高考数学密破仿真预测卷15 理

"2013高考数学密破仿真预测卷15 理 "
考试时间：120分钟满分：150分
注意事项：
1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答
题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位
2．答第1卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号黑。

如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0 5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写．．．．．．
，要求字体工整、笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0 5毫米的黑色墨水
签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试．．．．．．．．．．．．．．．．题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
3.已知等差数列{}n a 满足32=a ，)3( 513>=--n S S n n ，100=n S ，则n 的值为 A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【答案】C
【解析】因为解：∵等差数列{a n }满足a 2=3，a n-1=17，（n≥2），S n =100，∵100=(317)n
2
+，∴n=10故选C ．
4.下列说法不正确的是
A ．“2
000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”
B ．命题“若x>0且y>0，则x +y>0”的否命题是假命题
C ．212,0,a R x x a x x ∃∈++=使方程2的两根满足x 1<1<x 2”和“函数
2()log (1)f x ax =-在[1，2]上单调递增”同时为真
D ．△ABC 中A 是最大角，则22sin sin B C +<sin 2
A 是△ABC 为钝角三角形的充要条件
５．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤≥021
y x y x 则z=2x-y 的取值范围( )
A ．[l,2]
B ．[1,3]
C ．[0,2]
D ．[0,1] 【答案】C 【解析】
根据约束条件画出可行域
由图得当z=2x-y 过点A （1，2）时，Z 最小为0． 当z=2x-y 过点B （2，2）时，Z 最大为2． 故所求z=2x-y 的取值范围是[0，2] 故选C ．
6．已知某个几何体的三视图如右侧，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体 的体积是（ ）
A ．
3
25cm B ． 3
23cm
C ．3
3cm
D ．32cm
【答案】B
【解析】如图该几何体可以看作一个正方体与一个直三棱柱组合而成.
13
11.22
V =+⨯=
7.执行如图所示的程序框图，若输入x ＝10，则输出( )
A.-
5
4
. B.-1 C.1 D.0
8．若2
(n
x
-
的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是（ ）
A ．10－
B ．10
C ．－45
D ．45
【答案】D
【解析】因为展开式的通项公式为5222
2
1()
(1)(1)r r n r n r
r
r r
r n
n
T C x x
C x
-
-
-+=-=-,
所以52
20211043,10,(1)14
r r r
n r n C n T C x C -+=∴=∴=-,令5200,8.2r r -=∴=
所以常数项为8
91045T C ==.
9．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA uu r ·PB uur
的最小
值为（ ）
A ．－4
B ．－3
C ．－4＋
D ．－3＋
10．已知F 是椭圆122
22=+b
y a x (a>b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF ⊥x 轴, OP ∥AB(O
为原点),
则该椭圆的离心率是 ( )
A ．
22 B ．42 C ．21 D ．2
3
【答案】A
【解析】解：把x=c 代入椭圆方程求得y=±2b a ∴|PF|=2
b a
∵OP∥AB， PF∥OB∴△PFO∽△ABO ∴
|PF ||OB ||OF ||OA |=
求得b=c∴a=2
2
故选A
11、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友l 本，则不同的赠送方法共有（ ） A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种
12． 数列{}n a 满足112,02
121,12
n n n n
n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若135a =，则数列的第2012项为（ ）
A ．
1
5
B ．
2
5
C ．
35
D ．
45
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分。

13. 正方体不在同一平面上的两顶点(1,2,1),(3,2,3)A B ---，则正方体的体积是_____ 【答案】64
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点坐标为M （-1，2，-1），N （3，-2，3），
∴MN 是正方体的题对角线，MN 2
= 16+16+16 =4∴正方体的棱长为4，正方体的内切球的半径为2
∴正方体的的体积是64
14.设,x y ∈R,向量(,1)x =a ,(1,)y =b ，(2,4)=-c 且⊥a c ，//b c ,则_______+=a b .
15． 设函数⎩
⎨⎧≤<-≤≤=)32(1)21(1
)(x x x x f ，]3,1[,)()(∈-=x ax x f x g ，其中)1,0(∈a ，记
函数)(x g 的最大值与最小值的差为)(a h ，则)(a h 的最小值是_____________．
16.
函数()f x =.给出函数()f x 下列性质：⑴函数的定义域和值域均为[]1,1-；⑵
函数的图像关于原点成中心对称；⑶函数在定义域上单调递增；⑷
()0A
f x dx =⎰
（其中A 为
函数的定义域）；⑸A 、B 为函数()f x
2AB ≤.请写出所有关于函数()f x 性质正确描述的序号 . 【答案】⑵⑷。

