数列的概念练习题(有答案) 百度文库

一、数列的概念选择题
1．设数列{},{}n n a b 满足*172
700,,105
n n n n n a b a a b n N ++==+∈若6400=a ，则（ ） A ．43a a >
B ．43<b b
C ．33>a b
D ．44<a b
2．3……，则 ） A ．第8项
B ．第9项
C ．第10项
D ．第11项
3．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *=
∈≥，且()2cos
3
n n n a b n N π
*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120
B ．174
C ．204-
D ．
373
2
4．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
5．已知数列2233331131357135
1,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n
，则该数列第2019项是（ ） A ．
1019892 B ．
10
2019
2 C ．
11
1989
2 D ．
11
2019
2 6．数列{}n a 满足()1
1121n n n a a n ++=-+-，则数列{}n a 的前48项和为（ ）
A ．1006
B ．1176
C ．1228
D ．2368
7．已知数列{}n a ，若(
)12*
N
n n n a a a n ++=+∈，则称数列{}n
a 为“凸数列”.已知数列{}
n
b 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5
B ．5-
C ．0
D ．1-
8．数列23451,,,,,3579
的一个通项公式n a 是（ ） A ．
21n
n + B ．
23
n
n + C ．
23
n
n - D ．
21
n
n - 9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有
()()()f x f y f x y ⋅=+，若112
a =
，()()
*
n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（ ） A ．
1324
n S ≤< B ．
3
14
n S ≤< C ．102
n S <≤
D ．
1
12
n S ≤<
10．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列
{}n a 为周期数列，周期为T ．
已知数列{}n a 满足()111,1
0,{1
,01n n n n n
a a a m m a a a +->=>=<≤ ，则下列结论错误的是（ ） A ．若34a =，则m 可以取3个不同的数； B
．若m =
，则数列{}n a 是周期为3的数列；
C ．存在m Q ∈，且2m ≥，数列{}n a 是周期数列；
D ．对任意T N *∈且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列． 11．下列命题中错误的是（ ） A ．()(
)21f n n n N
+
=-∈是数列的一个通项公式
B ．数列通项公式是一个函数关系式
C ．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示
D ．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列
12．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．184
B ．174
C ．188
D ．160
13．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，
12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被
4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ） A ．24
B ．26
C ．28
D ．30
14．已知在数列{}n a 中，112,1
n n n
a a a n +==+，则2020a 的值为（ ） A ．
1
2020
B ．
1
2019
C ．
11010
D ．
11009
15．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32
f x f x f -=-=，数列
{}n a 满足11a =，且
21n n
S a n n
=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则
56()()f a f a +=（ ）
A ．1
B ．3
C ．-3
D ．0
16．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（ ）． A ．648
B ．722
C ．800
D ．882
17．已知数列{}n a 满足112n a +=+112
a =，则该数列前2016项的和为（ ） A ．2015
B ．2016
C ．1512
D ．
3025
2
18．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），(
)*
3n n N
≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，
若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
19．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则20
1
k
k a
=∑的值不可能是（ ） A ．2
B ．4
C ．10
D ．14
20．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（ ） A ．30
B ．20
C ．40
D ．50
二、多选题
21．若不等式1(1)(1)2n n
a n
+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
22．已知数列{}n a 满足112a =-，11
1n n
a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）
A ．2-
B ．
2
3
C ．
32
D ．3
23．(多选)在数列{}n a 中，若2
2
1(2,,n n a a p n n N p *
--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．
(){}1n
- 是等方差数列
C ．{}2
n
是等方差数列.
D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．2
3n S n n =- B ．2392
-=n n n
S
C ．36n a n =-
D ．2n a n =
25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12
d =
B ．12
d =-
C ．918S =
D ．936S =
26．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）
A ．若100S =，则50a >，60a <；
B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；
C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；
D ．若89S S <，则78S S <.
