人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题三(含答案) (78)

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直
平分线的性质考试复习题三（含答案)
如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，25B ∠=︒一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点A 为圆心，以适当的长为半径画弧，交AB 于点P ，交AC 的延长线于点Q ；分别以点P 、Q 为圆心，以大于1
2
PQ 的长为半径画弧，两弧交于点G ， ②分别以点B 、C 为圆心，以大于12
BC 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N 两点，直线MN 交AG 于D .
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题：
（1）ADM ∠的度数为______；
（2）作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥交AC 的延长线于F ，求证：BE CF =.
【答案】（1）20︒；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图，根据尺规作图可得AD 为∠BAC 的角平分线，得到∠BAD=1
2
∠BAC =45°，又MN 是BC 的垂直平分线，根据25B ∠=︒，得到∠BHD=90°-
65B ∠=︒，再根据外角定理即可求解；
（2）连接BD 、CD,根据垂直平分线的性质得到BD=CD ，由DE AB ⊥，DF AC ⊥可证明∠BDE ≌△DCF ，故可求解.
【详解】
（1）如图，根据尺规作图可得AD 为∠BAC 的角平分线，
∴∠BAD=12
∠BAC =45°， 又MN 是BC 的垂直平分线，∴MN ⊥BC ，设AB 与MN 交于H 点， ∵25B ∠=︒，
∴∠BHD=90°-65B ∠=︒，
∴ADM ∠=∠BHD-∠BAD=20°；
（2）连接BD 、CD,
∵MN 垂直平分BC ，
∴BD=CD ，
由DE AB ⊥，DF AC ⊥，AD 平分∠BAC
∴DE=DF ，∠BED=∠CFD
∴∠BDE ≌△DCF （HL ）
∴BE CF =
【点睛】
此题主要考查三角形的证明，解题的关键是熟知垂直平分线与角平分线的性质.
72．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P 到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t （t＞0）秒．
（1）设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；
（2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．
【答案】（1）S＝12﹣2t；（2）1.5
【解析】
【分析】
（1）分0＜t≤3和3＜t≤5两种情况，表示出BQ的长度，根据三角形的面积公式可得；
（2）根据线段的垂直平分线的性质求出AP＝AQ，得出3﹣t＝t，求出即可.
【详解】
解：（1）如图1，当0＜t≤3时，
BQ＝t，BC＝4，
∴S＝1
2
×4×t＝2t；
如图2，当3＜t≤5时，
，
AQ＝t﹣3，
则BQ＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，
∴S＝1
2
×4×（6﹣t）＝12﹣2t；
（2）如图3，
∵QP的垂直平分线过A，
∴AP＝AQ，
∴3﹣t＝t，解得t＝1.5；
或t﹣3＝t，显然不成立；
∴AP＝AQ＝1.5．
【点睛】
本题考查线段的垂直平分线的性质和三角形的面积公式，解题的关键是分情况讨论，掌握线段的垂直平分线的性质和三角形的面积公式.
=，73．如图1所示是一个用四根木条钉成的作图工具，其中AB AD
=，两根木条的连接处是可以转动的，几名同学在一起讨论这个工具的BC DC
用途.
(1)小明发现用这个工具可以快速作出角平分线在下面的几种用法中，能作∠的平分线的有_______.(写出所有正确的序号)
出MON
①OC 是MON ∠的平分线； ②OB 是MON ∠的平分线； ③OA 是MON ∠的平分线
(2)对于这个工具的其它用途，小兰发现可以用它作线段的垂直平分线. 请结合图2补全结论并给出证明.
已知：如图2，AB AD =，BC DC =.
求证：________垂直平分__________.
(3)对于这个工具的其它用途，小红认为通过多次操作可以用它作平行线.你同意吗？如果同意，请画示意图说明如何操作；如果不同意，请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据全等三角形的判定SSS 判断即可;(2)根据垂直平分线的判定解答即可;(3)根据角平分线的性质及平行线的性质解答即可.
【详解】
解：①如图所示；
在△ABC 和△ADC 中
AD AB CD CB AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
, ∴△ABC ≌△ADC, ∴∠DAC=∠BAC 即∠MOC=∠NOC, ∴OC 是MON ∠的平分线;故①正确；②中△AOB 和△COM 不全等,不能得出∠AOB=∠COB,故②错误;类比①的证法，可得出③中△BAC ≌△DAC,进而得出∠MOA=∠NOA,即OB 是MON ∠的平分线.
②求证：AC 垂直平分BD;
证明：连接AC,BD,
∵AB=AD,
∴点A 在线段BD 的垂直平分线上，
∵BC=DC,
∴点C 在线段BD 的垂直平分线上，
∴AC 垂直平分BD.
③同意；
理由:如图所示：
首先利用（1）中的方法做、作∠MON 的平分线OC,再用同样的方法作∠CBN 的角平分线BF ，根据∠COB=∠FBE=12
∠MON,所以OC ∥
BF.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定及平行线的性质，解题的关键是灵活运用这些性质.