【解析】由240
220
x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得1<0x -≤或0<1x ≤。

此时1<0()0<1
x f x x ⎧-≤⎪==⎨
≤⎪⎩，
2≤），
（I
）求函数()f x 的值域；
（II ）若函数()y f x =的图象与直线1y =-
的两个相邻交点间的距离为求函数()y f x =的单调增区间．
（II ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，()y f x =的周期为π，又由0ω>，得
，即得2ω=． 9分
解得
所以()y f x =的单调增区间为18、（12分）有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体无盖容器（切、
焊损耗忽略不计）。

有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个全等的小正
方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长。

（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的最大容积1V ；
（2）请你判断上述方案是否是最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最少，且所得长方体容器的容积21V
V >。

19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱
PA PD ==PA PD ⊥,底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD , AB ⊥AD ,
1AB BC ==,O 为AD 中点.
O D
C
B
A
P
(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值; (2)求B 点到平面PCD 的距离
(3)线段PD 上是否存在点Q ,使得二面角Q AC D --
若存在,求出PQ QD 的
值;若不存在,请说明理由
.
（2）()1,1,1--=PB ，设平面PDC 的法向量为()z y x u ,,=，
则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=+-=⋅0
z y y x ，取1=z 得()1,1,1= B 点到平面PCD
的距离3
3
=
=
d ……………….8分 （3）假设存在，则设PQ PD λ=()01λ<<，
因为()0,1,1PD =-，()0,,OQ OP PQ λλ∴-==-，()0,,1OQ λλ∴=- 所以()0,,1Q λλ-，
设平面CAQ 的法向量为(),,m x y z =，则()0
(1)10
m AC x y m AQ y z λλ⎧=+=⎪⎨=++-=⎪⎩
取1z λ=+，得()1,1,1m λλλ=--+ 平面CAD 的有一个法向量为()0,0,1n =
因为二面角Q OC D --
6
cos ,m n m n m n
==
得到2
31030λλ-+=得1
3
λ=
或3λ=(舍) 所以存在，且
1
2
PQ QD = ………………… 13分 20．（本小题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n =n 2a n （n ∈N *
）.
（
1）试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； （2）用数学纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式.
又∵a k+1=
)
1)(2(2++k k ，∴a n =)1(2
+n n . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄16分
21 （本题满分12分）
设函数f(x)=x 3
-3ax+b(a ≠0).
(1)若曲线y=f(x)在点(2，f(2))处与直线y=8
相切，求a,b 的值； (2)求函数f(x)的单调性与极值点.
【答案】解： (1)f ′(x)=3x 2
-3a,
因为曲线y=f(x)在点(2，f(2))处与直线y=8 所以⎩⎨
⎧==',8)2(,0)
2(f f 即⎩⎨⎧=+-=-.
868,
0)4(3b a a
解得a=4,b=24.…………………………6分
22.(本小题满分14分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为)1,0(-B ，且其右焦点到直线022=+-y x 的距离为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在斜率为)0(≠k k ，且过定点)2
3
,0(Q 的直线l ，使l 与椭圆交于两个不同的点M 、N ，且BN BM =？若存在，求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)y x a b a b +=>>,由已知得1b =.
设右焦点为(,0)c ，由题意得
3,c =∴= ……………………………2分
2223a b c ∴=+=.
∴椭圆的方程为2213x y +=. ……………………4分。