(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试(答案解析)(2)

一、选择题
1．直线y kx b =+与曲线()y f x =相切也与曲线()y g x =相切，则称直线y kx b =+为曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线，已知()x f x e =，()ln 2g x x =+，直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则直线l 的方程为（ ） A ．1
y x e
=
或1y x =- B ．y ex =-或1y x =-- C ．y ex =或1y x =+ D ．1
y x e
=-
或1y x =-+ 2．设(
)ln f x =()2f '=（ ）
A ．
45 B ．
15
C ．
25
D ．
35
3．日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为()5284100c x x
=
-（80100x <<）.当净化到95%时所需净化费用的瞬时变化率为（ ）元/吨. A ．5284
B ．1056.8
C ．211.36
D ．105.68
4．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()
000
21x f x x f x lim x
∆→+∆-=∆,则()0'f x = （ ）
A ．2
B ．1
C ．
12
D ．0
5．设函数2
()sin f x x ππ
=-
在(0,)+∞上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点0(,0)x 处
的切线上有一点P ，曲线2
3ln 2
y x x =-上有一点Q ，则||PQ 的最小值为（ ） A
．
5
B
C
D
．
10
6．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭
（ ） A ．
12e
- B ．2e - C ．1-
D ．e
7．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有
()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是
“上进”函数的个数是（ ） ①()x x f x e =
，②(
)f x =，③()()ln 1x f x x
+=，④()2
1x
f x x =+．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
8．已知函数ln ,0
()3,0
x x f x kx x >⎧=⎨-≤⎩的图像上有两对关于y 轴对称的点，则实数k 的取值范
围是（ ） A ．(),0e -
B ．-21,02e ⎛⎫
-
⎪⎝⎭ C ．()
2
,0e -
D ．()
2
2,0e -
9．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ） A ．3
B ．
13
C ．2
D ．
12
10．已知函数()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '<，则有（ ） A ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f < B ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f > C ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f > D ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f <
11．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）
A B C D 12．已知定义在()0+∞，
上的函数()()2
6ln 4x m g x f x x x =+=-，，设两曲线()y f x =与()y g x =在公共点处的切线相同，则m 值等于（ ）
A ．5
B ．3
C ．3-
D ．5-
二、填空题
13．已知函数()f x 的导函数是()'f x ，且满足()sin cos 4f x x x π'
⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，则6f π⎛⎫
'= ⎪⎝⎭
______. 14．已知直线1y x =+是曲线()()ln f x x a =+的切线，则a =_________.
15．若函数()ln f x x =与函数()()2
g 2ln 0x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范
围是________.
16．若直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的图像相切，则a 的值为__________． 17．曲线()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距是_______.
18．已知函数y=f （x ）的图象在点M （2，f （2））处的切线方程是y=x+4，则f （2）+f′（2）=__．
19．设曲线x y e =上点P 处的切线平行于直线10x y --=，则点P 的坐标是
__________．
20．已知2()2(1)f x x xf =+'，则'(1)
f _______
三、解答题
21．已知函数
22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++．
（1）当1a =-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；
（2）设函数()()2g x f x x =--，函数()g x 有且仅有一个零点． （i ）求a 的值；
（ii ）若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，求m 的取值范围． 22．已知函数f （x ）=lnx 。

（1）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求证：当x>0时，f （x ）≥l -
1x
； （3）若x-1>alnx 对任意x>1恒成立，求实数a 的最大值。

