2020年湖北省潜江市中考数学试卷

2020年湖北省潜江市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分.在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分．）
1. 下列各数中，比−2小的数是（）
A.0
B.−3
C.−1
D.|−0.6|
2. 如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）
A. B. C. D.
3. 我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为（）
A.0.3×106
B.3×107
C.3×106
D.30×105
4. 将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF // BC，∠B＝∠EDF＝90∘，∠A＝45∘，∠F＝60∘，则∠CED的度数是（）
A.15∘
B.20∘
C.25∘
D.30∘
5. 下列说法正确的是（）
A.为了解人造卫星的设备零件的质量情况，选择抽样调查
B.方差是刻画数据波动程度的量
C.购买一张体育彩票必中奖，是不可能事件
D.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为1
6. 下列运算正确的是（）A.√4=±2 B.(1
2
)−1＝−2 C.a+2a2＝3a3 D.(−a2)3＝−a6
7. 对于一次函数y＝x+2，下列说法不正确的是（）
A.图象经过点(1, 3)
B.图象与x轴交于点(−2, 0)
C.图象不经过第四象限
D.当x>2时，y<4
8. 一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120∘，则圆锥的母线长是（）
A.8cm
B.12cm
C.16cm
D.24cm
9. 关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（）
A.−1
B.−4
C.−4或1
D.−1或4
10. 如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90∘，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45∘．其中正确结论的个数有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．请将结果直接填写在答题卡对应的横线上.）
已知正n边形的一个内角为135∘，则n的值是________．
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了________场．
如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60∘方向，此时轮船与小岛的距离AD为________海里．
有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字之和是奇数的概率为________．
某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为________元．
如图，已知直线a:y ＝x ，直线b:y =
−
1
2x
和点P(1, 0)，过点P 作y 轴的平行线交直线a 于点P 1，过点P 1作x 轴的平行线交直线b 于点P 2，过点P 2作y 轴的平行线交直线a 于点P 3，过点P 3作x 轴的平行线交直线b 于点P 4，…，按此作法进行下去，则点P 2020的横坐标为________．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分.）
（1）先化简，再求值：a 2−4a+4a 2−2a
÷
a 2−42a
，其中a ＝−1．
（2）解不等式组{3x +2>x −2
x−33
≤7−53
x ，并把它的解集在数轴上表示出来．
在平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图1，在BC 上找出一点M ，使点M 是BC 的中点；
（2）如图2，在BD 上找出一点N ，使点N 是BD 的一个三等分点．
5月20日九年级复学啦!为了解学生的体温情况，班主任张老师根据全班学生某天上午的《体温监测记载表》，绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 学生体温频数分布表
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中a ＝________，该班学生体温的众数是________，中位数是________；
（2）扇形统计图中m ＝________，丁组对应的扇形的圆心角是________度；
（3）求该班学生的平均体温（结果保留小数点后一位）．
把抛物线C 1:y ＝x 2+2x +3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C 2． （1）直接写出抛物线C 2的函数关系式；
（2）动点P(a, −6)能否在抛物线C 2上？请说明理由；
（3）若点A(m, y 1)，B(n, y 2)都在抛物线C 2上，且m <n <0，比较y 1，y 2的大小，并说明理由．
如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 的直线EF 交AC 于点F ，交AB 的延长线于点E ，且∠BAC ＝2∠BDE ．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）当CF ＝2，BE ＝3时，求AF 的长．
如图，直线AB 与反比例函数y
=
k
x (x >0)的图象交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(6, 1)，△AOB 的面积为8．
（1）填空：反比例函数的关系式为________；
（2）求直线AB 的函数关系式；
（3）动点P 在y 轴上运动，当线段PA 与PB 之差最大时，求点P 的坐标．
实践操作：
第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A ′处，得到折痕DE ，然后把纸片展平．
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C′处，点B 落在点B ′处，得到折痕EF ，B ′C′交AB 于点M ，C′F 交DE 于点N ，再把纸片展平． 问题解决：
（1）如图1，填空：四边形AEA ′D 的形状是________；
（2）如图2，线段MC′与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
（3）如图2，若AC′＝2cm ，DC ′＝4cm ，求DN:EN 的值．
小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t （分钟），图1表示两人之间的距离s （米）与时间t （分钟）的函数关系的图象；图2中线段AB 表示小华和商店的距离y 1（米）与时间t （分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题：
（1）填空：妈妈骑车的速度是________米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是________分钟，点M 的坐标是________．
（2）直接写出妈妈和商店的距离y 2（米）与时间t （分钟）的函数关系式，并在图2中画出其函数图象；
（3）求t 为何值时，两人相距360米．
参考答案与试题解析
2020年湖北省潜江市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分.在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且
只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分．）
1.
