精品-2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题理(1)

2018-2019学年度上学期期末考试
高二数学（理科）试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟。

请在答题卷上作答。

第I卷选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12题，每题5分，满分60分，每小题只有一个正确答案）
1.命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题是( )
A．若x，y都是偶数，则x＋y不是偶数
B．若x，y都不是偶数，则x＋y不是偶数
C．若x，y都不是偶数，则x＋y是偶数
D．若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数
2.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y＞2 C．x2＋y2＞2 D．xy＞1
3.已知：p：|x－1|≥2，q：x∈Z，若p∧q，q同时为假命题，则满足条件的x的集合为( )
A．{x|x≤－1或x≥3，x∉Z}
B．{x|－1≤x≤3，x∉Z}
C．{x|x＜－1或x＞3，x∈Z}
D．{x|－1＜x＜3，x∈Z}
4.已知椭圆＋=＝1(a>b>0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，
且满足AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆的离心率e的取值范围为( )
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
5.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，
被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反
射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线C′：－＝
1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光
线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为( )
A．k(a＋m) B．2k(a＋m) C．k(a－m) D．2k(a－m)
6.已知P为抛物线y2＝4x上一动点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，则|PA|＋d
的最小值为( )
A．4 B． C．－1 D．－1
7.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉等于( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
8.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则等于( )
A．B．C．
D．
9.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱，两两夹角都为60°，
且AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M、N分别为BB1、B1C1的中点，则MN与AC所成角的余弦值为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10.已知曲线C 的方程为y ＝x ln x ，则C 上点x ＝1处的切线的倾斜角为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11.设函数f (x )＝cos(x ＋φ)(－π<φ<0)．若f (x )＋f ′(x )是偶函数，则φ等于( ) A ． B ．－ C ． D ．－
12.函数y ＝sin(2x 2
＋x )的导数是( )
A ．y ′＝cos(2x 2＋x )
B ．y ′＝2x sin(2x 2＋x )
C ．y ′＝(4x ＋1)cos(2x 2＋x )
D ．y ′＝4cos(2x 2＋
x )
二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 13.已知函数f (x )＝2sin 3x ＋9x ，则
________.
14.过点P (8,1)的直线与双曲线x 2
－4y 2
＝4相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线
AB 的方程为________________．
15.沿直线y ＝－2发出的光线经抛物线y 2＝ax 反射后，与x 轴相交于点A (2,0)，则抛物线的准线方程为________________．(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)
16.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，MN 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈，〉的值为________．
三、解答题(共6小题,共70分) 17.（12分）已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程；
(2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g (x )．
18. （10分）已知命题p：函数f(x)＝x2－2mx＋4在[2，＋∞)上单调递增，命题q：关于x 的不等式mx2＋4(m－2)x＋4＞0的解集为R.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．
19. （12分）如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
20. （12分）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．
21. （12分）如下图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
(3)是否存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．
22. （12分）已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－.若拋物线C：y2＝2px(p>0)上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若以拋物线上任意一点M为切点的直线l与直线l2交于点N，试问在x轴上是否存在定点Q，使Q点在以MN为直径的圆上，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
答案
1.D
2.B
3.D
4.C
5.D
6.D
7.D
8.C
9.B
10.B
11.B
12.C
13.6cos 3＋9
14.2x－y－15＝0
15.x＝－2
16.
17.解(1)y′＝＝3x2－3. 则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率
k1＝f′(1)＝0，
∴所求直线方程为y＝－2.
(2)设切点坐标为(x0，－3x0)，
则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3－3，
∴直线l的方程为y－(－3x0)＝(3－3)(x－x0)，
又直线l过点P(1，－2)，
∴－2－(－3x0)＝(3－3)(1－x0)，
∴－3x0＋2＝(3－3)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故所求直线斜率k＝3－3＝－，
于是y－(－2)＝－(x－1)，即y＝－x＋.
18.若命题p为真，因为函数的对称轴为x＝m，则m≤2.
若命题q为真，当m＝0时，原不等式为－8x＋4＞0，显然不成立．
当m≠0时，则有⇒1＜m＜4.
因为p∨q为真，p∧q为假，所以命题p，q一真一假．
故或
解得m≤1或2＜m＜4.
所以m的取值范围为(－∞，1]∪(2,4)．
19.(1)由∠F1AB＝90°及椭圆的对称性知b＝c，则e＝＝＝.
(2)由已知得a2－b2＝1，设B(x，y)，A(0，b)，则＝(1，－b)，＝(x－1，y)，由＝2，即(1，－b)＝2(x－1，y)，解得x＝，y＝－，则＋＝1，得a2＝3，因此b2＝2，椭圆的方程为＋＝1.
20. 【解析】 (1)依题意，b＝，＝2⇒a＝1，c＝2，∴双曲线的方程为x2－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)知F2(2,0)．易验证当直线l斜率不存在时不满足题意．
故可设直线l：y＝k(x－2)，由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，
当k≠±时，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，
△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝12|k|·＝6，
得k4＋8k2－9＝0，则k＝±1.
所以直线l方程为y＝x－2或y＝－x＋2.
21.以A为原点，，分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建
立空间直角坐标系Axyz，
设PA＝a，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a，0)，C，P(0,0，a)．
(1)＝(0,0，a)，＝，∴＝0，∴⊥，∴BC⊥AP，
又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴E为PC的中点，
∴D，E，
∴由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵＝，＝，∴cos∠DAE＝＝，
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为.
(3)∵DE∥BC，又由(1)知BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°，
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A－DE－P是直二面角．
22.(1)由定义知l2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标为F
由抛物线定义，知抛物线上点到直线l2的距离等于其到焦点F的距离．
所以抛物线上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1的距离．所以2＝，则p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)设M(x0，y0)，由题意知直线l斜率存在，设斜率为k，且k≠0，
所以直线l方程为y－y0＝k(x－x0)，
代入y2＝4x，消x得ky2－4y＋4y0－k＝0.由Δ＝16－4k(4y0－k)＝0，得k＝.
所以直线l方程为y－y0＝(x－x0)，
令x＝－1，又由＝4x0，得N.
设Q(x1,0)，则＝(x0－x1，y0)，＝，
由题意知·＝0，即(x0－x1)(－1－x1)＋＝0，
把＝4x0代入上式，得(1－x1)x0＋＋x1－2＝0.
因为对任意的x0，等式恒成立，所以
解得x1＝1，即在x轴上，存在定点Q(1,0)，在以MN为直径的圆上．。