27．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
28．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >
D ．数列
{}n
a 也是等差数列
29．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=
B ．27S S =
C ．5S 最小
D ．50a =
30．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911
111
a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T >
D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <
31．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =
C ．95S S >
D ．67n S S S 与均为的最大值
32．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =
D ．当8n ≥时，0n a <
33．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（ ） A ．0d > B ．0d <
C ．80a =
D ．n S 的最大值是8
S 或者9S
34．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <
D ．613S S =
35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =
D ．15S 是最大值
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【分析】 由题意有13
28010
n n a a +=+且6400=a ，即可求34,a a ，进而可得34,b b ，即可比较它们的大小. 【详解】
由题意知：13
28010
n n a a +=
+，6400=a ， ∴345400a a a ===，而700n n a b +=， ∴34300b b ==， 故选：C 【点睛】
本题考查了根据数列间的递推关系比较项的大小，属于简单题.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据根号下的数字规律,可知为等差数列.利用等差数列性质求得通项公式,
即可判断为第几项. 【详解】
根据数列中的项,
…
由前几项可知,根式下的数列是以5为首项, 4为公差的等差数列 则根式下的数字组成的等差数列通项公式为()51441n a n n =+-⨯=+
而=
所以4541n =+ 解得11n = 故选:D 【点睛】
本题考查了等差数列通项公式的求法及简单应用,属于基础题.
3．B
解析：B 【分析】
将题干中的等式化简变形得2
11n n a n a n --⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由
此计算出(
)32313k k k b b b k N *
--++∈，进而可得出数列{}n
b 的前18项和.
【详解】
)1,2n a n N n *
--=
∈≥，将此等式变形得2
11n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
由累乘法得2
2
2
3
212
12
11211123n n n a
a a n a a a a a n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
， ()
2cos
3n n n a b n N π*=∈，22cos 3
n n b n π
∴=，
()()222
323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛⎫∴++=--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭592
k =-，
因此，数列{}n b 的前18项和为()5
91234566921151742
⨯+++++-⨯=⨯-=. 故选：B. 【点睛】
本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
4．A
解析：A 【分析】
根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，
充分性：
1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，
0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，
10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；
若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.
所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；
必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.
所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.
因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．
5．C
解析：C 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
项数为
21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号
里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，
故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11
21
2
m -， 所以第12个括号里的第995项是11
1989
2
. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.
6．B
解析：B 【分析】
根据题意，可知()
1
1121n n n a a n ++--=-，分别列出各项，再整理得出132a a +=，
248a a +=，572a a +=，6824a a +=，
，45472a a +=，4648184a a +=，可知，
相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16，利用分组
求和法，即可求出{}n a 的前48项和. 【详解】
解：由题可知，()1
1121n n n a a n ++=-+-，
即：()
1
1121n n n a a n ++--=-，则有：
211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，
659a a -=，7611a a +=，8713a a -=，9815a a +=，
，
474691a a +=，484793a a -=.
所以，132a a +=，248a a +=，572a a +=，6824a a +=，
，
45472a a +=，4648184a a +=，
可知，相邻的奇数项之和为2，相邻的偶数项之和为等差数列，首项为8，公差为16， 设数列{}n a 的前48项和为48S ， 则4812345645464748S a a a a a a a a a a =++++++
++++，
()()1357454724684648a a a a a a a a a a a a =+++++++++++++
1211
1221281611762
⨯=⨯+⨯+
⨯=， 所以数列{}n a 的前48项和为：1176. 故选：B. 【点睛】
本题考查数列的递推公式的应用，以及利用分组求和法求和，考查归纳思想和计算能力.
7．B
解析：B 【分析】
根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】
()*
21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-， ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-===
∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =， ∴20203366412345S S b b b b ⨯+==+++=-，
故选：B. 【点睛】
本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.
8．D
解析：D 【分析】
根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】
由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21
n n
a n =-. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.
