高三数学二轮专题突破 专题七 第4讲转化与化归思想

第4讲转化与化归思想
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．
1．转化与化归的原则
(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来
解决．
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问
题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．
(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解． 2． 常见的转化与化归的方法
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．
(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的． (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．
(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径． (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定． (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．
(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则． 3． 转化与化归的指导思想
(1)把什么问题进行转化，即化归对象． (2)化归到何处去，即化归目标． (3)如何进行化归，即化归方法．
化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.
类型一 特殊与一般的转化
例1 (1)过抛物线y ＝ax 2 (a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ
的长分别是p 、q ，则1p ＋1
q
等于
( )
A ．2a
B.1
2a
C ．4a
D.4a
(2)已知函数f (x )＝a x a x ＋a (a >0且a ≠1)，则f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋f ⎝⎛⎭⎫99100的值为________． 答案 (1)C (2)99
2
解析 (1)由x 2＝1
a y (a >0)知抛物线开口向上，故过焦点F 作一在特殊位置的直线即平行
于x 轴的直线交抛物线于P 、Q ，则|PF |＝|FQ |＝12a ，即1p ＋1
q
＝4a . (2)由于直接求解较困难，可探求一般规律， ∵f (x )＋f (1－x )＝
a x
a x ＋a ＋a 1－x
a 1－x ＋a ＝a x
a x ＋a ＋a
a ＋a x
a ＝a x
a x ＋a ＋a
a ＋a x ＝a ＋a x
a x ＋a
＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋f ⎝⎛⎭
⎫99100 ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫99100＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫2100＋f ⎝⎛⎭⎫98100＋…＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫49100＋f ⎝⎛⎭⎫51100＋f ⎝⎛⎭⎫50100＝
1×49＋1
2＝992
. 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们
从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果．
(1)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差
数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C
＝________.
(2)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫
52＝________. 答案 (1)4
5
(2)0
解析 (1)根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算． 令a ＝3，b ＝4，c ＝5，则△ABC 为直角三角形， 且cos A ＝4
5
，cos C ＝0，
代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45＋01＋45
×0＝4
5
.
(2)因为xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )， 所以f (x ＋1)f (x )
＝1＋x x ，
使f (x )特殊化，可设f (x )＝xg (x )，
其中g (x )是周期为1的奇函数，再将g (x )特殊化， 可设g (x )＝sin 2πx ，则f (x )＝x sin 2πx ， 经验证f (x )＝x sin 2πx 满足题意，则f ⎝⎛⎭⎫
52＝0. 类型二 相等与不等的转化
例2 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．
可采用换元法，令t ＝3x ，将问题转化为关于t 的方程有正解进行解决．
答案 (－∞，－8]
解析 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程 t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a 得 a ＋4＝－⎝⎛⎭⎫t ＋4
t ， ∵t >0，∴－⎝⎛⎭
⎫t ＋4
t ≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．
等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们在一定的条件下可以相互转
化，例如本例，表面看来似乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组)来求解，则显得非常简捷有效．
定义运算：(a
b )
x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(a
b )x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(b a )
x <0的解集为
( )
A ．(1,2)
B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－2
3，1
D.⎝
⎛⎭⎫－∞，－2
3∪(1，＋∞) 答案 D
解析 1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，
1＋2＝－b a ，1×2＝2
a
，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－3，
∴(－31)
x ＝－3x 2＋x ＋2<0，得3x 2－x －2>0，
解得x <－2
3或x >1.
类型三 常量与变量的转化
例3 对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是
______________．
本题若按常规法视x 为主元来解，需要分类讨论，这样会很繁琐，若以p 为主
元，即可将原问题化归为在区间[0,4]上，一次函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0成立的x 的取值范围．这样，借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析 设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.
f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧
f (0)>0，
f (4)>0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
(x －3)(x －1)>0，
x 2－1>0，
解得x >3或x <－1.
在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是
“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．
设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－
1,1]恒成立，求x 的取值范围． 解 ∵f (x )在R 上是增函数， ∴由f (1－ax －x 2)≤f (2－a )
可得1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]． ∴a (x －1)＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.
则当且仅当g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0， 解之，得x ≥0或x ≤－1.
故实数x 的取值范围为x ≤－1或x ≥0.
类型四 正与反的相互转化
例4 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2
－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则
实数m 的取值范围是__________． 答案 －37
3
<m <－5
解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．
由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，∴m ＋4≥2
t －3t 恒成
立，则m ＋4≥－1， 即m ≥－5；
由②得m ＋4≤2
x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，
则m ＋4≤23－9，即m ≤－37
3
.
∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－37
3
<m <－5.
否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集
即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中．
若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值
c 使得f (c )>0，求实数p 的取值范围． 解 如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，
则⎩⎨⎧
f (－1)≤0，
f (1)≤0⇒⎩⎨⎧
p ≤－1
2
或p ≥1，
p ≤－3或p ≥32
⇒p ≤－3或p ≥3
2
，
取补集为－3<p <3
2
，即为满足条件的p 的取值范围．
在将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则 (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题．
(2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．
(3)直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化)．
(4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.
1． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，a 1＝29
，则a 10等于
( )
A.49
B.4
7
C.4
63
D.563
答案 C
解析 由a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，得
1S n －1S n －1＝－1，∴1S n ＝92＋(n －1)×(－1)， ∴S n ＝211－2n ，∴a 10＝S 10－S 9＝463.
2． 方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 取得最大值
( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．－2
答案 A
解析 由原式得m ＝x －1－x ，
设
1－x ＝t (t ≥0)，
则m ＝1－t 2－t ＝5
4－⎝⎛⎭
⎫t ＋122， ∴m ＝5
4－⎝⎛⎭⎫t ＋122在[0，＋∞)上是减函数， ∴t ＝0时，m 的最大值为1.
3． 过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R 、Q 两点，则
PR →·PQ →的值为
( )
A ．a 2
B ．b 2
C ．2ab
D ．a 2＋b 2
答案 A
解析 当直线RQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →
|＝a ，故选A.
4． 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9
a 2＋a 4＋a 10
的值是________．
答案
1316
解析 由题意知，只要满足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件，{a n }取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列a n ＝n (n ∈N *
)，则
a 1＋a 3＋a 9
a 2＋a 4＋a 10
＝
1＋3＋9
2＋4＋10＝1316
.
5． 已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1.若函数g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，则实数a
的取值范围是______________________________________________________． 答案 ⎣⎡⎭
⎫－4
3，7 解析 g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1，1)上有解，等价于a 的取值范围是函数y ＝3x 2＋4x 在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个函数的值域是⎣⎡⎭⎫－4
3，7. 故所求的a 的取值范围是⎣⎡⎭
⎫－4
3，7. 6． 已知奇函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，当0≤θ≤π
2
时，是
否存在这样的实数m ，使f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有的θ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由．
解 因为f (x )在R 上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数，故f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝0.
由题设条件可得，f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0. 又由f (x )为奇函数，可得 f (cos 2θ－3)>f (2m cos θ－4m )． ∵f (x )在R 上为增函数， ∴cos 2θ－3>2m cos θ－4m ，
即cos 2θ－m cos θ＋2m －2>0. 令cos θ＝t ，∵0≤θ≤π
2，∴0≤t ≤1.
于是问题转化为对一切0≤t ≤1， 不等式t 2－mt ＋2m －2>0恒成立．
∴t 2
－2>m (t －2)，即m >t 2－2t －2
恒成立．
又∵t 2－2t －2＝(t －2)＋2t －2＋4≤4－22，∴m >4－22，
∴存在实数m 满足题设的条件，且m >4－2 2.。