15用待定系数法求二次函数的解析式教案

用待定系数法求二次函数的解析式
一、教学目标
(一)知识与技能：会用待定系数法求二次函数的解析式，根据条件恰当设二次函数解析式形式，体会二次函数解析式之间的转换.
(二)过程与方法：使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系，发展概括及分析问题、解决问题的能力.
(三)情感态度与价值观：让学生在学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣.
二、教学重点、难点
重点：运用待定系数法求二次函数解析式.
难点：根据条件恰当设二次函数解析式形式.
三、教学过程
知识预备
1.已知一次函数经过点(1，3)和(-2，-12)，求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y =kx +b .
∵ 一次函数经过点(1，3)和(-2，-12)
∴ 得关于k ，b 的二元一次方程组：⎩⎨⎧-=+-=+1223b k b k ，解得⎩
⎨⎧-==25b k ∴ 这个一次函数的解析式为y =5x -2.
2.解三元一次方程组：⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=+-③②①6143243c b a c b a c b a
解：由①-③与②-③得二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=-⑤④82222b a b a
解这个方程组，得⎩
⎨⎧==32b a 把a =2，b =3代入③得 c =1
因此，三元一次方程组的解为⎪⎩
⎪⎨⎧===132c b a
探究
我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，探究下面的问题：
(1)由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
(2)如果一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
分析：确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式y =kx +b ，需求出k ，b 的值.用待定系数法，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标，列出关于k ，b 的二元一次方程组就
可以求出k ，b 的值.类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式y =ax 2+bx +c ，需求出a ，b ，c 的值.由不共线三点(三点不在同一直线上)的坐标，列出关于a ，b ，c 的三元一次方程组就可以求出a ，b ，c 的值.
解：(2)设所求二次函数为y =ax 2+bx +c .
由已知，函数图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得关于a ，b ，c 的三元一次方
程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解这个方程组，得⎪⎩
⎪⎨⎧=-==532c b a
因此，所求二次函数的解析式为y =2x 2-3x +5.
知识梳理
知识点 用待定系数法求二次函数的解析式
求二次函数y =ax 2+bx +c 的解析式，关键是求出待定系数a ，b ，c 的值.由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a ，b ，c 的方程组，求出a ，b ，c 的值，就可以写出二次函数的解析式.
例 已知抛物线的顶点是(1，-3)，且经过点M(2，0)，求抛物线的解析式.
解：由抛物线的顶点是(1，-3)，可设抛物线的解析式为：y =a (x -1)2-3
∵ 抛物线经过点M(2，0)
∴ 0=a ×(2-1)2-3，解得 a =3
∴ 抛物线的解析式为：y =3(x -1)2-3，即y =3x 2-6x
归纳总结
二次函数解析式的类型及适用情况
练习
1.一个二次函数，当自变量x =0时，函数值y =-1，当x =-2与
2
1时，y =0.求这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，依题意得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+--=021410241c b a c b a c 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===1231c b a
因此，所求二次函数的解析式为y =x 2+
2
3x -1. 2. 一个二次函数的图象经过(0，0)，(-1，-1)，(1，9) 三点.求这个二次函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，依题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-=910c b a c b a c 解这个方程组，得⎪⎩
⎪⎨⎧===054c b a
因此，所求二次函数的解析式为y =4x 2+5x .
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？
2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.。