9．D
解析：D 【分析】
根据题意得出111
2
n n n a a a a +==
，从而可知数列{}n a 为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出n S ，然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】
取1x =，(
)y n n N
*
=∈，由题意可得()()()111
112
n n n a
f n f f n a a a +=+=⋅==
， 11
2n n a a +∴
=，所以，数列{}n a 是以12为首项，以12
为公比的等比数列， 11112211212n n n S ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
∴==--，所以，数列{}n S 为单调递增数列，则11n S S ≤<，即
1
12
n S ≤<. 故选：D.
【点睛】
本题考查等比数列前n 项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
10．C
解析：C 【解析】
试题分析：A:当01m <≤时，由34a =得1;125m m =
<≤时，由34a =得54
m =； 2m >时，()2311,,24a m a m =-∈+∞=-= 得6m = ；正确 .
B:234111,11,1,m a a a =>∴==
==> 所以3T =，正
确．
C ：命题较难证明，先考察命题
D ．
D ：命题的否定为“对任意的T N *∈，且2T ≥，不存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列”，而由B 显然这个命题是错误的，因此D 正确，从而只有C 是错误． 考点：命题的真假判断与应用．
【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．此题首先要理解新定义“周期为T 的数列”，然后对A 、B 、C 、D 四个命题一一验证，A 、B 两个命题按照数列的递推公式进行计算即可，命题C 较难证明，但出现在选择题中，考虑到数学选择题中必有一个选项正确，因此我们先研究D 命题，并且在命题D 本身也很难的情况下，采取“正难则反”的方法，考虑命题D 的否定，命题D 的否定由命题B 很容易得出是错误的，从而命题D 是正确的．
11．C
解析：C 【分析】
根据通项公式的概念可以判定AB 正确；不难找到一些规律性不强的数列，找不到通项公式，由此判定C 错误，根据无穷数列的概念可以判定D 正确.
【详解】
数列的通项公式的概念：将数列{} n a 的第n 项用一个具体式子（含有参数n ）表示出来，称作该数列的通项公式，
故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，
它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n 唯一确定的，故AB 正确； 并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，
至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C 是错误的； 根据无穷数列的概念，可知D 是正确的. 故选:C. 【点睛】
本题考查数列的通项公式的概念和无穷数列的概念，属基础题，数列的通项公式是一种定义在正整数集上的函数，有穷数列与无穷数列是根据数列的项数来分类的.
12．B
解析：B 【分析】
根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得19a . 【详解】
3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,
所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=，
所以()()()
112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
()()1213n n =-+-+
++()()()1111332
2
n n n n -+⋅--=
+=+.
所以191918
31742
a ⨯=+=. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题.
13．B
解析：B 【分析】
先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解. 【详解】
由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，
此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6， 其中1+1+2+3+1+0=8，
则201819201812S S b b S b b =++=++381126=⨯++=， 故选：B.
14．C
解析：C 【分析】
由累乘法可求得2
n a n
=，即可求出. 【详解】
11
n n n a a n +=
+，即11n n a n a n +=+， 12
321123
21123
21
212
32n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⨯--2n
=， 202021
20201010
a ∴=
=. 故选：C.
15．C
解析：C 【分析】
判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +. 【详解】
依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2
f x f x -=，
所以()333332222f x f x f x f
x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ ()()()32f x f x f x ⎛⎫
=---=--= ⎪⎝⎭
，所以()f x 是周期为3的周期函数.
由
21n n S a n n
=-得2n n S a n =-①， 当1n =时，11a =，
当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，
①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），
所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，
652163a a =+=.
所以
56()()f a f a +=
()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-
故选：C 【点睛】
如果一个函数既是奇函数，图象又关于()0x a a =≠对称，则这个函数是周期函数，且周期为4a .
