河北省唐山市八年级(上)期末数学试卷

八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共48.0分）
1.下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.下列根式中是最简二次根式的是（）
A. 8
B. 4
C. 12
D. 7
3.下列各数中，没有平方根的是（）
A. −32
B. |−3|
C. (−3)2
D. −(−3)
4.下列运算结果正确的是（）
A. (−3)2=−3
B. (−2)2=2
C. 6÷3=2
D. 16=±4
5.若代数式12−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A. x>2
B. x<2
C. x≠−2
D. x≠2
6.解分式方程1x−1-2=31−x，去分母得（）
A. 1−2(x−1)=−3
B. 1−2(x−1)=3
C. 1−2x−2=−3
D. 1−2x+2=3
7.已知等腰三角形的两边x，y满足x−4+y−8=0，则等腰三角形周长（）
A. 16
B. 12
C. 20
D. 20或16
8.下列二次根式中，与3可以合并的根式是（）
A. 18
B. 23
C. 23
D. 127
9.如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法
判定△ABC≌△ADC的是（）
A. CB=CD
B. ∠BAC=∠DAC
C. ∠BCA=∠DCA
D. ∠B=∠D=90∘
10.如图是一个以O为对称中心的中心对称图形，若∠A=30°，∠C=90°，OC=1，则AB
的长为（）
A. 2
B. 4
C. 23
D. 43
11.如图，AB∥FC，E是DF的中点，若AB=20，CF=12，
则BD等于（）
A. 12
B. 8
C. 6
D. 10
12.已知x=3+1，y=3-1，则x2+xy+y2的值为（）
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，以B为圆心，BC的长
为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ADB=（）
A. 100∘
B. 160∘
C. 80∘
D. 20∘
14.如图，△ABC的面积为6，AC=3，现将△ABC沿AB所在直线
翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，
则线段BP的长不可能是（）
A. 3
B. 4
C. 5.5
D. 10
15.如图，△ABC的顶点A，B，C在边长
为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC
于点D，则BD的长为（）
A. 45
B. 85
C. 165
D. 245
16.如图，△ABC的面积为10cm2，BP是∠ABC的平分线，
AP⊥BP于P，则△PBC的面积为（）
A. 4cm2
B. 5cm2
C. 6 cm2
D. 7 cm2
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
17.化简：38−532的结果为______．
18.已知2m+2的平方根是±4，则m=______．
19.若a=3-2018，则代数式a2-6a-9的值是______．
20.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，D点从A
出发以每秒1cm的速度向B点运动，当D点运动到AC的中
垂线上时，运动时间为______秒．
三、计算题（本大题共2小题，共24.0分）
21.（1）化简，再求值：aa−2÷(aa−2−4aa2−4)，其中a=2+2．
（2）计算：(5−2)(5+2)+(3−1)2．
22.先阅读，再解答
由(5+3)(5−3)=(5)2−(3)2=2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2，请完成下列问题：
（1）2-1的有理化因式是______；
（2）化去式子分母中的根号：232=______，33−6=______．
（3）2019-2018______2018-2017（填＞或＜）
（4）利用你发现的规律计算下列式子的值：
(12+1+13+2+14+3+…+12018+2017)(2018+1)
四、解答题（本大题共4小题，共36.0分）
23.如图，在△ABC中，AB=AC=8cm．
（1）作AB的垂直平分线，交AC于点M，交AB于点N；
（2）在（1）的条件下，连接MB，若△MBC的周长是14cm，
求BC的长．
24.某八年级计划用360元购买笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以
打九折，结果买得的笔记本比打折前多10本．
（1）请利用分式方程求出每本笔记本的原来标价；
（2）恰逢文具店周年志庆，每本笔记本可以按原价打8折，这样该校最多可购入本笔记本？
25.如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，
AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
26.已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10．
（1）求BC的长；
（2）有一动点P从点C开始沿C→B→A方向以1cm/s的速度运
动到点A后停止运动，设运动时间为t秒；求：
①当t为几秒时，AP平分∠CAB；
②当t为几秒时，△ACP是等腰三角形（直接写答案）．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】
解：A、=2，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、=2，不是最简二次根式，故此选项错误；
C、=2，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、是最简二次根式，故此选项正确；
故选：D．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键．
3.【答案】A
【解析】
解：A、-32=-9＜0，故本选项正确；
B、|-3|=3＞0，故本选项错误；
C、（-3）2=9＞0，故本选项错误；
D、-（-3）=3＞0，故本选项错误．
故选：A．
由于负数没有平方根，那么只要找出A、B、C、D中的负数即可．
本题主要考查了平方根的定义及性质．
定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方
根．
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平
方根．
4.【答案】B
【解析】
解：A、=3，故此选项错误；
B、（-）2=2，正确；
