高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1.2.1指数函数的基本内容练习含解析新人教A版必修

对应学生用书P41
知识点一
指数函数的概念
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1.2.1指数函数的基本
内容练习含解析新人教A 版必修
1.若y ＝(a 2
－6a ＋6)a x
是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或5 B ．a ＝1 C ．a ＝5 D ．a >0且a ≠1 答案 C
解析 由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
－6a ＋6＝1，a >0，
a ≠1，
解得a ＝5.
2．判断下列函数是否是指数函数：
(1)y ＝2x (x ∈N *)；(2)y ＝x 13；(3)y ＝(－3)x
；
(4)y ＝－3x
；(5)y ＝(π－3)x
；(6)y ＝2
x －1
.
解 (1)不是，因为该函数的定义域不是R ，这个函数可称为正整数指数函数． (2)函数y ＝x 1
3中的自变量x 在底数位置上，不在指数位置上，故不是指数函数．
(3)函数y ＝(－3)x
的底数为－3<0，故不是指数函数．
(4)函数y ＝－3x
中的指数式3x
前的系数不是1，所以不是指数函数．
(5)函数y ＝(π－3)x
的底数满足0<π－3<1，符合指数函数的定义，是指数函数． (6)函数y ＝2
x －1
中的指数为x －1，而不是x ，所以不是指数函数.
知识点二
指数函数的图象
A．a>1，b<0 B ．a>1，b >0
C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
答案 D
解析由图知f(x)单调递减，故0<a<1，f(0)<1，
即a－b<1，∴－b>0，∴b<0，选D.
4．图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝a x的图象，而a∈
2
3
，
1
3
，5，π，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.
答案
2
3
1
3
π 5
解析由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y轴右侧，底大图高，在y轴左侧，底大图低，
则知C2的底数<C1的底数<1<C4的底数<C3的底数，而
1
3
<
2
3
<5<π，故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是
2
3
，
1
3
，π， 5.
知识点三
指数函数的定义域与值域A．y＝2x B．y＝
1
x－1
C．y＝3
1
x－1
D．y＝2
1
x
答案 C
解析A项中，y＝2x的定义域为R，值域为(0，＋∞)；B项中，y＝
1
x－1
的定义域为
{x |x ≠1}，值域为{y |y ≠0}；C 项中，由x －1＞0得x ＞1，所以y ＝31
x －1
的定义域为(1，
＋∞)，由
1
x －1
＞0得3
1
x －1
＞30
＝1，所以其值域也为(1，＋∞)；D 项中，y ＝21x 的定义域
为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而21x ＞0且21
x
≠1，所以其值域为(0,1)∪(1，＋∞)．所以选C.
易错点
忽视底数的取值条件
易错分析 解答本题易忽视对底数a 的约束条件而致误． 正解 ∵函数y ＝(a 2
－4a ＋4)a x
是指数函数，
∴由指数函数的定义，得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2
－4a ＋4＝1，
a >0且a ≠1，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1或a ＝3，
a >0且a ≠1，∴a ＝3.
对应学生用书P42
一、选择题
1．若函数f (x )＝(2a －1)x
是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C.1
2，1 D ．(－∞，1) 答案 C
解析 由已知，得0＜2a －1＜1，则12＜a ＜1，所以实数a 的取值范围是1
2，1.
2．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x
；④y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122x －1.
A ．0个
B ．1个
C ．3个
D ．4个
答案 B
解析 由指数函数的定义可判定，只有②是指数函数． 3．函数y ＝2x
－1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 C
解析 由2x
－1≥0，得2x
≥20
，∴x ≥0. 4．当a >0，且a ≠1时，函数f (x )＝a
x ＋1
－1的图象一定过点( )
A ．(0,1)
B ．(0，－1)
C ．(－1,0)
D ．(1,0) 答案 C
解析 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)． 5．函数y ＝3
x
3x ＋1
的值域是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 B ．(－∞，0) C ．(0,1) D ．(1，＋∞) 答案 C
解析 y ＝3x
3x ＋1＝1－1
3x ＋1，
∵3x
>0，∴3x ＋1>1.
∴0<13x ＋1<1.∴0<1－1
3x ＋1<1.
即原函数的值域为(0,1)． 二、填空题
6．若指数函数f (x )的图象经过点(2,16)，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝________.
答案 12
解析 设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，依题意有a 2＝16，得a ＝4，故f (x )＝4x
，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－12＝4－12＝12
.
7．已知指数函数f (x )的图象经过点－32，3
9，则f (3.14)与f (π)的大小关系为
________(用“<”连接)．
答案 f (3.14)<f (π)
解析 ∵f (x )是指数函数，∴可设f (x )＝a x
(a >0，a ≠1)．由已知，得f －32＝39，即a
－32＝39＝3－32
，即a ＝3，∴f (x )＝3x
.∵3.14<π，∴f (3.14)<f (π)． 8．已知函数f (x )＝12ax
，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )
＝4－x
－2，且g (x )＝f (x )，则x ＝________.
答案 1 －1
解析 因为函数的图象过点(－1,2)，所以12－a ＝2，所以a ＝1.所以f (x )＝12x
.g (x )＝f (x )
可变形为4－x
－2－x
－2＝0，解得2－x
＝2或2－x
＝－1(舍去)，所以x ＝－1.
三、解答题
9．求下列函数的定义域和值域：
(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫121x －3
；(2)y ＝3－|x |；(3)y ＝22x －x 2.
解 (1)x 应满足x －3≠0，∴x ≠3， ∴定义域为{x |x ≠3，x ∈R }． ∵x ≠3，∴x －3≠0，∴
1x －3≠0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫121x －3
≠1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫121x －3
的值域为{y |y >0，且y ≠1}；
(2)定义域为R . ∵|x |≥0，∴y ＝3
－|x |
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫130
＝1， ∴值域为{y |0<y ≤1}； (3)定义域为R .
∵2x －x 2
＝－(x －1)2
＋1≤1， ∴22x －x 2≤2，即0＜y ≤2. 故函数的值域为{y |0<y ≤2}．
10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13|x |
－1.
(1)作出f (x )的简图；
(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求m 的取值范围．
解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －1，x ≥0，
3x －1，x <0，
如图所示．
(2)作出直线y ＝3m ，当－1<3m <0时，即－1
3<m <0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两个交点，
即关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解．。