【答案】
B
【考点】
有理数大小比较
绝对值
【解析】
先计算|−0.6|，再比较大小．
【解答】
∵|−0.6|＝0.6，
∴−3<−2<−1<0<|−0.6|．
2.
【答案】
C
【考点】
简单组合体的三视图
【解析】
从上面看物体所得到的图形即为俯视图，因此选项C的图形符合题意．
【解答】
俯视图就是从上面看到的图形，因此选项C的图形符合题意，
3.
【答案】
C
【考点】
科学记数法--表示较大的数
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【解答】
3000000＝3×106，
4.
【答案】
A
【考点】
平行线的性质
三角形的外角性质
【解析】由∠B＝∠EDF＝90∘，∠A＝45∘，∠F＝60∘，利用三角形内角和定理可得出∠ACB＝45∘，由EF // BC，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠EDC的度数，结合三角形外角的性质可得结论．
【解答】
∵∠B＝90∘，∠A＝45∘，
∴∠ACB＝45∘．
∵∠EDF＝90∘，∠F＝60∘，
∴∠DEF＝30∘．
∵EF // BC，
∴∠EDC＝∠DEF＝30∘，
∴∠CED＝∠ACB−∠EDC＝45∘−30∘＝15∘．
5.
【答案】
B
【考点】
随机事件
概率的意义
概率公式
方差
全面调查与抽样调查
【解析】
根据普查、抽查，方差，概率的意义逐项进行判断即可．
【解答】
为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择全面调查，即普查，不宜选择抽样调查，因此选项A不符合题意；
方差是刻画数据波动程度的量，反映数据的离散程度，因此选项B符合题意；
购买一张体育彩票中奖，是可能的，只是可能性较小，是可能事件，因此选项C不符合题意；
掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为1
2
，因此选项D不符合题意；
6.
【答案】
D
【考点】
幂的乘方与积的乘方
合并同类项
负整数指数幂
算术平方根
【解析】
根据算术平方根、幂的乘方与积的乘方、合并同类项、负整数指数幂分别进行计算，即可判断．
【解答】
A．因为√4=2，
所以A选项错误；
B．因为(1
2
)−1＝2，
所以B选项错误；
C．因为a与2a2不是同类项，不能合并，
所以C选项错误；
D．因为(−a2)3＝−a6，
所以D选项正确．
7.
【答案】
D
【考点】
一次函数的性质
一次函数图象上点的坐标特点
【解析】
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】
令y＝0，解得x＝−2，
∴图象与x轴交于点(−2, 0)，故选项B正确（1）∵k＝1>0，b＝2>0，
∴不经过第四象限，故选项C正确（2）∵k＝1>0，
∴函数值y随x的增大而增大，
当x＝2时，y＝4，
∴当x>2时，y>4，故选项D不正确，
故选：D．
8.
【答案】
B
【考点】
圆锥的计算
【解析】
根据圆锥侧面展开图的实际意义求解即可．
【解答】
圆锥的底面周长为2π×4＝8πcm，即为展开图扇形的弧长，
由弧长公式得，120×π×R
180
=8π，
解得，R＝12，即圆锥的母线长为12cm．
9.
【答案】
A
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
【解析】
根据方程的根的判别式，得出m的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β＝−2(m−1)，α⋅β＝m2−m，结合α2+β2＝12即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】
∵关于x的方程x2−2(m−1)x+m2＝0有两个实数根，
∴△＝[2(m−1)]2−4×1×(m2−m)＝−4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝−2(m−1)，α⋅β＝m2−m，
∴α2+β2＝(α+β)2−2α⋅β＝[−2(m−1)]2−2(m2−m)＝12，即m2−3m−4＝0，
解得：m＝−1或m＝4（舍去）．
10.