16．C
解析：C 【分析】
由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：2
22n a n =，即可得
出． 【详解】
由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式：2
22n a n =．
则此数列第40项为2220800⨯=． 故选：C
17．C
解析：C 【分析】
通过计算出数列的前几项确定数列{}n a 是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论． 【详解】 依题意，112
a =，
211122a =
，
3111222
a =
+=， ⋯
从而数列{}n a 是以2为周期的周期数列， 于是所求值为20161
(1)151222
⨯+=， 故选：C 【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是联想到数列的周期性并找到数列的周期.
18．A
解析：A 【分析】
根据条件得出数列{}n b 的周期即可.
【详解】
由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……
则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3， 故选：A
19．B
解析：B 【分析】
先由题中条件，得到2
12
21i i i a a a +-=+，由累加法得到20
2211
221k k a a ==-∑
，根据00a =，
()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.
【详解】
由11i i a a +=+得()2
221121i i i i a a a a +=+=++，
则21221i i i a a a +-=+， 所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，
……，
2202022121a a a -=+，
以上各式相加可得：()21120
2
21
0221
2 (20202)
k
k a a a a a a
=-
=+++++=∑，
所以20
22121
1220
k k a a a ==--∑
，
又00a =，所以2
12
0211a a a =++=，则20
2211
221
k k a a ==-∑
，
因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或
2，
所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或
4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，
以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或
21±，
因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，
所以22112
2a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，
170，210；
则
20
1
k
k a
=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，
即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：
求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20
22121
1220
k k a a a ==--∑
，将问题
转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.
20．B
解析：B 【分析】
利用等差数列{}n a 的通项公式代入可得574a a -的值. 【详解】
由13920a a a ++=，得131020a d +=，
则有5711144(4)631020a a a d a d a d -=+--=+=. 故选：B. 【点睛】
考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.
二、多选题 21．ABC 【分析】
根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】
根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减
解析：ABC 【分析】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+
a n
-<恒成立，当n 为偶数时有1
2a n
<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n
+--<+对于任意正整数n 恒成立，
当n 为奇数时有：1
2+a n
-<恒成立， 由12+
n 递减，且1
223n
<+≤， 所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：1
2a n
<-恒成立， 由12n -
第增，且31
222n ≤-<， 所以3
2
a <
， 综上可得：322
a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】
本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.
22．BD 【分析】
根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】 因为数列满足，， ； ； ；
数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要
解析：BD 【分析】
根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】
因为数列{}n a 满足112
a =-，11
1n n a a +=-，
2121
31()
2
a ∴=
=--；
32
1
31a a =
=-；
41311
12
a a a =
=-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-
，2
3
，3； 故选：BD ． 【点睛】
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．
23．BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故
解析：BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222
(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故
{}n
a 不是等方差数列，故A 错误；
对于B ，数列(){
}
1n
-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n
∴-是等方
差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2
n
中，()()
22
221
11
2
234n
n n n
n a
a
----=-=⨯不是常数，{}
2n
∴不是等方差
数列，故C 错误； 对于D ，
{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数
列，()()2
2
2
112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，
故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，22
10n n a a --=是常数，故D 正确.
故选：BD. 【点睛】
关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.
24．BC 【分析】
由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式
【详解】
解：设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以， ， 故选：BC
解析：BC 【分析】
由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，46a =，
所以1
132302
36
a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，
21(1)3(1)393222
n n n n n n n
S na d n ---=+=-+=
， 故选：BC
25．BD 【分析】
由等差数列下标和性质结合前项和公式，求出，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】 因为， 所以．
因为，，所以公差． 故选：BD
解析：BD 【分析】
由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】
因为1937538a a a a +=+=+=，
所以()199998
3622
a a S +⨯=
==． 因为35a =，73a =，所以公差731
732
a a d -==--． 故选：BD
26．ABD 【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】
对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即，
根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A 正
解析：ABD 【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】
对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()
02
a a S +=
=，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，
所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯=
==>，116891616()16()
022
a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为1158
15815()15215022
a a a S a +⨯=
==>，则80a >， 116891616()16()022
a a a a S ++=
==，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；
对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD
【点睛】
解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.
