高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.2 椭圆的简单几何性质讲义(含解析)湘教版选

2．1.2 椭圆的简单几何性质
第一课时 椭圆的简单几何性质
[读教材·填要点]
1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程 x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0) X 围 －a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b
－b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a
顶点
A 1(－a,0)，A 2(a,0)，
B 1(0，－b )，B 2(0，b )
A 1(0，－a )，A 2(0，a )，
B 1(－
b,0)，B 2(b,0)
轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a
焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )
焦距 |F 1F 2|＝2c
对称性 对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0)
离心率
e ＝c
a
(0＜e ＜1) (1)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁； (2)当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越圆．
[小问题·大思维]
1．椭圆x 225＋y 2
9＝1的长轴长、短轴长、离心率各为何值？焦点坐标和顶点坐标各是什么？
提示：根据椭圆的标准方程
x 2
25
＋y 2
9
＝1， 得a ＝5，b ＝3，则c ＝25－9＝4. 因此，长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝6.
离心率e ＝c a ＝4
5
＝0.8.
焦点为F 1(－4,0)和F 2(4,0)，
顶点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3)． 2．如何用a ，b 表示离心率？
提示：由e ＝c a 得e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a
2，
∴e ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a
2. ∴e ＝
1－b 2a
2. 3．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远． 4．借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？ 提示：点(a,0)，(－a,0)与焦点F 1(－c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离，分别为a ＋c 和a －c .
由椭圆方程研究简单几何性质
求椭圆x 2
＋9y 2
＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
[自主解答] 把已知方程化成标准方程为x 281＋y 2
9＝1，于是a ＝9，b ＝3，c ＝81－9＝
62，
所以椭圆的长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，离心率e ＝c a ＝22
3
.
两个焦点的坐标分别为F 1(－62，0)，F 2(62，0)，四个顶点的坐标分别为A 1(－9,0)，
A 2(9,0)，
B 1(0，－3)，B 2(0,3)．
已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准a 与b ，才能正确地写出其相关性质．在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴．
1．已知椭圆C 1：x 2100＋y 2
64
＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆
C 2的焦点在y 轴上．
(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．
解：(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 2
64＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，
(－6,0)，离心率e ＝3
5
；
(2)椭圆C 2：y 2100＋x 2
64
＝1，
性质：①X 围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e ＝3
5.
由椭圆的简单几何性质求方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点(3,0)，离心率e ＝
63
； (2)焦距为6，在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直． [自主解答] (1)当椭圆的焦点在x 轴上时， 因为a ＝3，e ＝
63
， 所以c ＝ 6.从而b 2
＝a 2
－c 2
＝3， 所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2
3＝1；
当椭圆的焦点在y 轴上时，因为b ＝3，e ＝
63
，
所以a 2－b 2a ＝63
.所以a 2
＝27.
所以椭圆的标准方程为y 227＋x 2
9
＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 2
9
＝1.
(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
由已知，得c ＝3，b ＝3，∴a 2
＝b 2
＋c 2
＝18. 故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 2
9
＝1.
(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a 2
，b 2的值；③写出标准方程．
2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A (2,0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，
设方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
∵椭圆过点A (2,0), ∴4
a
2＝1，a ＝2.
∵2a ＝2·2b ，∴b ＝1.∴方程为x 2
4＋y 2
＝1.
若椭圆的焦点在y 轴上．
设椭圆方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)，
∵椭圆过点A (2,0)，∴02
a 2＋4
b
2＝1.
∴b ＝2,2a ＝2·2b . ∴a ＝4.
∴方程为y 216＋x 2
4
＝1.
综上所述，椭圆方程为x 2
4＋y 2
＝1或y 216＋x 2
4
＝1.
(2)由已知⎩⎨
⎧
a ＝2c ，
a －c ＝3，
∴⎩⎨
⎧
a ＝23，c ＝ 3.