【答案】
C
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
【解析】
如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．证明△BAD≅△CAE，利用全等三角形的性质一一判断即可．【解答】
如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．
∵∠BAC＝∠DAE＝90∘，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≅△CAE(SAS)，
∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正确
∵∠DOF＝∠AOE，
∠DFO＝∠EAO＝90∘，
∴BD⊥EC，故②正确，
∵△BAD≅△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠EFB，
∴∠AFE＝45∘，故④正确，
若③成立，则∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，显然与条件矛盾，故③错误，
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．请将结果直接填写在答题卡对应的横线上.）【答案】
8
【考点】
多边形内角与外角
【解析】
根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解． 【解答】
∵ 正n 边形的一个内角为135∘，
∴ 正n 边形的一个外角为180∘−135∘＝45∘， ∴ n ＝360∘÷45∘＝8． 【答案】 9
【考点】
二元一次方程组的应用——行程问题 一元一次方程的应用——工程进度问题 二元一次方程的应用
二元一次方程组的应用——其他问题 一元一次方程的应用——其他问题
【解析】
设该队胜了x 场，负了y 场，根据：①某队14场比赛；②得到23分；列方程组即可求解． 【解答】
设该队胜了x 场，负了y 场，依题意有 {x +y =142x +y =23 ， 解得{x =9y =5 ．
故该队胜了9场． 【答案】
20√2 【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题 【解析】
如图，过点A 作AC ⊥BD 于点C ，根据题意可得，∠BAC ＝∠ABC ＝45∘，∠ADC ＝30∘，AB ＝20，再根据锐角三角函数即可求出轮船与小岛的距离AD ． 【解答】
如图，过点A 作AC ⊥BD 于点C ，
根据题意可知：
∠BAC ＝∠ABC ＝45∘，∠ADC ＝30∘，AB ＝20， 在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝AB ⋅sin 45∘
＝20×√
2
2
=10√2，
在Rt △ACD 中，∠ADC ＝30∘， ∴ AD ＝2AC ＝20√2（海里）．
答：此时轮船与小岛的距离AD 为20√2海里． 故答案为：20√2． 【答案】
49
【考点】
列表法与树状图法 【解析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上的数字之和为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】 画树状图得：
∵ 共有9种等可能的结果，两次取出的数字之和是奇数的有4种结果， ∴ 两次取出的数字之和是奇数的概率为4
9，
【答案】 70
【考点】
二次函数的应用 【解析】
根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润达到最大值． 【解答】
设每顶头盔的售价为x 元，获得的利润为w 元，
w ＝(x −50)[200+(80−x)×20]＝−20(x −70)2+8000， ∴ 当x ＝70时，w 取得最大值，此时w ＝8000， 【答案】 22010 【考点】
一次函数图象上点的坐标特点 规律型：点的坐标 规律型：图形的变化类
正比例函数的性质 规律型：数字的变化类
【解析】
点P(1, 0)，P 1在直线y ＝x 上，得到P 1(1, 1)，求得P 2的纵坐标＝P 1的纵坐标＝1，得到P 2(−2, 1)，即P 2的横坐标为−2＝−21，同理，P 3的横坐标为−2＝−21，P 4的横坐标为4＝22，P 5＝22，P 6＝−23，P 7＝−23，P 8＝
24…，求得P 4n ＝21
2n ，于是得到结论． 【解答】
∵ 点P(1, 0)，P 1在直线y ＝x 上， ∴ P 1(1, 1)， ∵ P 1P 2 // x 轴，
∴ P 2的纵坐标＝P 1的纵坐标＝1， ∵ P 2在直线y =−1
2x 上， ∴ 1=−1
2x ，
∴ x ＝−2，
∴ P 2(−2, 1)，即P 2的横坐标为−2＝−21，
同理，P 3的横坐标为−2＝−21，P 4的横坐标为4＝22，P 5＝22，P 6＝−23，P 7＝−23，P 8＝24…， ∴ P 4n ＝212
n ， ∴ P 2020的横坐标为21
2
×2020=21010，
