2021高考数学查缺补漏集中营 三视图及空间几何体的计算问题(1)

2021高考数学查缺补漏集中营： 三视图及空间几何体的计算问题
一、选择题(每题5分，共25分)
1．将长方体截去一个四棱锥后，取得的几何体的直观图如以下图所示，那么该几何体的俯视图为
( )．
2．如图，某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为1的正方形，且体积为12
，那么该几何体的俯视图能够是
( )．
3．一空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )．
A ．2π＋2
3 B ．4π＋2
3 C ．2π＋
233 D ．4π＋23
3
4．点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2AB ＝6，那么该球的体积为( )．
A ．323π B．48π C．643π D．163π
5．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝
3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，那么棱锥SABC 的体积为( )．
A ．3 3
B ．2 3 D ．1
二、填空题(每题5分，共15分)
6．一个三棱锥的正(主)视图和侧(左)视图及其尺寸如下图，那么该三棱锥俯视图的面积为________．
7．已知某棱锥的三视图如以下图所示，那么该棱锥的体积为________．
8．在三棱锥ABCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，那么该三棱锥的外接球的表面积为________．
三、解答题(此题共3小题，共35分)
9．(11分)已知一四棱锥PABCD的三视图
如右，求四棱锥PABCD的体积．
10．(12分)半径为R的球有一个内接圆柱，那个圆柱的底面
半径为何值时，它的侧面积最大？最大值是多少？
11．(12分)如图，已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a.求：
(1)它的外接球的体积；
(2)它的内切球的表面积．
参考答案
1． C [如图，当俯视时，P 与B ，Q 与C ，R 与D 重合，应选C.]
2．C [因为体积为12，而高为1，因此底面为一个直角三角形．应选C.] 3．C [由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为2，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为V ＝π×12×2＋
13×(2)2×3＝2π＋233
，应选C.] 4．A [如下图，O1为三角形ABC 的外心，过O 做OE ⊥AD ，∴OO1⊥面ABC ，
∴AO1＝33AB ＝3，∵OD ＝OA ，
∴E 为DA 的中点，∵AD ⊥面ABC ，
∴AD ∥OO1，∴EO ＝AO1＝
3， ∴DO ＝DE2＋OE2＝2
3， ∴R ＝DO ＝23，
∴V ＝43
π(23)3＝323π.] 5．C [如图，由Rt △ASC ≌Rt △BSC ，得CB ＝CA ，SA ＝SB.
设AB 的中点为M ，那么SM ⊥AB ，CM ⊥AB ，故AB ⊥面SMC.
故VSABC ＝VASCM ＋VBSCM
＝13
AB·S△SCM. 在Rt △SAC 与Rt △SMA 中，
可求SA ＝23，
AC ＝2，SM ＝352.
由cos ∠ASC ＝cos ∠MSC·cos∠ASM ，
得32＝cos ∠MSC·35
223
，可得cos ∠MSC ＝255， 故sin ∠MSC ＝1－cos2∠MSC ＝55
， ∴VSABC ＝13AB·S△SCM ＝13
×3×12×4×352×55＝3，应选C.] 6．解析 该三棱锥俯视图为直角三角形，两直角边别离为1,2，其面积为12
×1×2＝1. 答案 1
7．解析 由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为直角梯形其面积为12
(2＋1)×2＝3，高为2，因此V ＝13
×3×2＝2. 答案 2
8．解析 该三棱锥在一个长方体内，设长方体的长、宽、高别离为a ，b ，c ，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝c ，a2＋b2＝25，
a2＋c2＝36，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a2＝c2＝18，b2＝7. 外接球的半径为12
a2＋b2＋c2＝1243， ∴S ＝4π×12
432＝43π. 答案 43 π
9．解 由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥PABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2，因此VPABCD ＝13S 四边形ABCD·PC＝23
.
10．解 取圆柱的一个轴截面ABCD ，那么⊙O 为球的一个大圆．设圆柱的半径为r ，高为h ，侧面积为S.
连接OB ，作OH ⊥AB 交AB 于H.
在Rt △OBH 中，有h 2
2＝R2－r2，即h ＝2R2－r2. 因此S ＝2πrh＝2πr·2R2－r2＝4πr·R2－r2，
因此S2＝16π2r2(R2－r2)＝－16π2(r2)2＋16π2R2r2.
因为这是一个关于r2的二次函数，
因此，当r2＝－16π2R22－16π2＝R22， 即r ＝22R 时，S 有最大值，
最大值为4π·2
2R× R2－22R2＝2πR2. 故当那个圆柱的底面半径为22
R 时，它的侧面积最大，最大值是2πR2. 11．解 (1)设外接球的半径为R ，球心为O ，那么OA ＝OC ＝OS ，因此O 为△SAC 的外心，即△SAC 的外接圆半径确实是球的半径． 因为AB ＝BC ＝a ，因此AC ＝
2a. 因此△SAC 为正三角形． 由正弦定理得，2R ＝AC sin ∠ASC ＝2a sin 60°＝263a ， 因此R ＝63a ，那么V 外接球＝43πR3＝8627
πa3. (2)设内切球的半径为r.
作SE ⊥底面于E ，作SF ⊥BC 于F ，连接EF.
那么有SF ＝SB2－BF2＝
2a 2－a 22＝72a ， 因此S △SBC ＝12BC·SF＝12a×72a ＝74
a2， 因此S 棱锥全＝4S △SBC ＋S 底＝(7＋1)a2.
又SE ＝SF2－EF2＝ 72a2－a 22＝62
a ， 因此V 棱锥＝13S 底×h＝13a2×62a ＝66
a3.
因此r ＝3V S ＝3×66a37＋1a2＝42－612a ，
因此S 球＝4πr2＝4－73πa2.。