从而b 2
＝9，
∴所求椭圆的标准方程为x 2
12＋y 29＝1或x 2
9＋y 2
12＝1.
求椭圆的离心率
设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2
⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )
A.3
6
B.13
C.12
D.33
[自主解答] 法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故
离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝3
3
.
法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2
a ，所以
|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a
，变形可得3(a 2－c 2
)＝
2ac ，等式两边同除以a 2
，得3(1－e 2
)＝2e ，解得e ＝
3
3
或e ＝－3(舍去)． [答案] D
若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求
C 的离心率的取值X 围．
解：由题意，知c >b ，∴c 2
>b 2
.
又b 2
＝a 2
－c 2
，∴c 2
>a 2
－c 2
，即2c 2
>a 2
.∴e 2
＝c 2a 2>1
2
，
∴e >
22.故C 的离心率的取值X 围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，1.
椭圆的离心率的求法
求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地： (1)若已知a ，c ，则直接代入e ＝c
a
求解；
(2)若已知a ，b ，则由e ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2求解；
(3)若已知a ，b ，c 的关系，则可转化为a ，c 的齐次式，再转化为含e 的方程求解即可．
3．已知椭圆的两个焦点F 1，F 2与短轴的端点B 构成等腰直角三角形，求椭圆的离心率． 解：如图，|F 1F 2|＝2c ，
∵|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，且△BF 1F 2为等腰直角三角形． ∴|BF 1|＝|BF 2|＝a ＝2c . ∴离心率e ＝c
a ＝
22
.
解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路
椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆的
离心率的取值X 围．
[巧思] 由∠APO ＝90°可知：点P (x ，y )在以OA 为直径的圆上，且P 点又在椭圆上． 然后由圆的方程和椭圆的方程组成方程组．求出P 点的横坐标．利用0<x <a 建立关于a ，
b ，
c 的不等关系．
[妙解] 设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知：P 点在以OA 为直径的圆上． 圆的方程是：⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －a 22＋y 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 22
⇒y 2
＝ax －x 2
.①
又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2
b
2＝1.②
把①代入②得：
x 2a 2＋ax －x 2b
2
＝1⇒(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2
＝0， 故(x －a )[(a 2
－b 2
)x －ab 2
]＝0，
x ≠a ，x ≠0⇒x ＝ab 2
a 2－
b 2.又0<x <a ，
∴0<ab 2a 2－b 2<a ⇒2b 2<a 2⇒a 2<2c 2
⇒e >
22
. 又∵0<e <1，
故所求的椭圆离心率的取值X 围是⎝
⎛⎭
⎪⎫
22，1.
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A ．(±13,0)
B ．(0，±10)
C ．(0，±13)
D ．(0，±69)
解析：由题意知，其焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10， 则c ＝ a 2
－b 2
＝69. 答案：D
2．椭圆x 216＋y 2
8＝1的离心率为( )
A.13
B.12
C.33
D.22
解析：由x 216＋y 2
8＝1可得a 2＝16，b 2
＝8，
∴c 2
＝a 2
－b 2
＝8.
∴e 2
＝c 2a 2＝12.∴e ＝22
.
答案：D
3．椭圆x 2
＋my 2
＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的二倍，则m 等于( )
A.12 B ．2 C ．4
D.14
解析：由条件可知1
m ＝2，解得m ＝1
4
. 答案：D
4．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离
心率e ＝________.
解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中， 令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1.
∴a ＝b 2＋c 2
＝ 5.∴e ＝c a ＝255
.
答案：25
5
5．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为3
2
，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．
解析：e ＝
3
2
，2a ＝12，a ＝6，b ＝3， ∴椭圆方程为x 236＋y 2
9＝1.
答案：x 236＋y 2
9
＝1
6．已知椭圆x 22m ＋1＋y 2m ＝1(m ＞0)的离心率e ＝3
2
，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、
焦点坐标、顶点坐标．
解：椭圆方程为x 22m ＋1＋y 2
m
＝1，
∴a 2
＝2m ＋1，b 2
＝m . ∴c ＝a 2
－b 2
＝m ＋1.
