⃑⃑⃑ , 又OP
⃑⃑⃑⃑⃑ =λOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,故λ=−12,μ=1,即λ+μ=1
2. （2）A 、B 、P 三点共线，设AP
⃑⃑⃑⃑⃑ =tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ (t ∈R ), 则OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +t (AO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(1−t )OA
⃑⃑⃑⃑⃑ +tOB ⃑⃑⃑⃑⃑ , 又OP
⃑⃑⃑⃑⃑ =λOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,故λ=1−t,μ=t ,即λ+μ=1. 【点睛】
本题考查了平面向量共线定理的运用,考查了向量的线性运算,考查了学生的推理能力,属于基础题. 30．
(1)56
π ；(2)12,22⎡⎤---⎣⎦ . 【解析】
试题分析：
(1)整理函数的解析式可得：56
ω= ，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为65
π ； (2)化简三角函数的解析式()52sin 23
6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合函数的定义域可得函数的取值范围是12,22⎡⎤---⎣⎦ .
试题解析：
(1)因为f(x)＝sin 2ωx－cos 2ωx＋2
sinωx·cosωx＋λ ＝－cos2ωx＋
sin2ωx＋λ ＝2sin ＋λ.
由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin
＝±1， 所以2ωπ－＝kπ＋ (k∈Z)，即ω＝＋ (k∈Z)．
又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－.
故f(x)＝2sin－，
由0≤x≤，有－≤x－≤，
所以－≤sin≤1，得－1－≤2sin x－－≤2－.故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．。