27．BD 【分析】
依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】
依据题意，根数从上至下构成等差
解析：BD 【分析】
依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】
依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：
()()
111110022n n n d n n S na na --=+
=+= 整理得1200
21a n n
=
+-， 因为1a *
∈N ，所以n 为200的因数，()200
12n n
+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.
28．AB 【分析】
根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】
依题意，等差数列中，即， .
对于A 选项，，所以A 选项正确.
对于C 选项，，，所以，
解析：AB
【分析】
根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】
依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，
1149249,2
a d a d =-=-. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，1492
a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-
+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22
n n -
≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}n
a 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误. 故选：AB
【点睛】
等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.
29．BD
【分析】
设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误.
【详解】
设等差数列的公差为，则，，
因为、、成等差数列，则，即，
解得，，
解析：BD
【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282
S a d a d ⨯=+=+，9119899362
S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，
解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122
n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S
d -⨯==-，A 选项错误；
对于B 选项，()2229272d
S d -⨯==-，()2779772
d
S d -⨯==-，B 选项正确； 对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
. 若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误；
对于D 选项，50a =，D 选项正确.
故选：BD.
【点睛】 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.
30．AC 【分析】 将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项
【详解】
由，可得，令，
，
所以是奇函数，且在上单调递减，所以，
所以当数列为等差数列时，；
解析：AC
【分析】
将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212
a a e e -+-≤++，构造函数()1112
x f x e =
-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项
由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112
x f x e =-+， ()()1111101111
x
x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++， 所以()1112
x f x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********
a a S +=≥； 当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()
2021202110110T a =>.
故选：AC
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 31．ABD
【分析】
由，判断，再依次判断选项.
【详解】
因为，，
，所以数列是递减数列，故，AB 正确；
，所以，故C 不正确；
由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D 正确.
故选：AB
解析：ABD
【分析】
由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项.
【详解】
因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，
788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确； ()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；
由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.
【分析】
利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.
【详解】
因为，所以 ，
因为，所以，
所以等差数列公差，
所以是递减数列，
故最大，选项A
解析：AD
【分析】
利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.
【详解】
因为67S S <，所以7670S S a -=> ，
因为78S S >，所以8780S S a -=<，
所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，
所以{}n a 是递减数列，
故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；
10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，
所以310S S ≠，故选项C 不正确；
当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；
故选：AD
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.
33．BD
【分析】
由，即，进而可得答案．
【详解】
解：，
因为
所以，，最大，
故选：．
本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题． 解析：BD
【分析】
由6111160S S S S =⇒-=，即950a =，进而可得答案．
【详解】
解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==，
因为10a >
所以90a =，0d <，89S S =最大，
故选：BD ．
【点睛】
本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．
34．AD
【分析】
由求出，即，由此表示出、、、，可判断C 、D 两选项；当时，，有最小值，故B 错误.
【详解】
解：，，故正确A.
由，当时，，有最小值，故B 错误.
，所以，故C 错误.
，
，故D 正确.
解析：AD
【分析】
由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.
【详解】
解：1385a a S +=，111110875108,90,02
d a a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.
9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.
61656+5415392
d S a d d d ⨯==-+=-， 131131213+
11778392d S a d d d ⨯==-+=-，故D 正确.
【点睛】
考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.
35．CD
【分析】
根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案；
【详解】
，，
设，则点在抛物线上，
抛物线的开口向下，对称轴为，
且为的最大值，
解析：CD
【分析】
根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案；
【详解】
1118S S =，∴0d <，
设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，
抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，
∴1514S S =且为n S 的最大值，
1118S S =12131815070a a a a ⇒++
+=⇒=， ∴129291529()2902
a a S a +===， 故选：CD.
【点睛】
本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。