由e ＝
3
2，得 m ＋12m ＋1＝32，解得m ＝1
2， ∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2
1
2＝1. ∴a ＝2，b ＝
22，c ＝62
. ∴椭圆的长轴长为22，短轴长为2， 两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛
⎭⎪⎫－
62，0，F 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫62，0， 顶点坐标分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，－
22，B 2⎝
⎛
⎭⎪⎫0，22.
一、选择题
1．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 2
8＝1，则( )
A ．C 1与C 2顶点相同
B ．
C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同
D ．C 1与C 2焦距相等
解析：由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.
答案：D
2．椭圆x 225＋y 2
9＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )
A ．8,2
B ．5,4
C ．5,1
D ．9,1
解析：因为a ＝5，c ＝4，所以最大距离为a ＋c ＝9，最小距离为a －c ＝1. 答案：D
3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是
6
3
，则椭圆C 的方程为( )
A.x 2
3＋y 2
＝1 B ．x 2
＋y 2
3＝1
C.x 23＋y 22＝1
D.x 22＋y 2
3
＝1 解析：∵c a
＝
6
3
，且c ＝2， ∴a ＝3，b ＝a 2
－c 2
＝1. ∴椭圆方程为x 2
3＋y 2
＝1.
答案：A
4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以
线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )
A.63
B.33
C.
23
D.13
解析：以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2
＋y 2
＝a 2
，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝
2ab
b 2＋a 2
＝a ，得a 2
＝3b 2
，所以C 的离心率e ＝
1－b 2a 2＝6
3
. 答案：A 二、填空题
5．过椭圆x 24＋y 2
3
＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．
解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 2
3＝1，得124＋y 2
3＝1，解得y 2
＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×
32＝3.
答案：4,3
6．若椭圆b 2x 2
＋a 2y 2
＝a 2b 2
(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若∠ABF ＝90°，则椭圆的离心离为________．
解析：由已知|AB |2
＋|BF |2
＝|AF |2
， ∴(a 2
＋b 2
)＋a 2
＝(a ＋c )2
. ∴a 2
＋b 2
＝2ac ＋c 2
.
又b 2＝a 2－c 2
，
∴c 2
＋ac －a 2
＝0，即e 2
＋e －1＝0. ∴e ＝
5－1
2. 答案：
5－1
2
7．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为F (3,0)，若以其四个顶点为顶点的四边形的面积是40，则该椭圆的方程是________．
解析：以椭圆顶点为顶点的四边形是对角线长分别为2a 和2b 的菱形，因此其面积为S ＝1
2
·2a ·2b ＝2ab ＝40， ∴ab ＝20.又c ＝3，且a 2
－b 2
＝c 2
. ∴a 2－400a
2＝9，a 4－9a 2
－400＝0.
∴a 2＝25或a 2
＝－16(舍去)． ∴a ＝5，b ＝4，所求方程为
x 225＋y 2
16
＝1. 答案：x 225＋y 2
16
＝1
8．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则
OP ―→·FP ―→
的最大值为________．
解析：由椭圆x 24＋y 2
3＝1，可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP ―→·FP
―→
＝x 2
＋x ＋y 2
＝x 2
＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2
4＝14
x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2
＋2，当且仅当x ＝2时，OP ―→·FP ―→取
得最大值6.
答案：6 三、解答题
9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝6
3
，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原
点的距离为
3
2
，求椭圆的标准方程．
解：e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝63，∴a 2－b 2a 2＝2
3
.
∴a 2
＝3b 2
，即a ＝3b .
过A (0，－b )，B (a,0)的直线为x a －y b
＝1， 把a ＝3b 代入，即x －3y －3b ＝0. 又由点到直线的距离公式得
|－3b |1＋－3
2
＝3
2
，解得b ＝1，∴a ＝ 3. ∴所求方程为x 2
3
＋y 2
＝1.