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分.）
【答案】
原式=(a−2)2
a(a−2)⋅2a
(a+2)(a−2) =
2a+2
，
当a ＝−1时，原式=2
−1+2=2； {
3x +2>x
−2x−33≤7−53
x ，
∵ 解不等式①得：x >−2， 解不等式②得：x ≤4，
∴ 不等式组的解集是：−2<x ≤4，
在数轴上表示为：
．
【考点】
解一元一次不等式组
在数轴上表示不等式的解集 分式的化简求值
【解析】
（1）先把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可；
（2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【解答】
原式=(a−2)2
a(a−2)⋅2a
(a+2)(a−2)
=
2
a+2
，
当a ＝−1时，原式=2
−1+2=2； {3x +2>x −2x−33
≤7−53
x ，
∵ 解不等式①得：x >−2， 解不等式②得：x ≤4，
∴ 不等式组的解集是：−2<x ≤4，
在数轴上表示为：
．
【答案】
如图1，F 点就是所求作的点： 如图2，点N 就是所求作的点：
【考点】
平行四边形的性质 作图—复杂作图
【解析】
（1）连接AC 和BD ，它们的交点为O ，延长EO 并延长交AD 于F ，则F 点为所作； （2）连接CE 交BD 于点N ，则N 点为所作． 【解答】
如图1，F 点就是所求作的点： 如图2，点N 就是所求作的点：
【答案】 10,36.5,36.5 15,36
该班学生的平均体温为：36.3×6+36.4×10+36.5×20+36.6×4
40
=36.455≈36.5(∘C)．
【考点】 众数
频数（率）分布表
扇形统计图
中位数
【解析】
（1）根据丙组的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以乙组所占的百分比，求出a的值；再根据众数与中位数的定义求解；
（2）用甲组的人数除以总人数得出甲组所占百分比，求出m的值；用360∘丁组所占百分比，即可求出丁组对应的扇形圆心角的度数；
（3）利用加权平均数的公式计算即可．
【解答】
20÷50%＝40（人），a＝40×25%＝10；
36.5出现了20次，次数最多，所以众数是36.5；
40个数据按从小到大的顺序排列，其中第20、21个数据都是36.5，所以中位数是(36.5+36.5)÷2＝36.5．故答案为：10，36.5，36.5；
m%=6
40
×100%＝15%，m＝15；
360∘×4
40
=36∘．
故答案为：15，36；
该班学生的平均体温为：36.3×6+36.4×10+36.5×20+36.6×4
40
=36.455≈36.5(∘C)．
【答案】
∵y＝x2+2x+3＝(x+1)2+2，
∴把抛物线C1:y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2:y＝(x+ 1−4)2+2−5，即y＝(x−3)2−3，
∴抛物线C2的函数关系式为：y＝(x−3)2−3．
动点P(a, −6)不在抛物线C2上，理由如下：
∵抛物线C2的函数关系式为：y＝(x−3)2−3，
∴函数的最小值为−3，
∵−6<−3，
∵动点P(a, −6)不在抛物线C2上；
∵抛物线C2的函数关系式为：y＝(x−3)2−3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，
∴当x<3时，y随x的增大而减小，
∵点A(m, y1)，B(n, y2)都在抛物线C2上，且m<n<0<3，
∴y1>y2．
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
二次函数图象与几何变换
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；（2）根据二次函数的最小值即可判断；
（3）根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小．
【解答】
∵y＝x2+2x+3＝(x+1)2+2，
∴把抛物线C1:y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2:y＝(x+ 1−4)2+2−5，即y＝(x−3)2−3，
∴抛物线C2的函数关系式为：y＝(x−3)2−3．
动点P(a, −6)不在抛物线C2上，理由如下：
∵抛物线C2的函数关系式为：y＝(x−3)2−3，
∴函数的最小值为−3，
∵−6<−3，
∵动点P(a, −6)不在抛物线C2上；
∵抛物线C2的函数关系式为：y＝(x−3)2−3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，
∴当x<3时，y随x的增大而减小，
∵点A(m, y1)，B(n, y2)都在抛物线C2上，且m<n<0<3，
∴y1>y2．
【答案】
连接OD，AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90∘，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BAC＝2∠BDE，
