解析几何单元评估

解 析 几 何 评估
1．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，那么a ，b 满足( ) A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0
解析：由sin α＋cos α＝0，得tan α＝－1. ∴α＝135°，即a ＝b ，a －b ＝0. 答案：D
2．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π
2所得的直线方程是( )
A ．－x ＋2y －4＝0
B ．x ＋2y －4＝0
C ．－x ＋2y ＋4＝0
D ．x ＋2y ＋4＝0
解析：由题意知所求直线与2x －y －2＝0垂直． 又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)． 故所求直线方程为y ＋2＝－1
2(x －0)，
即x ＋2y ＋4＝0. 答案：D
3．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，那么直线的方程为( )
A ．x ＋2y －6＝0
B ．2x ＋y －6＝0
C ．x －2y ＋7＝0
D ．x －2y －7＝0
解析：∵直线过点P (1,4)，代入后舍去A 、D ，又在两坐标轴上的截距均为正值，故舍去C. 答案：B
4．双曲线x 22－y 2
1＝1的焦点坐标是( )
A ．(1,0)，(－1,0)
B ．(0,1)，(0，－1)
C ．(3，0)，(－3，0)
D ．(0，3)，(0，－3) 解析：c 2＝a 2＋b 2＝2＋1，∴c ＝ 3. ∴焦点为(3，0)，(－3，0)，选C. 答案：C
5．圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积为( )
A ．106
B ．20 6
C ．306
D ．40 6
解析：圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25， ∴圆心为(3,4)，半径为r ＝5.
由题意，最长的弦AC 是直径且和最短的弦BD 垂直． ∴|AC |＝10，
|BD |＝225－[(3－3)2＋(5－4)2]＝4 6. ∴S 四边形ABCD ＝1
2|AC ||BD |＝20 6.
答案：B
6．假设曲线y ＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，那么l 的方程为( ) A ．4x ＋y ＋4＝0B ．x －4y －4＝0 C ．4x －y －12＝0D ．4x －y －4＝0
解析：直线x ＋4y －8＝0的斜率为－1
4，因为曲线y ＝x 2的切线与直线x ＋4y －8＝0垂直，故由
导数的几何意义知：切线的斜率为k ＝y ′＝2x ＝4，故切点的横坐标为x ＝2，故切点为(2,4)，再写出切线的点斜式方程，再化为一般式．应选D.
答案：D
7．点P (x ，y )满足x 2＋y 2－4x －2y ＋4≤0，那么点P 到直线x ＋y －1＝0的最短距离是( ) A.2B ．0 C.2－1D.2＋1
解析：不等式(x －2)2＋(y －1)2≤1表示的图形是以(2,1)为圆心，以1为半径的圆面，圆心(2,1)到直线x ＋y －1＝0的距离是d ＝|2＋1－1|
2
＝ 2.
∴点P 到直线x ＋y －1＝0的最短距离是2－1. 答案：C
8．双曲线C 和椭圆4x 2＋y 2＝1有一样的焦点，它的一条渐近线为y ＝2x ，那么双曲线C 的方程为( )
A ．4x 2－2y 2＝1
B ．2x 2－y 2＝1
C ．4x 2－2y 2＝－1
D ．2x 2－y 2＝－1
解析：设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)双曲线的焦点坐标为(0，±32)，又a
b ＝2，
∴b ＝12，a ＝2
2.即双曲线方程为4x 2－2y 2＝－1，应选C.
答案：C
9.(2010·
吉林白山模拟)F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y 2
4＝1的两个焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为( )
C ．2
D ．4
解析：由x 28＋y 2
4
＝1，得a ＝22，b ＝2，c ＝2.
∵b ＝c ＝2，∴以原点为圆心，c 为半径的圆与椭圆有2个交点． ∴PF 1⊥PF 2的点P 的个数为2. 答案：C
10．抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，那么d 1＋d 2的最小值是( )
A.125
B.65 C ．2D.
55
解析：根据抛物线的定义可知d 1等于点P 到焦点的距离，故d 1＋d 2的最小值即为抛物线上的点到焦点的距离和到直线的距离之和的最小值，易知当且仅当点P 为过抛物线的焦点且与直线垂直的直线与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小．故(d 1＋d 2)min ＝
125
. 答案：A
11．假设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点
分成53的两段，那么此椭圆的离心率为( )
A.16
17B.2－117 C ．2－2D.255
解析：
由|F 1F ||FF 2|＝5
3，其中|F 2F |＝|OF 2|－|OF |＝c －b
2
，
|FF 1|＝|OF 1|＋|OF |＝c ＋b
2.
∴c ＋b 2c －b 2
＝53.∴c ＝2b .
又∵a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋4b 2＝5b 2，
∴e ＝c a ＝2b 5b ＝255.
答案：D
12．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，假设AF →＝FB →，BA →·BC →
＝48，那么抛物线的方程为( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝4x
C ．y 2＝16x
D ．y 2＝42x 解析：
由AF →＝FB →
与
|AF →|＝|AC →
|知在Rt △ACB 中， ∠CBF ＝30°，|DF |＝p 2＋p
2＝p ，
∴AC ＝2p ，BC ＝23p ， BA →·BC →＝4p ·23p ·cos30°＝48， ∴p ＝2.