10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．
解：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，则
F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A (0，b )，B (a,0)．
直线PF 1的方程为x ＝－c ，
代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . ∵PF 2∥AB ，且k PF 2＝b 2
a －c －c ＝－b
2
2ac ，
又k AB ＝－b a ，∴由k PF 2＝k AB ，得－b 22ac ＝－b
a
.
∴b ＝2c .∴a ＝b 2
＋c 2
＝5c . ∴e ＝c a ＝55，即椭圆离心率为55
.
第二课时 直线与椭圆的位置关系
[读教材·填要点]
1．点与椭圆的位置关系
点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的位置关系：
点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20
b 2＝1；
点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20
b 2<1；
点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20
b
2>1.
2．直线与椭圆的位置关系
直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y
2b
2＝1，消
去y 得一个一元二次方程.
[小问题·大思维]
1．若点A (a,1)在椭圆x 24＋y 2
2＝1的内部，则a 的取值X 围是什么？
提示：∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 2
2＝1的内部，
∴a 24＋1
2<1，解得－2<a <2， 即a 的取值X 围为(－2，2)．
2．直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？ 提示：不能．因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等．
3．直线(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x ＋3；(3)y ＝x ＋2分别与椭圆x 2
2＋y 2
＝1各有什么样的位
置关系？
提示：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋1，x 2
2
＋y 2
＝1得3x 2
＋4x ＝0.
∵Δ＝16＞0， ∴直线与椭圆相交．
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋3，
x 22
＋y 2
＝1得3x 2
＋43x ＋4＝0.
∵Δ＝(43)2
－4×3×4＝0， ∴直线与椭圆相切．
(3)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋2，x 2
2
＋y 2
＝1得3x 2
＋8x ＋6＝0.
∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0， ∴直线与椭圆相离．
直线与椭圆位置关系
对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2
4
＋y 2
＝1的位置关系．
[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋m ，x 2
4
＋y 2
＝1，
消去y ，得x 2
4＋(x ＋m )2
＝1，
整理得5x 2
＋8mx ＋4m 2
－4＝0.
Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．
当－5<m <5时，Δ>0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切；
当m <－5或m >5时，Δ<0，直线与椭圆相离．
判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y 或x ，得到关于x 或y 的一元二次方程，
记该方程的判别式为Δ，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.
1．k 为何值时，直线y ＝kx ＋2和曲线2x 2
＋3y 2
＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
解：由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋2，2x 2＋3y 2
＝6，消去y ，得2x 2＋3(kx ＋2)2
＝6，
即(2＋3k 2
)x 2
＋12kx ＋6＝0.
Δ＝144k 2－24(2＋3k 2)＝72k 2－48.
当Δ＝72k 2
－48>0，即k <－63或k >6
3
时， 直线和曲线有两个公共点． 当Δ＝72k 2－48＝0，即k ＝63或k ＝－6
3
时， 直线和曲线有一个公共点． 当Δ＝72k 2－48<0时，即－63<k <6
3
时， 直线和曲线没有公共点．
弦长问题
已知斜率为1的直线l 过椭圆x 2
4
＋y 2
＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦
AB 的长．
[自主解答] ∵a 2
＝4，b 2
＝1，
∴c ＝a 2
－b 2
＝ 3.∴右焦点F (3，0)． ∴直线l 方程为y ＝x － 3.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x －3，x 24
＋y 2
＝1，消去y 并整理得5x 2
－83x ＋8＝0.
设直线l 与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，
∴|AB |＝x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
＝x 1－x 22
＋
x 1－3－x 2＋32
＝2
x 1－x 2
2
＝2[x 1＋x 22
－4x 1x 2]
＝
2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫8352
－4×85＝85. 即弦AB 的长为8
5
.
当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．
(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法.
