高考数学一轮复习 第11章 算法、复数、推理与证明 11.2 数系的扩充与复数的引入课件 文

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方法技巧
1．加减乘除运算法则
(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运
算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要
把i的幂写成最简形式．
(2)记住以下结论，可提高运算速度：
①(1±i)2＝±2i；②
1＋i 1－i
＝i；③
1－i 1＋i
＝－i；④
a＋bi i
＝b
－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
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题型2 复数的几何意义
典例1
(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在
复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
()
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
根据复数z＝a＋bi(a，b∈R)的几何意 义，写出不等式求解．
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3．小题热身
(1)(2017·全国卷Ⅱ)13＋＋ii＝(
)
A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
解析 13＋＋ii＝13＋＋ii11－－ii＝4－2 2i＝2－i.故选D.
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(2)(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足11＋ －zz＝i，则|z|＝(
解 由条件知z＝1－2i，其在复平面内对应的点为(1， －2)，在第四象限．
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[条件探究2] 若将典例1中条件变为“复数(1－i)(a＋i) 在复平面内对应的点在第二象限”，求实数a的取值范围．
解 ∵复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i在复平面内对 应的点在第二象限，∴a1＋ －1a<>01， ， ∴a<－1.即实数a的取值 范围是(－∞，－1)．
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2．复数方程要求解，运用概念相等来解决 解决复数与三角函数、方程等综合问题，关键是抓住 复数的实部、虚部，运用好复数的概念来解决问题．
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冲关针对训练 －1＋2 23＋3ii＋1－2i2018＝___2_i____. 解析 原式＝i11＋＋22 33ii＋1－2i21009 ＝i＋－22i1009＝i＋i1009＝i＋i4×252＋1＝i＋i＝2i.
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2．复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应
的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的
集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi
复平面内的点_Z_(_a_，__b_)_ (a，
b∈ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)．
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2．若复数z满足①|z|≥1；②|z＋i|≤|－1－2i|，则z在复 平面内所对应的图形的面积为___4_π____．
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|≥1及|z＋i|≤|－1－ 2i|易得x2＋y2≥1及x2＋(y＋1)2≤5知z在复平面内对应图形的 面积为5π－π＝4π.
典例
已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－
6i，求x，y.
复数问题实数化．
解 设x＝a＋bi(a，b∈R)， 则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2， 代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
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根据复数相等得－4a32＝a42＋，b2＝－6，
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(2)(选修A1－2P61A组T3)在复平面内，复数6＋5i，－2 ＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对 应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i
解析 ∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)， 则点C对应的复数为z＝2＋4i.故选C.
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典例2 (2017·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则
|z|＝( )
1 A.2
2 B. 2
C. 2
D．2
先求z的代数形式，再求|z|. 解析 由(1＋i)z＝2i得z＝12＋i i＝1＋i，
∴|z|＝ 2.故选C.
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方法技巧 复数几何意义及应用
1．复数z、复平面上的点Z及向量 O→Z 相互联系，即z＝ a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔O→Z.见典例1.
2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关 系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时 可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
3．|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ x2＋y2 ，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的 几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的 两点之间的距离．见典例2.
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解析
由已知可得
m＋3>0， m－1<0
3<m<1.故选A.
⇒
m>－3，
m<1
⇒－
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[条件探究1] 若将典例1中条件“z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复平面内对应的点在第四象限”变为“复数z的共轭复数 －z ＝1＋2i(i为虚数单位)”，则复数z在复平面内对应的点 在第几象限？
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[诊断自测] 1．概念思辨 (1)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)一 定有两个根．( √ ) (2)若复数a＋bi中a＝0，则此复数必是纯虚数．( × ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大 小．( × ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点 的距12离/11/20，21 也就是复数对应的向量的模．( √ )
方法技巧 有关复数的基本概念问题的关键
因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实 部与虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是 找准复数的实部和虚部，即转化为a＋bi(a，b∈R)的形 式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处 理．见典例．
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解得
a＝1， b＝1
或
a＝1， b＝－1
或
a＝－1， b＝1
或
a＝－1， b＝－1.