C、÷=，故此选项错误；
D、=4，故此选项错误；
故选：B．
直接利用二次根式的性质分别分析得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
5.【答案】D
【解析】
解：由题意，得
2-x≠0，
解得x≠2，
故选：D．
根据分母不能为零，可得答案．
本题考查了分是有意义的条件，利用分母不能为零得出不等式是解题关键．
6.【答案】A
【解析】
解：分式方程整理得：-2=-，
去分母得：1-2（x-1）=-3，
故选：A．
分式方程变形后，两边乘以最简公分母x-1得到结果，即可作出判断．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
7.【答案】C
【解析】
解：根据题意得，x-4=0，y-8=0，
解得x=4，y=8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长=4+8+8=20．
所以，三角形的周长为20．
故选：C．
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
8.【答案】D
【解析】
解：A、原式=3与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、原式=2，与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、原式=，与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、原式=，与是同类项，能合并，故本选项正确；
故选：D．
只有同类二次根式才能合并，根据同类二次根式的定义，结合各选项进行判断即可．
本题考查了同类二次根式的定义，属于基础题，注意一定要将根式化为最简
后再判断是否为同类二次根式．
9.【答案】C
【解析】
解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；
D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选：C．
要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10.【答案】B
【解析】
解：∵∠A=30°，∠C=90°，OC=1，
∴AO=2，
∵如图是一个以O为对称中心的中心对称图形，
∴BO=AO=2，
∴AB=4．
故选：B．
直接利用直角三角形的性质得出AO的长，再利用中心对称图形的性质得出AO=BO，即可得出答案．
此题主要考查了中心对称图形，正确得出AO的长是解题关键．
11.【答案】B
【解析】
解：∵AB∥FC
∴∠ADE=∠EFC
∵E是DF的中点
∴DE=EF
∵∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE
∴AD=CF
∵AB=20，CF=12
∴BD=AB-AD=20-12=8．
故选：B．
根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD=CF，已知AB，CF的长，那么BD的长就不难求出．
此题目主要考查全等三角形的判方法的掌握．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
12.【答案】A
【解析】
解：∵x=+1，y=-1，
∴x+y=2，xy=2，
∴x2+xy+y2
=（x+y）2-xy
=
=12-2
=10，
故选：A．
根据x=+1，y=-1，可以求得x+y和xy的值，从而可以求得所求式子的值．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的
方法．
13.【答案】A
【解析】
解：∵AB=AC，∠A=20°，
∴∠ABC=∠ACB=80°，
又∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=80°，
∴∠ADB=180°-80°=100°，
故选：A．
在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=80°，在△BCD中可求得∠BDC=80°，可求出∠ADB．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
14.【答案】A
【解析】
解：如图：
过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，
∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上
的C′处，
∴∠C′AB=∠CAB，
∴BN=BM，
∵△ABC的面积等于6，边AC=3，
∴×AC×BN=6，
∴BN=4，
∴BM=4，
即点B到AD的最短距离是4，
∴BP的长不小于4，
即只有选项A的3不正确，
故选：A．
过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根据折叠得出∠C′AB=∠CAB，根据角平分线性质得出BN=BM，根据三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的最短距离是4，得出选项即可．
本题考查了折叠的性质，三角形的面积，角平分线性质的应用，解此题的关键是求出B到AD的最短距离，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
15.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了勾股定理及三角形的面积等知识，解题的关键是利用勾股定理求出AC的长，此题难度一般．
根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：如图所示：
S△ABC=×BC×AE=×BD×AC，
∵AE=4，AC==5，BC=4，
即×4×4=×5×BD，
解得：BD=．
故选C．
16.【答案】B
【解析】
解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP=PE，
∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，
∴S△PBC=S△ABC=×10=5（cm2），
故选：B．
根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△PBC=S△ABC，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
17.【答案】−142
【解析】
解：原式=-20=-14．
运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．
18.【答案】7
【解析】
解：由题意知2m+2=16，
解得：m=7，