(2)求弦长的公式：设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝kx ＋b ，设端点A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)．
∴|AB |＝x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
，
＝
x 1－x 2
2
＋kx 1－kx 2
2
＝ 1＋k 2
·x 1－x 2
2
＝1＋k 2
·x 1＋x 22
－4x 1x 2.
其中，x 1＋x 2，x 1x 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 后得到关于x 的一元二次方程求得．
2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x 轴上，又椭圆截直线y ＝x ＋2所得线段AB 的长为162
5
.求椭圆方程．
解：∵a ＝2b ，且焦点在x 轴上，
∴设椭圆方程为x 24b 2＋y 2
b 2＝1.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋2，x 2
4b 2＋y 2
b
2＝1，得5x 2＋16x ＋16－4b 2
＝0，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝162－2016－4b 2＝165b 2－4>0，
x 1
＋x 2
＝－165，
x 1x 2
＝16－4b 2
5
.
∴|AB |＝x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
＝1＋k 2
·|x 1－x 2| ＝2· x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝
425·5b 2
－4＝1625
. ∴5b 2
－4＝16. ∴b 2
＝4，即b ＝2. ∴a ＝2b ＝4.
∴椭圆的标准方程为x 216＋y 2
4
＝1.
中点弦问题
已知椭圆x 2
2＋y 2
＝1，求过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12且被P 平分的弦所在直线的方程．
[自主解答] 法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y －1
2
＝
k ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －12
，
即y ＝kx ＋12－1
2
k .
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
2＋y 2＝1，y ＝kx ＋12－1
2
k ，
得(2＋4k 2
)x 2
＋4k (1－k )x ＋(1－k )2
－4＝0， 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝－4k 1－k
2＋4k
2
＝1， 解得k ＝－1
2
.
∴直线方程为2x ＋4y －3＝0.
法二：设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由题意知，所求直线的斜率存在，设为k ， 则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 21
2＋y 2
1
＝1，x 22
2＋y 22
＝1，
得y 21－y 2
2＝－12
(x 21－x 22)，
∴
y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－1
2
， 即k ＝－12
，
∴直线方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －12，
即2x ＋4y －3＝0.
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后
作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝
1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 21a 2＋y 21
b
2＝1， ①x 2
2a 2
＋y 22b 2
＝1， ②
由①－②，得1
a 2(x 2
1
－x 22
)＋1
b 2(y 21
－y 22
)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0
y 0
，即k AB
＝－b 2x 0
a 2y 0
.
3．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为3
5
.
(1)求C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5的直线被C 所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16
b
2＝1，
∴b ＝4.
又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925
，
即1－16a 2＝9
25，∴a ＝5.
∴C 的方程为x 225＋y 2
16
＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4
5(x －3)，
设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝4
5
(x －3)代入C 的方程，得
x 2
25＋
x －3
2
25
＝1，
即x 2
－3x －8＝0，则x 1＋x 2＝3， ∴AB 的中点坐标x ＝
x 1＋x 22
＝3
2
， y ＝
y 1＋y 22＝2
5(x 1＋x 2－6)＝－6
5
，
即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2，－65.
解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试
已知椭圆x 24＋y 2
3＝1，直线l ：y ＝4x ＋m ，若椭圆上总有两点P ，Q 关于直线l 对称，求m
的取值X 围．
[妙解] 法一：(根与系数的关系)设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是椭圆C 上关于直线l ：y ＝4x ＋m 对称的两个点，则k P Q ＝－1
4
.
设P Q 所在直线方程为y ＝－x
4
＋b .
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－x
4＋b ，x 2
4＋y 2
3＝1，
消去y ，得13x 2－8bx ＋16b 2
－48＝0.
∴Δ＝(－8b )2
－4×13×(16b 2
－48)>0.
解得b 2<134
.①
x 1＋x 2＝8b 13，x 1x 2＝16b 2
－48
13.