抛物线方程为y 2＝4x . 答案：B
二、填空题(每题5分，共20分)
13．直线l 1：2x ＋m 2y －2＝0，直线l 2：mx ＋2y －1＝0，假设l 1⊥l 2，那么m ＝__________. 解析：由题意知m ＝0时l 1⊥l 2，又因m ≠0时， (－
2m 2)·(－m
2
)＝－1⇒m ＝－1. 答案：0或－1
14．两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P 、Q 两点，假设点P 坐标为(1,2)，那么点Q 的坐标为________．
解析：∵两圆的圆心分别为(－1,1)，(2，－2)， ∴两圆连心线的方程为y ＝－x . ∵两圆的连心线垂直平分公共弦，
∴P (1,2)，Q 关于直线y ＝－x 对称， ∴Q (－2，－1)． 答案：(－2，－1)
15．过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，
以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，那么双曲线的离心率等于__________．
解析：
如右图所示，由题意 M (－c ，b 2
a )，MF ＝FB ，
即b 2
a ＝c ＋a .① ∵
b 2＝
c 2－a 2，
由①整理得c 2－ac －2a 2＝0，即 (c ＋a )(c －2a )＝0. ∴c ＝－a (舍)或c ＝2a . ∴e ＝c
a ＝2.
答案：2
16．F 1、F 2分别为椭圆x 225＋y 2
9＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，Q 是y 轴上的一个动点，假
设|PF 1→|－|PF 2→|＝4，那么PQ →·(PF 1→－PF 2→)＝________.
解法一：因为Q 是y 轴上的一个动点，所以可取原点这个特殊位置来解． 又P 为椭圆上一点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点， |PF 1→|＋|PF 2→
|＝10， 且|PF 1→|－|PF 2→
|＝4， ∴|PF 1→|＝7，|PF 2→
|＝3， ∴PQ →·(PF 1→－PF 2→)＝PO →·F 2F 1→ ＝12(PF 1→＋PF 2→)·(PF 1→－PF 2→) ＝12
(|PF 1→|2－|PF 2→
|2)＝20.
解法二：由得F 1(－4,0)，F 2(4,0)， 又|PF 1→|－|PF 2→
|＝4<|F 1F 2|＝8，
∴点P 又在以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支上，其方程为x 24－y 2
12＝1(x ≥2)．
设P (x 0，y 0)(x 0>0)，Q (0，y )，那么
PF 1→－PF 2→＝F 2F 1→＝(－8,0)，PQ →
＝(－x 0，y －y 0)，
又由⎩⎨⎧
x 225＋y 2
9
＝1x 2
4－y
2
12＝1
得x 0＝5
2
.
∴PQ →·(PF 1→－PF 2→)＝8x 0＝20. 答案：20
三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)
17．(10分)(2011·检测)光线从点A (2,3)射出，假设镜面的位置在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射光线经过B (1,1)，求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A 到B 所走过的路线长．
解：设点A 关于l 的对称点为A ′(x 0，y 0)， ∵AA ′被l 垂直平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0
＋22＋y 0
＋3
2＋1＝0
y 0－3
x 0
－2＝1
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝－4
y 0
＝－3.
∵点A ′(－4，－3)，B (1,1)在反射光线所在直线上， ∴反射光线的方程为y ＋31＋3＝x ＋41＋4
，即4x －5y ＋1＝0，
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
4x －5y ＋1＝0x ＋y ＋1＝0
得入射点的坐标为(－23，－1
3)．
由入射点与点A 的坐标得入射光线方程为 y ＋133＋13＝x ＋2
32＋23，即5x －4y ＋2＝0， 光线从A 到B 所走过的路线长为 |A ′B |＝(－4－1)2＋(－3－1)2＝41.
18．(12分)圆C 通过不同的三点P (k,0)、Q (2,0)、R (0,1)，圆C 在P 点切线的斜率为1，试求圆C 的方程．
解：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 将P 、Q 、R 的坐标代入，化简得⎩⎪⎨⎪
⎧
k ＋2＝－D ，2k ＝F ，
E ＋
F ＋1＝0.
∴圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心为(k ＋22，2k ＋1
2)．
又∵k CP ＝－1，∴k ＝－3.
∴圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.
19．(12分)点M ，N 分别在直线y ＝mx 和y ＝－mx (m >0)上运动，点P 是线段MN 的中点，且|MN |＝2，动点P 的轨迹是曲线C .