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故所求复数为
x＝1＋i， y＝1－i，
或
x＝1－i， y＝1＋i
或
x＝－1＋i， y＝－1－i
或 xy＝ ＝－ －11－ ＋ii，.
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真题模拟(mónǐ)闯关
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1．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题 p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R； p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R； p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝ z 2； p4：若复数z∈R，则 z ∈R. 其中的真命题为( ) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
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题型3 复数的代数运算
典例
(2016·全国卷Ⅲ)若z＝1＋2i，则
4i z z －1
＝
() A．1 B．－1 C．i D．－i
先作乘法z·z 运算，然后作除法运算．
解析
∵z
z
＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴z
4i z －1
＝44i＝i，故
选C. 12/11/2021
ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∈/ R，所以p2为假命
题．
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对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2) ＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝ z 2，即a1＋b1i ＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝ a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．
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(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)
平面向量O→Z.
3．复数代数形式的四则运算
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
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(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3 ∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (3)复数乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任 意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2 ＋z3)＝z1z2＋z1z3.
第11章 算法、复数(fùshù)、推理与证 明
11.2 数系的扩充(kuòchōng)与复数的引入
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第二页，共四十一页。
基础知识过关(guò〃guān)
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[知识梳理] 1．复数的有关概念
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)
A．1 B. 2 C. 3 D．2
解析
由已知
1＋z 1－z
＝i，可得z＝
i－1 i＋1
＝
i－12 i＋1i－1
＝
－－22i＝i，∴|z|＝|i|＝1，故选A.
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经典(jīngdiǎn)题型冲关
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题型1 复数的有关概念
冲关针对训练
(2018·山西四校联考)i是虚数单位，若21＋ ＋ii＝a＋bi(a，b
∈R)，则lg (a＋b)的值是( )
A．－2
B．－1
C．0
1 D.2
解析 因为21＋ ＋ii＝2＋i21－i＝32－2i ，所以a＝32，b＝
－12，a＋b＝1，所以lg (a＋b)＝0，故选C.
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对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒ z ＝a－bi＝ a∈R，所以p4为真命题．故选B.
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2．(2018·安徽安庆模拟)设i是虚数单位，如果复数
a＋i 2－i
的实部与虚部相等，那么实数a的值为( )
A.13 B．－13 C．3 D．－3
解析
a＋i 2－i
＝
2a－1＋a＋2i 5
，由题意知2a－1＝a＋
2，解之得a＝3.故选C.
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3．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是 虚数单位)，则a2＋b2＝___5_____，ab＝____2____.
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2．教材衍化
(1)(选修A1－2P63A组T1(3))在复平面内，复数z＝
1 2＋i
(i
为虚数单位)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析
z＝
1 2＋i
＝
2－i 2＋i2－i
＝
2 5
－
1 5
i，其对应的点为
25，－15，在第四象限．故选D.
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(4)复数加、减法的几何意义 ①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量 O→Z1 ，O→Z2 不共线，则复数z1＋z2是以O→Z1 ，O→Z2 为两邻边的 平行四边形的对角线O→Z所对应的复数． ②复数减法的几何意义：复数z1－z2是O→Z1－O→Z2＝Z→2Z1 所对应的复数． 4．模的运算性质：①|z|2＝| z |2＝z· z ；②|z1·z2|＝ |z1||z122/|1；1/202③1 zz12＝||zz12||.
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冲关针对训练 1．(2014·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2在复平面内的对应点 关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( ) A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i
解析 由题意得z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝ －5，故选A.
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第三十五页，共四十一页。
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈
R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．
对于p1，若
1 z
∈R，即
1 a＋bi
＝
a－bi a2＋b2
∈R，则b＝0且
a≠0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题． 对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则