设P Q 中点为M (x ，y )，则有
x ＝x 1＋x 22
＝4b 13
，y ＝－14
·4b 13
＋b ＝12b
13
.
∵点M ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫4b 13，12b 13在直线y ＝4x ＋m 上，
∴
12b 13＝4·4b 13＋m .∴b ＝－13
4
m .② 把②代入①，得：⎝ ⎛⎭⎪⎫－134m 2<134
，
解得－21313<m <21313
.
故m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－21313
，21313.
法二：设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是椭圆C 上的两点，
M (x ，y )是P Q 的中点．
则有⎩
⎪⎨⎪⎧
3x 2
1＋4y 2
1＝12，3x 22＋4y 2
2＝12，两式相减，得
3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. ∵x 1≠x 2，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ， ∴3x 4y ＝－y 1－y 2
x 1－x 2＝－k P Q . ∵k P Q ＝－14，
∴y ＝3x .
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3x ，y ＝4x ＋m ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－m ，
y ＝－3m .
∴M (－m ，－3m )． ∵点M 应在椭圆C 的内部， ∴
－m
2
4
＋
－3m 2
3
<1.
解得－21313<m <21313
.
故m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－21313
，21313.
[点评] P ，Q 关于直线l 对称包括两层含义：①P ，Q 的中点在直线l 上；②直线P Q 与直线l 垂直．
1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 2
4＋y 2
＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．相切或相交
解析：把x ＋y －3＝0代入x 2
4＋y 2
＝1
得x 2
4
＋(3－x )2
＝1，
即5x 2
－24x ＋32＝0.
∵Δ＝242
－4×5×32＝－64＜0， ∴直线与椭圆相离． 答案：C
2．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 2
2＝1相切，则斜率k 的值是( )
A.63 B ．－
63 C ．±63
D ．±
33
解析：把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2
2＝1得，(3k 2
＋2)x 2
＋12kx ＋6＝0，因为直线与椭圆相切，
∴Δ＝(12k )2
－4(3k 2
＋2)×6＝0，解得k ＝±
63
. 答案：C
3．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2
m
＝1总有公共点，则m 的取值X 围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(0，＋∞)
C ．(0,1)∪(1,5)
D ．[1,5)∪(5，＋∞)
解析：∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， 若5＞m ，则m ≥1， 若5＜m ，则必有公共点， ∴m ≥1且m ≠5. 答案：D
4．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 2
4＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值X 围是________．
解析：由x 23＋y 2
4＝1得－2≤y ≤2，
∴－2<a <2. 答案：(－2,2)
5．椭圆x 2
3
＋y 2
＝1被直线x －y ＋1＝0所截得的弦长|AB |＝________.
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1＝0，x 2
3
＋y 2
＝1得交点坐标(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3
2
，－12，
则|AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋122＝322.
答案：32
2
6．过点P (2,1)的直线l 与椭圆x 2
2＋y 2
＝1相交，求l 被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．
解：设直线l 与椭圆x 2
2＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中
点M (x ，y )，则
⎩⎪⎨⎪⎧
x 21
2＋y 2
1
＝1， ①x 22
2＋y 22
＝1， ②
由①－②得
y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12·x
y
. 又∵直线l 的斜率为k PM ＝
y －1
x －2
， ∴
y －1x －2＝－x
2y
. 整理得x 2
＋2y 2
－2x －2y ＝0.
∴直线l 被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程为
x 2
＋2y 2
－2x －2y ＝0⎝ ⎛⎭
⎪⎫在椭圆x 2
2＋y 2＝1内的部分.
一、选择题
1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系为( ) A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．不确定
解析：直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k (x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x 29＋y 24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4
＝1相交，故选B.
答案：B
2．已知椭圆x 2
＋y 2
2＝a 2
(a ＞0)与以A (2,1)，B (4,3)为端点的线段没有公共点，则a 的
取值X 围是( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫0，322
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫
822，＋∞
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13 D.⎝
⎛⎭⎪⎫322
，822
解析：分两种情况：(1)A 点在椭圆外，4＋12＞a 2
，解得0＜a ＜322；(2)B 点在椭圆内，
16＋92＜a 2，解得a ＞82
2
.