∴∠BDE＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODB＝90∘，
∴∠BDE+∠ODB＝90∘，
∴∠ODE＝90∘，
即DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BO＝AO，
∴OD // AC，
∴△EOD∽△EAF，
∴OD
AF
=EO
EA
，
设OD＝x，
∵CF＝2，BE＝3，
∴OA＝OB＝x，
AF＝AC−CF＝2x−2，
∴EO＝x+3，EA＝2x+3，
∴
x
2x−2
=x+3
2x+3
，
解得x＝6，
经检验，x＝6是分式方程的解，
∴AF＝2x−2＝10．
【考点】
相似三角形的性质与判定
等腰三角形的性质
圆周角定理
切线的判定与性质
【解析】
（1）连接OD，AD，根据切线的判定即可求证．
（2）先证明△EOD∽△EAF，设OD＝x，根据相似三角形的性质列出关于x的方程从而可求出答案．【解答】
连接OD，AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90∘，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BAC＝2∠BDE，
∴∠BDE＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODB＝90∘，
∴∠BDE+∠ODB＝90∘，
∴∠ODE＝90∘，
即DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BO＝AO，
∴OD // AC，∴△EOD∽△EAF，
∴OD
AF
=EO
EA
，
设OD＝x，
∵CF＝2，BE＝3，
∴OA＝OB＝x，
AF＝AC−CF＝2x−2，
∴EO＝x+3，EA＝2x+3，
∴x
2x−2
=x+3
2x+3
，
解得x＝6，
经检验，x＝6是分式方程的解，
∴AF＝2x−2＝10．
【答案】
y=
6
x
过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，设B(m, n)，
∴mn＝6，
∴BE＝DE−BD＝6−m，AE＝CE−AC＝n−1，
∴S△ABE=1
2
AE⋅BE=1
2
(n−1)(6−m)，
∵A、B两点均在反比例函数y=k
x
(x>0)的图象上，
∴S△BOD＝S△AOC=1
2
×6×1=3，
∴S△AOB＝S
矩形ODEC
−S△AOC−S△BOD−S△ABE＝6n−3−3−1
2
(n−1)(6−m)=3n−1
2
m，
∵△AOB的面积为8，
∴3n−1
2
m＝8，
∴m＝6n−16，
∵mn＝6，
∴3n2−8n−3＝0，
解得：n＝3或−1
3
（舍），
∴ m ＝2， ∴ B(2, 3)，
设直线AB 的解析式为：y ＝kx +b ， 则{6k +b =12k +b =3 ，解得：{k =−1
2b =4 ， ∴ 直线AB 的解析式为：y =−12x +4；
如图，根据“三角形两这边之差小于第三边可知：
当点P 为直线AB 与y 轴的交点时，PA −PB 有最大值是AB ， 把x ＝0代入y =−
1
2x +4中，得：y ＝4， ∴ P(0, 4)．
【考点】
反比例函数综合题 【解析】
（1）将点A 坐标(6, 1)代入反比例函数解析式y =k
x ，求出k 的值即可；
（2）过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过B 作BD ⊥y 轴于D ，延长CA ，DB 交于点E ，则四边形ODEC 是矩形，设B(m, n)，根据△AOB 的面积为8，得3n −1
2m ＝8，得方程3n 2−8n −3＝0，解出可得B 的坐标，利用待定系数法可得AB 的解析式；
（3）如图，根据“三角形两这边之差小于第三边可知：当点P 为直线AB 与y 轴的交点时，PA −PB 有最大值是AB ，可解答． 【解答】
（1）将点A 坐标(6, 1)代入反比例函数解析式y =k
x ，
得k ＝1×6＝6， 则y =6
x ， 故答案为：y =6
x ；
过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过B 作BD ⊥y 轴于D ，延长CA ，DB 交于点E ，则四边形ODEC 是矩形， 设B(m, n)， ∴ mn ＝6，
∴ BE ＝DE −BD ＝6−m ，AE ＝CE −AC ＝n −1， ∴ S △ABE =1
2
AE ⋅BE =1
2
(n −1)(6−m)，
∵ A 、B 两点均在反比例函数y =k
x
(x >0)的图象上，
∴ S △BOD ＝S △AOC =1
2×6×1=3，
∴ S △AOB ＝S 矩形ODEC −S △AOC −S △BOD −S △ABE ＝6n −3−3−1
2
(n −1)(6−m)=3n −1
2
m ，
∵ △AOB 的面积为8， ∴ 3n −1
2m ＝8， ∴ m ＝6n −16，
∵ mn ＝6，
∴ 3n 2−8n −3＝0， 解得：n ＝3或−1
