2020年高中数学人教A版必修四课时训练：1.3 三角函数的诱导公式 1.3(二) Word版含答案

§1.3 三角函数的诱导公式(二)
课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．
1．诱导公式五～六
(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________；cos ⎝⎛⎭
⎫π
2－α＝________. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．
(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________；cos ⎝⎛⎭
⎫π
2＋α＝________. 2．诱导公式五～六的记忆 π2－α，π
2
＋α的三角函数值，等于α的____________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
一、选择题
1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )
A ．－12 B.12 C ．－32 D.32
2．若sin(3π＋α)＝－1
2
，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－32
3．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭
⎫π
4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C.－223 D.22
3
4．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭
⎫3
2π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m 2
5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π
2，则tan φ等于( ) A ．－33 B.3
3
C ．－ 3 D. 3
6．已知cos(75°＋α)＝1
3
，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )
A.13
B.23 C ．－13 D ．－23
二、填空题
7．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝1
3，则cos ⎝⎛⎭
⎫α＋7π12＝________. 8．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是______． 9．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.
10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭
⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)
＝________.
三、解答题
11．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)
sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭
⎫α＋3π2＝－tan α.
12．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2
，求sin α与cos α的值．
能力提升
13．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭
⎫4k ＋1
4π－α (k ∈Z )．
14．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π
2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧
sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)
同时成立．
若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π
2
±α(k ∈Z )”的诱导公式．当
k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式统一成“k ·π
2
±α(k ∈Z )”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
§1.3 三角函数的诱导公式(二)
答案
知识梳理
1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α 2．异名 符号 作业设计
1．A [f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－1
2
.]
2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝1
2
.
∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－12
.] 3．A [cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13
.] 4．C [∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫
π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，
∴sin α＝m 2.cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .] 5．C [由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32
， 又∵|φ|<π2，∴φ＝－π
3
，∴tan φ＝－ 3.]
6．D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin [(75°＋α)－90°]＋cos [180°－(75°＋α)] ＝－sin [90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－2
3
.]
7．－13
解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－1
3
. 8．1
解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A )＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 9.892
解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋1
2
＝892. 10．2
解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝2
2－1
＝2.
11．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)
sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦
⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α
＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α
＝sin 2α
－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α
＝sin 2α－cos α·sin α
＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
12．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π
2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭
⎫2π＋π
2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120
169
. ①
又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝289
169，
②－①得(sin α－cos α)2＝49
169
，
又∵α∈⎝⎛⎭⎫
π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝17
13， ③
sin α－cos α＝7
13， ④
③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝5
13
.
13．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦
⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则
原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦
⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π
4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π
4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭
⎫π
4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则
原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦
⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α
＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π
4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝
⎛⎭⎫π
4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭
⎫π
4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.
14．解 由条件，得⎩⎨⎧
sin α＝2sin β， ①
3cos α＝2cos β. ②
①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋sin 2α＝1，④
由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±2
2，
因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝3
2，又β∈(0，π)，
所以β＝π
6，代入①可知符合．
当α＝－π4时，代入②得cos β＝3
2，又β∈(0，π)，
所以β＝π
6
，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝π4，β＝π
6
满足条件．
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