答案：B
3．经过椭圆x 2
2＋y 2
＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，O 为坐
标原点，则OA ―→·OB ―→
＝( )
A ．－3
B ．－13
C ．－1
3
或－3
D ．±13
解析：椭圆右焦点为(1,0)，
设l ：y ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴OA ―→·OB ―→
＝x 1x 2＋y 1y 2.
把y ＝x －1代入x 2
2
＋y 2＝1得，3x 2
－4x ＝0.
∴A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，13. ∴OA ―→·OB ―→
＝－13.
答案：B
4．已知椭圆C ：y 2
9＋x 2
＝1，过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 被
点P 平分，则直线AB 的方程为( )
A ．9x －y －4＝0
B ．9x ＋y －5＝0
C ．4x ＋2y －3＝0
D ．4x －2y －1＝0
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵点A ，B 在椭圆上， ∴y 21
9
＋x 2
1＝1，①
y 22
9
＋x 2
2＝1.②
①－②，得
y 1＋y 2
y 1－y 2
9
＋(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)＝0.③
∵P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，12是线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1， 代入③得
y 1－y 2
x 1－x 2
＝－9，即直线AB 的斜率为－9. 故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 整理得9x ＋y －5＝0. 答案：B 二、填空题
5．已知点A ，B 是椭圆x 2m 2＋y 2n
2＝1(m >0，n >0)上两点，且AO ―→＝λBO ―→
，则λ＝________.
解析：由AO ―→＝λBO ―→
知点A ，O ，B 共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1. 答案：－1
6．若直线y ＝x ＋m 与椭圆4x 2
＋y 2
＝1有公共点，则实数m 的取值X 围为________．
解析：由⎩
⎪⎨
⎪⎧
4x 2＋y 2
＝1，
y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2
－1＝0.
因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2
－20(m 2
－1)≥0，解得－
52≤m ≤5
2
. 答案：⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－
52，52 7．椭圆x 2＋4y 2
＝16被直线y ＝12
x ＋1截得的弦长为________．
解析：由⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋4y 2
＝16，y ＝1
2
x ＋1，
消去y 并化简得x 2
＋2x －6＝0.
设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝
54
[x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]＝
5
4
4＋24＝35.
答案：35
8．已知F 1，F 2为椭圆的两个焦点，以F 1为圆心，且经过椭圆中心的圆与椭圆有一个公共点为P ，若PF 2恰好与圆F 1相切，则该椭圆的离心率为________．
解析：由已知圆F 1的半径r ＝c ，即|PF 1|＝c ， 又PF 2与圆F 1相切，所以PF 2⊥PF 1， ∵|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝3c . ∴|PF 1|＋|PF 2|＝(1＋3)c ＝2a .
∴e ＝c a ＝21＋3
＝3－1.
答案：3－1 三、解答题
9．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 2
2＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y
22
＝1， ②
将①代入②，整理得9x 2
＋8mx ＋2m 2
－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2
＋144.
(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．
这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．
这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．
10．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 2
2＋y 2
＝1相交于A ，B 两个不同的点．
(1)某某数b 的取值X 围； (2)当b ＝1时，求|AB |.
解：(1)将y ＝x ＋b 代入x 2
2＋y 2
＝1，
消去y ，整理得3x 2
＋4bx ＋2b 2
－2＝0.①
因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 2
2＋y 2
＝1相交于A ，B 两个不同的点，
所以Δ＝16b 2
－12(2b 2
－2)＝24－8b 2
>0， 解得－3<b < 3.
所以b 的取值X 围为(－3，3)．
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2
＋4x ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝－4
3
.
相应地y 1＝1，y 2＝－1
3.
所以|AB |＝x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
＝423
.。