74．如图，己知ABC ∆，按下列要求画图．
（1）画出ABC ∆的高线AD ．
（2）画出ABC ∆的角平分线BE ．
（3）画出ABC ∆的中线CF ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）依据过一点作一条直线的垂线的作法，过点A 作AD ⊥CB 交CB 的延长线于D ，则AD 为高；
（2）作∠ABC 的平分线交AC 于E ，则BE 为△ABC 的平分线；
（3）作AB 的垂直平分线交AB 于F ，连接CF ，则CF 为△ABC 的中线．
【详解】
解：（1）ABC ∆的高线AD 如图所示；（2）ABC ∆的角平分线BE 如图所示；
（3）ABC ∆的中线CF 如图所示.
【点睛】
本题考查作图——复杂作图，三角形的角平分线、中线和高.会用尺、圆规过直线外一点作一条直线的垂线是解决（1）的关键，会作角的角平分线和线段的垂直平分线是解决（2）（3）的关键.
75．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，D 为BC 边上的中点，CE AD ⊥于点E ，//BF AC 交CE 的延长线于点F .
(1)求证：ACD CBF ∆∆≌；
(2)求证：AB 垂直平分DF .
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【解析】
【分析】
（1）根据ASA 判定△ACD ≌△CBF 即可；
（2）由（1）得到BF=CD ，由D 为BC 中点，根据中点定义得到CD=BD ，等量代换得到BF=BD ，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC=∠ABF ，即BA
是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可．【详解】
解：（1）∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBF；
（2）连接DF，
由（1）得CD=BF
∵D为BC边上的中点
∴CD=BD=1
2 BC
∴BF=BD
∴△BFD为等腰直角三角形∵∠ACB=90°，CA=CB，∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF ，即BA 是∠FBD 的平分线．
∴根据等腰三角形三线合一的性质有BA ⊥FD ，BA 平分边FD ，
即AB 垂直平分DF ．
【点睛】
主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识．要注意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
76．如图，已知ABC △的外角FAC ∠的平分线交BC 边的垂直平分线于点P .PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E .
（1）求证：BD CE =
（2）若6AB =，12AC =，求AD 的长
【答案】（1）见解析；（2）3．
【解析】
【分析】
（1）连接PB 、PC ，根据线段垂直平分线的性质得到PB=PC ，根据角平分线的性质得到PD=PE ，证明Rt △BPD ≌Rt △CPE ，根据全等三角形的性质可得
BD CE =；
（2）证明Rt △ADP ≌Rt △AEP ，得到AD=AE ，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】
（1）证明：连接PB 、PC ，
∵PQ 是BC 边的垂直平分线，
∴PB=PC ，
∵AP 平分∠DAC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，
∴PD=PE ，
在Rt △BPD 和Rt △CPE 中，
PB=PC PD=PE ⎧⎨⎩
， ∴Rt △BPD ≌Rt △CPE ，
∴BD=CE ；
（2）解：在Rt △ADP 和Rt △AEP 中，
PD=PE AP=AP ⎧⎨⎩
， ∴Rt △ADP ≌Rt △AEP ，
∴AD=AE ，
∵BD=CE ，6AB =，12AC =，
∴AD+6=12-AD ，
解得，AD=3．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
77．如图所示,在BC 上找一点D ,使得DE DF =,且有DE AB ⊥交AB 于点D ,DF AC ⊥交AC 于点F ,求证：AD 垂直平分EF .
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
求出DE=DF ，∠AED=∠AFD=90°，根据HL 证Rt △AED ≌Rt △AFD ，推出AE=AF ，根据等腰三角形性质推出即可．
【详解】
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，
DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°，
在Rt △AED 和Rt △AFD 中
AD AD DE DF =⎧⎨=⎩
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分EF.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定(HL)与性质、角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定(HL)与性质、角平分线的性质和线段垂直平分线的性质.
78．如图，已知：AB=AD，BC=CD，∠ABC=∠ADC，AC是否是线段BD的垂直平分线?请说明理由.
【答案】AC是线段BD的垂直平分线.具体见解析.
【解析】
【分析】
由AB=AD，BC=CD，根据线段垂直平分线的判定，可得：点A在BD的垂直平分线上，点C在BD的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，即可证得结论．
【详解】
AC是线段BD的垂直平分线.
理由：∵AB=AD，BC=CD，
∴点A在BD的垂直平分线上，点C在BD的垂直平分线上，
∴AC是线段BD的垂直平分线.
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质.
79．如右图，已知点P是线段MN外一点，请利用直尺和圆规画一点Q，使得点Q到M、N两点的距离相等，且点Q与点M、P在同一条直线上．（保留作图痕迹）
【答案】作图见解析
【解析】
【分析】
先作出MN的垂直平分线，然后连接P，M两点，并延长交MN的垂直平分线于一点，则交点为所求.
【详解】
解：先作MN垂直平分l,连接P，M两点，延长PM交l于点Q，则Q点为所求.
【点睛】
此题主要考查线段的垂直平分线的作法，熟知线段垂直平分线上到线段两个端点的距离相等是解题关键．
的平分线交于点80．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE与A
E．EF⊥AB交AB的延长线于点F．EG⊥AC于点G．
求证：BF=CG．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线求出BE=CE，根据角平分线性质求出EF=GE，证出Rt△BFE≌Rt△CGE即可；
【详解】
证明：（1）连接BE和CE，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠BFE=∠EGC=90°，
EF=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中
BE=EC
EF=EG
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF=CG；
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，综合运用性质进行推理是解此题的关键.。