建阳区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

建阳区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，,E F 是侧面对角线11,BC AD 上一点，若 1BED F 是菱形，则其在底面ABCD 上投影的四边形面积（ ）
A ．
12 B ．34 C. 2
D ．34-2． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（ ）
A ．10 13
B ．12.5 12
C ．12.5 13
D ．10 15
3． 过点（﹣1，3）且平行于直线x ﹣2y+3=0的直线方程为（ ）
A ．x ﹣2y+7=0
B ．2x+y ﹣1=0
C ．x ﹣2y ﹣5=0
D ．2x+y ﹣5=0
4． 设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β D ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β
5． 设函数f （x ）在x 0处可导，则等于（ ）
A ．f ′（x 0）
B ．f ′（﹣x 0）
C ．﹣f ′（x 0）
D ．﹣f （﹣x 0）
6． 已知实数x ，y 满足有不等式组，且z=2x+y 的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值是（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．
7． 下列命题中错误的是（ ） A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B ．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个
C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
8． 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 设为虚数单位，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ） A ．（4，1，1） B ．（﹣1，0，5）
C ．（4，﹣3，1）
D ．（﹣5，3，4）
11．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ） A ．21n a n n =-+ B ．(1)2n n n a -=
C ．(1)
2
n n n a += D ．21n a n =+ 12．设m ，n 是正整数，多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n 中含x 一次项的系数为﹣16，则含x 2
项的系数是（ ） A ．﹣13 B ．6 C ．79 D ．37
二、填空题
13．已知a=
（
cosx ﹣sinx ）dx ，则二项式（x 2﹣）6展开式中的常数项是 ．
14．集合A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}，则A ∩B= ．
15．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为 小时．
16．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1
sin 3
BAM ∠=
，则AC 的长为_________.
17．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()211{
5
2128
lnx x x
f x m x mx x +>=-++≤，，
，，
若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是________．
18．对于|q|＜1（q 为公比）的无穷等比数列{a n }
（即项数是无穷项），我们定义S n （其中S n 是数列{a n }
的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即
S=S n
=
，则循环小数
0.
的分数形式是 ．
三、解答题
19．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连
接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD 的长为多少时，三棱锥A ﹣BCD 的体积最大；
（2）当三棱锥A ﹣BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小。

20．如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． （Ⅰ）求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．
21．已知f（x）=（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N*）的展开式中x的系数为11．
（1）求x2的系数取最小值时n的值．
（2）当x2的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．
22．（本题满分12分）有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”.其游戏规则是这样的：你可以在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数在3次掷骰子过程中出现1次，2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的1倍，2倍，3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收. （1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；
（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议.
23．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2
（1）求a，b的值；
（2）设函数g（x）=f（x）﹣2x+2，求g（x）在其定义域上的最值．
24．已知一个几何体的三视图如图所示．
（Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．
建阳区第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，11BC AD ==AF x =x
解得4
x =
，即菱形1BED F 44=
，则1BED F 在底面ABCD 上的投影四边形是底边为34，高为的平行四边形，其面积为3
4
，故选B. 考点：平面图形的投影及其作法.
