高中数学北师版必修2 垂直关系

垂直关系
【考点透视】
一、考纲指要
1．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用
它们进行论证和解决有关的问题；
2．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解
题过程。

3．掌握平面与平面垂直的概念、判定定理和性质定理，并能运用
它们进行推理论证和解决有关问题;
4．在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，
通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使得问题获
得解决.
二、命题落点
1．立体几何中的几个重要模型正四面体、正三棱锥、正四棱锥中
的边边、边面、面面之间的关系为这一章节的重点内容,高考题的
大部分题目都以它们为背景，如例1;
2．考查线面位置关系，如例2;
3．考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想
象能力和推理运算能力，如例3.
【典例精析】
例1：（2005·北京）在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，
BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（ ） A ．BC//平面PDF B ．DF ⊥平面PA E
C ．平面PDF ⊥平面ABC
D ．平面PA
E ⊥平面 ABC
解析:如图所示：DF ∥BC 可得A 正确
BC PO BC PE ⊥⊥ 可得BC ⊥平面PAE
从而得DF ⊥平面PAE B 正确 PO ⊥平面ABC 则平面PAE ⊥平面ABC D 正确
答案：C
例2：(2005·江苏) 设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两
A B
不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；
②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||；③若βα||，α⊂l ，
则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则n m ||。

其中真命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析:③④正确，
答案: B
例3：如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC1F 所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.
（1）求BF 的长； （2）求点C 到平面AEC1F 的距离. 解析： （1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0），A （2，0，0），C （0，
4，0），E （2，4，1），C1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.
∵AEC1F 为平行四边形，由1AF EC =得
(2,0,)(2,0,2)z -=-，∴ 2.(0,0,2)z F =∴，
∴(2,4,2)BF =--，于是||26BF =
即|BF|
的长为． （2）设1n 为平面AEC1F 的法向量，显然1n 不垂直于平面ADF ，故
可设1n =(x ，y ，1)．
由110,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得04102020x y x y ⨯+⨯+=⎧⎨-⨯+⨯+=⎩即410220y x +=⎧⎨-+=⎩得1,1.4x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
B x
A B C D E F C 1
又1(0,0,3)CC =，设11CC n 与的夹角为a ，
则1111cos |||
|3
CC n CC n α⋅===⋅⨯
∴C 到平面AEC1F 的距离为1||cos 3d CC α=== 【常见误区】
1．“不成立的结论”,这是平时解题中常出现的陷阱,大多考生只注意命题正确性的判断,而忽略了错误结论的选择, 解题过程中审题不清;
2．线线关系特别是垂直关系,三垂线定理在解题过程中线与线、线与面的关系错综复杂,考生常因关系混乱而使空间关系判断错误, 解决此类问题可以建立体几何模型来判断;
3．距离问题常转化求解,但转化后解题计算错误率却非常高,这主要是因为几何图形的边角关系求数据运算错误所致. 而利用法向量求点到平面的距离是较好操作的方法.
【基础演练】
1．(2005·天津) 设γβα、、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是（ ）
A ． l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα
B ． γβγαγα⊥⊥=⋂,,m
C ． αγβγα⊥⊥⊥m ,,
D ． αβα⊥⊥⊥m n n ,,
2． (2004·北京)如图,在正方体中,P 是侧面内一动点,若P 到直线BC 与直线的距离相等,则动点P 的轨迹所在的曲线是 （ ）
A ．直线
B ．圆
C ．双曲线
D ．抛物线
3． (2004·天津)如图,定点A 和B 都在平面α内,定点P ∈/α,PB ⊥α,C 是α内异于A 和B 的动点,且PC ⊥AC ．那么动点C 在平面α内的轨迹是 （ ）
A ．一条线段,但要去掉两个点
B ．一个圆,但要去掉两个
A B C
D O P
· B 1 P A C D A 1 C 1 D 1 B O H · 点
C ．一个椭圆,但要去掉两个点
D ．半圆,但要去掉两个点
4．(2004·上海) 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( )
A ．若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α
B ．若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α
C ．若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α
D ．若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α
5．(2005·辽宁) 如图，正方体的棱长为１，Ｃ、Ｄ分别是两条棱的
中点，Ａ、Ｂ、Ｍ是顶点，那么点Ｍ到截面ABCD 的距离是 _____________．
6．(2005·湖南) 已知平面βα,和直线m ，给出条件：①α//m ；
②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//.
（i ）当满足条件 时，有β//m ；
（ii ）当满足条件 时，有β⊥m .（填所选条件的序号）
7．(2004·江苏)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 是正方
形A1B1 C1D1的中心,点P 在棱CC1上,且CC1=4CP.
（1）求直线AP 与平面BCC1B1所成的角的大小 (结果用反三角函数值表示)； （2）设O 点在平面D1AP 上的射影是H,
求证：D1H ⊥AP ；
（3）求点P 到平面ABD1的距离.
8． (2005·浙江) 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kPA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．
（1）OD //平面PAB
（2） 当k ＝21
时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小；
（3）当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？
9．(2003·北京,文17)如图,正三棱柱ABC —A1B1C1中,D 是BC 的中点,AB=A ．
（1）求证：A1D ⊥B1C1;
（2）求点D 到平面ACC1的距离；
（3）判断A1B 与平面ADC1的位置关系,并证明你的结论.。