故答案为：7．
由平方根的定义知2m+2=16，解之可得．
本题主要考查平方根，解题的关键是掌握平方根的定义．
19.【答案】2000
【解析】
解：∵a=3-，
∴a2-6a-9
=9-6+2018-18+6-9
=2000，
故答案为：2000．
将a的值代入所求的式子，即可解答本题．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的
方法．
20.【答案】254
【解析】
解：如图所示：
∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，
∴AC=，
∵ED'是AC的中垂线，
∴CE=5，
连接CD'，
∴CD'=AD'，
在Rt△BCD'中，CD'2=BD'2+BC2，
即AD'2=62+（8-AD'）2，
解得：AD'=，
∴当D点运动到AC的中垂线上时，运动时间为秒，
故答案为：
画出图形，根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理构建直角三角形进行解答．
21.【答案】（1）解：aa−2÷(aa−2−4aa2−4)
=aa−2÷a(a+2)−4a(a+2)(a−2)
=aa−2•(a+2)(a−2)a(a−2)
当a=2+2时，
原式=2+2+22+2−2=2+42=1+22；
（2）解：原式=5-2+3-23+1
=7-23．
【解析】
（1）先把括号内的分式通分并利用同分母分式的减法法则计算，再把除法转化为乘法，然后根据分式的乘法运算计算，最后把a的值代入进行计算即可；（2）先利用平方差公式与完全平方公式分别计算乘法与平方，再利用有理数的加减法则计算即可．
本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简，掌握运算法则是解题的关键．
22.【答案】2+1 233+6＜
【解析】
解：（1）-1的有理化因式是+1．
故答案为+1；
（2）==，==3+．
故答案为，3+；
（3）=+，=+，
∵＞，
∴＞，
∴-＜-．
故答案为＜；
（4）原式=（-1+-+-+…+-）（+1）
=（-1）（+1）
=2018-1
=2017．
（1）根据有理化因式的定义求解；
（3）通过比较它们的倒数大小进行判断，利用分母有理化得到
=+；=+，然后进行大小比较；
（4）先根据规律=-化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事
半功倍．
23.【答案】解：（1）如图所示：
（2）∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∵△MBC的周长是14cm，
∴MB+MC+BC=AM+CM+BC=AC+BC=14cm，
∵AC=8cm，
∴BC=6cm．
【解析】
（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可；
（2）由线段的垂直平分线的性质可得：AM=BM，从而将△MBC的周长转化为：AM+CM+BC，即AC+BC=14cm，依此可求BC．
此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的作法与性质，熟记用尺规作线段垂直平分线及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：（1）设笔打折前售价为x元，则打折后售价为0.9x元，
由题意得：360x+10=3600.9x，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的根．
答：打折前每支笔的售价是4元；
（2）购入笔记本的数量为：360÷（4×0.8）=112.5（本）．
故该校最多可购入112本笔记本．
（1）根据打折后购买的数量比打折前多10本，进而得出等式求出答案；（2）先求出打8折后的标价，再根据数量=总价÷单价，列式计算即可求解．此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
25.【答案】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°
AC=BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形
∵Rt△ABC≌Rt△DCB
∴∠ACB=∠DCB
∴OB=OC
∴△OBC是等腰三角形
【解析】
（1）根据已知条件，用HL公理证：Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2）利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可证明△OBC是等腰三角形．此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的
理解和掌握．
26.【答案】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，
∴BC=AB2−AC2=102−62=8；
（2）①如图1所示，
过点P作PD⊥AB于点D，
∵AP平分∠CAB，
∴PD=PC．
在Rt△APD与Rt△APC中，
PD=PCAP=AP，
∴Rt△APD≌Rt△APC（HL），
∴AD=AC=6，
∴BD=10-6=4．
设PC=x，则PB=8-x，
在Rt△BPD中，PD2+BD2=PB2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3，
∴当t=3秒时，AP平分∠CAB；
②如图2所示，
当点P在BC上时，
∵AC=P1C=6，
∴t=6秒；
当点P在AB上，AC=AP2时，
∵AC=AP2=6，
∴BC+BP2=8+4=12，
当AC=P3C时，如图3所示，
过点D作CD⊥AB于点D，则AD=DP3，
∴ADAC=ACAB，即AD6=610，解得AD=3.6，
∴AP3=7.2，
∴BC+BP3=8+（10-7.2）=10.8，
∴t=10.8秒；
当CP4=AP4时，如图4所示，过点P4作P4E⊥AC于点E，
∵CP4=AP4，AC=6，
∴AE=12AC=3，
∴AEAP4=ACAB，即3AP4=610，解得AP4=5，
∴BC+BP4=8+（10-5）=13，
∴t=13秒．
综上所述，t=6或t=10.8或t=12或t=13秒时，△ACP是等腰三角形．
【解析】
（1）直接根据勾股定理求出BC的长即可；
（2）①过点P作PD⊥AB于点D，根据角平分线的性质可得出PD=PC，由HL 定理可得出Rt△APD≌Rt△APC，故AD=AC，设PC=x，则PB=8-x，在Rt△BPD 中根据勾股定理求出x的值即可得出结论；
②当点P在BC上时，只有AC=PC两种情况；当点P在AB上时，分AP=AC，PC=AC，AC=AP三种情况进行讨论．
本题考查的是勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．。