(1)求曲线C 的方程，并讨论方程所表示的曲线类型； (2)设m ＝
22时，过点A (－26
3
，0)的直线l 与曲线C 恰有一个公共点，求直线l 的斜率． 解：(1)设P (x ，y )，M (x 1，mx 1)，N (x 2，－mx 2)， 依题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1＋x 2＝2x mx 1－mx 2＝2y
(x 1－x 2)2＋(mx 1＋mx 2)2＝22，
消去x 1，x 2，整理得x 21m 2
＋y 2
m 2＝1，
当m >1时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆， 当0<m <1时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 当m ＝1时，方程表示圆． (2)当m ＝22时，方程为x 22＋y 2
1
2＝1，
设直线l 的方程为y ＝k (x ＋26
3
)，
⎩⎪⎨
⎪⎧
x 22＋y 2
1
2
＝1y ＝k (x ＋263
)，
消去y
得(1＋4k 2)x 2＋
1663k 2x ＋32k 2
3
－2＝0， 根据可得Δ＝0，
故有(1663k 2)2－4(1＋4k 2)(32k 23－2)＝0，k 2＝34
.
∴直线l 的斜率为k ＝±3
2
.
20．(12分)(2011·株洲模拟)一椭圆经过点(2，－3)，且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点． (1)求椭圆方程；
(2)假设P 为椭圆上一点，P 、F 1、F 2是一个直角三角形的顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．
解：(1)∵9x 2＋4y 2＝36，∴a ＝3，b ＝2，c ＝5，与之有共同焦点的椭圆可设为x 2m ＋y 2
m ＋5
＝1(m >0)
代入(2，－3)点，解得m ＝10或m ＝－2(舍)，
故所求方程为x 210＋y 2
15＝1.
(2)①假设∠PF 2F 1＝90°， 那么|PF 2|＝b 2a ＝1015＝23
15，
∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝215－2315＝4
315，
于是|PF 1||PF 2|＝2. ②假设∠F 1PF 2＝90°，
那么⎩⎨⎧
|PF 1|＋|PF 2|＝215|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝20
令|PF 1|＝p ，|PF 2|＝q ，得
⎩⎨⎧
p ＋q ＝215
p 2＋q 2
＝20
⇒p 2＋(215－p )2＝20. ∵Δ<0∴无解，即这样的三角形不存在． 综合①②知|PF 1||PF 2|＝2. 21．(12分)椭圆
x 2＋
y 2
b 2
＝1(0<b <1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ，过F 、B 、C 作⊙P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n )．
(1)当m ＋n >0时，求椭圆离心率的围； (2)直线AB 与⊙P 能否相切？证明你的结论．
解：(1)设F 、B 、C 的坐标分别为(－c,0)，(0，b )，(1,0)，那么FC 、BC 的中垂线分别为 x ＝1－c 2，y －b 2＝1b (x －12
)．
联立方程组，解得⎩⎨⎧
x ＝
1－c 2
y ＝b 2
－c
2b
.
m ＋n ＝1－c 2＋b 2－c
2b >0，即b －bc ＋b 2－c >0，
即(1＋b )(b －c )>0，∴b >c .
从而b 2>c 2，即有a 2>2c 2，∴e 2<1
2，
又e >0，∴0<e <
22
. (2)直线AB 与⊙P 不能相切． 由k AB ＝b ，k PB ＝b －
b 2－
c 2b 0－
1－c 2
＝b 2＋c
b (
c －1)，
如果直线AB 与⊙P 相切，那么b ·b 2＋c
b (
c －1)＝－1.
解得c ＝0或2，与0<c <1矛盾． ∴直线AB 不能与⊙P 相切．
22．(12分)椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，一条经过点(3，－5)且方向向量为a ＝(－2，5)的直线L 交椭圆C 于A 、B 两点，交x 轴于M 点，又AM →＝2MB →
. (1)求直线L 的方程；
(2)求椭圆C 长轴长取值的围．
解：(1)直线L 过点(3，－5)且方向向量a ＝(－2，5) ∴L 的方程为：x －3－2＝y ＋55即y ＝－5
2(x －1)
(2)设直线y ＝－52(x －1)和椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1
交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)和x 轴交点M (1,0)，由AM →＝2MB →
，知y 1＝－2y 2. 将x ＝－
2
5
y ＋1代入b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2中得 (45b 2＋a 2)y 2－4
5
b 2y ＋b 2(1－a 2)＝0 由韦达定理⎩⎪⎨
⎪⎧
y 1
＋y 2
＝45
b 245b 2
＋a
2
＝－y 2
①
y 1y 2
＝b 2
(1－a 2)4
5b 2
＋a
2
＝－2y 2
2②
∵有两交点，∴Δ＝(－
45
b 2)2－4(4
5b 2＋a 2)·b 2(1－a 2)>0
化简得：5a 2＋4b 2>5③
由①②消去y 2得：32b 2＝(4b 2＋5a 2)(a 2－1) 即4b 2
＝5a 2(a 2－1)
9－a 2
>0④
将④代入③得：5a 2
＋5a 2(a 2－1)
9－a 2
>5⑤
可求得1<a 2<9又椭圆的焦点在x 轴上，那么a 2>b 2 ∴4b 2＝
5a 2(a 2－1)
9－a 2
<4a 2
综合解得：1<a 2<41
9
可求得：1<a <
413
∴所求椭圆长轴长2a 的围是⎝⎛⎭⎫
2，2413.。