2． 【答案】C
【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标， ∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y 轴的直线横坐标 第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可 ∴中位数是13 故选：C ．
【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距
×
，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
3． 【答案】A 【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x ﹣2y+c=0
∵过点（﹣1，3） 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7
∴x ﹣2y+7=0 故选A ．
【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x ﹣2y+c=0．
4． 【答案】B
【解析】解：对于A ，若m ∥α，n ∥β且α∥β，说明m 、n 是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A 错；
对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m 与n相交，
且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，
故命题B正确．
对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C 不正确；
对于D，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．
故选B．
【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目．
5．【答案】C
【解析】解：=﹣=﹣f′（x0），故选C．
6．【答案】B
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，得A（a，a），
联立，得B（1，1），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知z max=2×1+1=3，z min=2a+a=3a，
由6a=3，得a=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
7．【答案】B
【解析】解：对于A，设圆柱的底面半径为r，高为h，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a，则截面面积S=ah≤2rh．
∴当a=2r时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A正确．
对于B，设圆锥SO的底面半径为r，高为h，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a，则O到AB的距离为
，
∴截面三角形SAB的高为，∴截面面积
S==≤=．
故截面的最大面积为．故B错误．
对于C，由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C正确．
对于D，由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转体的结构特征，属于中档题．
8．【答案】A
【解析】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，
则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=，
∵a2=b2+c2，∴c=，
∴椭圆的离心率为：e==．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．
9．【答案】C
【解析】【知识点】复数乘除和乘方
【试题解析】
故答案为：C 10．【答案】C
【解析】解：设C （x ，y ，z ），
∵点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C ，
∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，
∴C （4，﹣3，1）． 故选：C ．
11．【答案】C 【解析】
试题分析：可采用排除法，令1n =和2n =，验证选项，只有(1)
2
n n n a +=，使得121,3a a ==，故选C ． 考点：数列的通项公式． 12．【答案】 D
【解析】
二项式系数的性质． 【专题】二项式定理．
【分析】由含x 一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m 、n 为正整
数，可得m=3、n=2，从而求得含x 2
项的系数．
【解答】解：由于多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n
中含x 一次项的系数为（﹣2）+
（﹣5）=﹣16，
可得2m+5n=16 ①．
再根据m 、n 为正整数，可得m=3、n=2，
故含x 2
项的系数是
（﹣2）2
+
（﹣5）2
=37，
故选：D ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】 240 ．
【解析】解：a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）=﹣1﹣1=﹣2，
则二项式（x2﹣）6=（x2+）6展开始的通项公式为T r+1=•2r•x12﹣3r，
令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是•24=240，
故答案为：240．
【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．【答案】{x|﹣1＜x＜1}．
【解析】解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜1}，
∴A∩B={x|﹣1＜x＜1}，
故答案为：{x|﹣1＜x＜1}
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
15．【答案】0.9
【解析】解：由题意，=0.9，
故答案为：0.9
16．
【解析】
考点：1、正弦定理及勾股定理；2诱导公式及直角三角形的性质.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质，属于难题，高考三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小，有时也要考虑特殊三角形的特殊性质（如正三角形，直角三角形等）.
17．【答案】
7 1
4⎛⎤ ⎥⎝⎦，
【解析】
18．【答案】．
【解析】解：0.=++…+==，
故答案为：．
【点评】本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，比较基础．
三、解答题
19．【答案】（1）1
（2）60°
【解析】（1）设BD=x，则CD=3﹣x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴V A﹣BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x）
设f（x）=（x3﹣6x2+9x） x∈（0，3），
∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数
∴当x=1时，函数f（x）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；
（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，
20．【答案】
【解析】解：（I）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．
又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，
∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=，
于是在Rt△BEM中，
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为．
（Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，
事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，
因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，
因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E 共面，所以BG⊂平面A1BE
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且
FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力．
21．【答案】
【解析】
【专题】计算题．
【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展开式的通项公式求出x2的系数，
将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最小值
（2）通过对x分别赋值1，﹣1，两式子相加求出展开式中x的奇次幂项的系数之和．
【解答】解：（1）由已知C m1+2C n1=11，∴m+2n=11，
x2的系数为C m2+22C n2=+2n（n﹣1）=+（11﹣m）（﹣1）=（m﹣）2+．∵m∈N*，∴m=5时，x2的系数取得最小值22，
此时n=3．
（2）由（1）知，当x2的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f（x）=（1+x）5+（1+2x）3．
设这时f（x）的展开式为
f（x）=a0+a1x+a2x2++a5x5，
令x=1，a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33，
令x=﹣1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1，
两式相减得2（a1+a3+a5）=60，
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30．
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和问题．
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了独立重复试验中概率的求法，对立事件的基本性质；对化归能力及对实际问题的抽象能力要求较高，属于中档难度.
23．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=x+ax2+blnx的导数f′（x）=1+2a+（x＞0），
由题意可得f（1）=1+a=0，f′（1）=1+2a+b=2，
得；
（2）证明：f（x）=x﹣x2+3lnx，g（x）=f（x）﹣2x+2=3lnx﹣x2﹣x+2（x＞0），g′（x）=﹣2x﹣1=﹣，
可得g（x）max=g（1）=﹣1﹣1+2=0，无最小值．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，
其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧=×2π×2×2=4π；
S圆柱侧=2π×2×4=16π；
S圆柱底=π×22=4π．
∴几何体的表面积S=20π+4π；
（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：
则AB===2，
∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．。