3（舍），
∴ m ＝2， ∴ B(2, 3)，
设直线AB 的解析式为：y ＝kx +b ，
则{6k +b =12k +b =3 ，解得：{k =−1
2b =4 ， ∴ 直线AB 的解析式为：y =−1
2x +4；
如图，根据“三角形两这边之差小于第三边可知：
当点P 为直线AB 与y 轴的交点时，PA −PB 有最大值是AB ， 把x ＝0代入y =−1
2x +4中，得：y ＝4，
∴ P(0, 4)．
【答案】 正方形
知，AD ＝AE ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90∘，
由折叠知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′，
∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，
又EC′＝C′E，
∴Rt△EC′A≅Rt△CEB′(HL)，
∴∠C′EA＝∠EC′B′，
∴MC′＝ME；
∵Rt△EC′A≅Rt△CEB′，
∴AC′＝B′E，
由折叠知，B′E＝BD，
∴AC′＝BE，
∵AC′＝2cm，DC′＝4cm，
∴AB＝CD＝2+4+2＝8(cm)，
设DF＝xcm，则FC′＝FC＝(8−x)cm，
∵DC′2+DF2＝FC′2，
∴42+x2＝(8−x)2，
解得，x＝3，
即DF＝3cm，
如图2，延长BA、FC′交于点G，则∠AC′G＝∠DC′F，
∴tan∠AC′G＝tan∠DC′F=AG
AC′=DF
DC′
=
3
4
，
∴AG=3
2
cm，
∴EG=3
2+6=15
2
cm，
∵DF // EG，
∴△DNF∽△ENG，
∴DN
EN =DF
EG
=315
2
=2
5
【考点】
四边形综合题
【解析】
（1）由折叠性质得AD＝AD′，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA′D是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形AEA′D为正方形；
（2）连接C′E，证明Rt△EC′A≅Rt△CEB′，得∠C′EA＝∠EC′B′，便可得结论；
（3）设DF＝xcm，则FC′＝FC＝(8−x)cm，由勾股定理求出x的值，延长BA、FC′交于点G，求得AG，再证明△DNF∽△ENG，便可求得结果．
【解答】
（1）∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90∘，
∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，
∴AD＝AD′，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45∘，
∴∵AB // CD，
∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，
∴AD＝AD′，
∴AD＝AE＝A′E＝A′D，
∴四边形AEA′D是菱形，
∵∠A＝90∘，
∴四边形AEA′D是正方形．
【答案】
120,5,(20, 1200)
y2={
120t(0≤t<15)
1800(15≤t<20)
−120t+4200(20≤t≤35)
，
其图象如图所示，
由题意可知：小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟，
①相遇前，依题意有60t+120t+360＝1800，
解得t＝8分钟，
②相遇后，依题意有，
60t+120t−360＝1800，
解得t＝12分钟．
③依题意，当t＝20分钟时，妈妈从家里出发开始追赶小华，
此时小华距商店为1800−20×60＝600米，只需10分钟，
即t＝30分钟，小华到达商店．
而此时妈妈距离商店为1800−10×120＝600米>360米，
∴120(t−5)+360＝1800×2，
解得t＝32分钟，
∴t＝8，12或32分钟时，两人相距360米
【考点】
一次函数的应用
【解析】
（1）根据图象即可求出答案．
（2）根据时间范围列出函数关系式即可
（3）根据两人的运动情况分类讨论，列出相应的方程即可求出答案．【解答】
妈妈骑车的速度为120米/分钟，
妈妈在家装载货物时间为5分钟，
点M的坐标为(20, 1200)．
y2={
120t(0≤t<15) 1800(15≤t<20)
−120t+4200(20≤t≤35)
，
其图象如图所示，
由题意可知：小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟，①相遇前，依题意有60t+120t+360＝1800，
解得t＝8分钟，
②相遇后，依题意有，
60t+120t−360＝1800，
解得t＝12分钟．
③依题意，当t＝20分钟时，妈妈从家里出发开始追赶小华，此时小华距商店为1800−20×60＝600米，只需10分钟，
即t＝30分钟，小华到达商店．
而此时妈妈距离商店为1800−10×120＝600米>360米，
∴120(t−5)+360＝1800×2，
解得t＝32分钟，
∴t＝8，12或32分钟时，两人相距360米。