23．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+.
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：“=0a ”是“函数()y f x =有且只有一个零点” 的充分必要条件. 24．求下列函数的导数： （1）()(1sin )(14)f x x x =+-； （2）()21
x x
f x x =
-+.
25．（Ⅰ）求下列各函数的导数：（1）y =
（2）2
sin x y x
=；
（Ⅱ）过原点O 作函数f （x ）＝lnx 的切线，求该切线方程．
26．设2
012(21)...()n
n
n x a a x a x a x x R +=++++∈展开式中仅有第1011项的二项式系数最大． （1）求n ；
（2）求0123...(1)n
n a a a a a -+-+-； （3）求12323...n a a a na ++++
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一、选择题 1．C
解析：C 【分析】
首先设出切点坐标，根据导数的几何意义列出等量关系，解出切点坐标，从而得到切点方程. 【详解】
设()f x ，()g x 的切点分别为11(,)x
x e ，22(,ln 2)x x +，
()x
f x e '
=，1()g x x
'=
. 所以1
21x
x k e ==
，即122
1
ln
ln x x x ==-. 又因为
1
22221
22
1ln 2ln 2ln x x x e x k x x x x +-
+-==
-+，
所以
22
22
2
1ln 21ln x x x x x +-
=
+. 整理得22(1)(ln 1)0x x -+=，解得：21x =或21x e
=
. 所以()g x 的切点为(1,2)或1
(,1)e ，1k =或e .
切线为21y x -=-或11()y e x e
-=-， 即：1y x =+或y ex =. 故选：C 【点睛】
本题主要考查导数的切线问题，利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系进行转化为解题的关键，属于中档题.
2．C
解析：C 【分析】
令(
)u x =，可求得(
)u x =
'()f x '，可求得()2f '．
【详解】 ∵(
)f x =(
)u x =，则()ln f u u =，
∵()1f u u '=
，(
)12u x ='=，
由复合函数的导数公式得：
(
)21
x
f x x =
=
'+， ∴()225
f '=． 故选：C ． 【点睛】
本题考查复合函数的导数，掌握复合函数的导数求导法则是关键，属于中档题．
3．C
解析：C 【分析】
根据()c x ，利用导数除法法则求出()c x '，将95代入()c x '即可求得. 【详解】
5284()100c x x '
'⎛⎫= ⎪-⎝⎭
2
5284(100)5284(100)(100)x x x ''
⨯--⨯-=-
20(100)5248(1)
(100)x x ⨯--⨯-=-
2
5284
(100)x =
-
()2
5284
95211.36(10095)c '=
=-.
故选：C . 【点睛】
本题考查复合函数的导数、导数的几何意义及利用导数知识解决相关问题的能力，是中档题.
4．C
解析：C 【分析】 根据条件得到()()
000
21
22
x f x x f x lim x
∆→+∆-=
∆，计算得到答案. 【详解】
()()
()()
00000
221122
x x f x x f x f x x f x lim
lim
x
x ∆→∆→+∆-+∆-=∴=
∆∆ 即()()()
0000
21'22
x f x x f x f x lim x
∆→+∆-==∆ 故选C
【点睛】
本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.
5．D
解析：D 【分析】
由导数的几何意义可得：曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-， 由导数的应用可得：当Q 的坐标为3(1,)2
时，点Q 到切线l 的距离为||PQ 的最小值，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 解:令2
sin 0x ππ
-
=，(0)x >．则x k ππ=，即x k =，(*)k N ∈，
则x 的最小值为1，即0x =1，又'()2cos f x x π=-，所以'(1)2f =， 又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-， 由23ln 2
y x x =
-，则'13y x x =-，令132x x -=，解得1x =，此时32y =，
即当Q 的坐标为3
(1,)2
时，点Q 到直线l 的距离为||PQ 的最小值，
由点到直线的距离公式可得：min ||PQ
=
故选D. 【点睛】
本题考查了利用导数求切线方程及点到直线的距离公式，重点考查了运算能力，属中档题.
6．B
解析：B 【分析】
对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1=x e
求得结果. 【详解】
由题意得：()()121f x f x
''=+
令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-
()12f x x '∴=-+
12f e e ⎛⎫
'∴=- ⎪⎝⎭
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数. 【详解】
由区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈， 总有()()
()()()12
1211x f x x f x f λλλλ+-+-，
等价为对任意x G ∈，有()0f x ''>成立（()''f x 是函数()f x 导函数的导函数）， ①()x x f x e =
的导数()1'x x f x e -=，()
2''x
x
f x e -+=，故在()2,3上大于0恒成立，故①为“上进”函数； ②(
)f x =(
)'f x =
，(
)1''04f x =-
<恒成立，故②不为“上进”函数； ③()()ln 1x f x x
+=
的导数()()()()21ln 11x x x f x x x ++'-=
+，
()()()
()
22
33221ln 11x x x x f x x x --+++=
+''
当21,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭
时，2320x x --<，()()21ln 10x x ++<，
()2
30,10x x <+>，则()''0f x >恒成立．故③为“上进”函数；
④()21x f x x =+的导数()()222
1'1x f x x -=+，()()
332
26''1x x f x x -=+，当()2,3x ∈时，()''0f x >恒成立．
故④为“上进”函数． 故选B . 【点睛】
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
8．C
解析：C 【分析】
把函数()f x 的图象上有两对关于y 轴的对称点，转化为3y kx =-与ln()y
x =-在
0x <时有两个交点，利用导数的几何意义，求得切线的斜率，即可求解．
【详解】 ，
由题意，当0x >时，()ln f x x =，则()ln f x x =关于y 轴的对称函数
ln()y x =-(0)x <，
由题意可得3y kx =-与ln()y x =-在0x <时有两个交点，
设3y kx =-与ln()y x =-相切于(,)m n ，
因为ln()y
x =-的导数1
y x '=
，所以1k m
=， 又由ln()3m km -=-，即1ln()32m m m -=⨯-=-，解得21
m e
=-， 所以2k e =-，
由图象可得，当20e k -<<时，函数3y kx =-与ln()y
x =-在0x <上有两个交点，
即当2
0e k -<<时，函数ln ,0
()3,0
x x f x kx x >⎧=⎨-≤⎩的图象上有两对关于y 轴的对称点，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的图象上有两对关于y 轴的对称点，转化为3y kx =-与ln()y
x =-在0x <时有两个交点是解答的关键，着重
考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
9．A
解析：A 【分析】
设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3
y x
'=
，从而得到切线的斜率03k x =，
结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】
设切点为00(,2)x kx -，
∵3y x '=，∴00
03,213ln ,
k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①② 由①得03kx =， 代入②得013ln 1x +=， 则01x =，3k =， 故选A. 【点睛】
该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.
10．B
解析：B 【分析】 令()()x
f x
g x e
=
，x ∈R ．()()()x f x f x g x e '-'=，根据x R ∀∈，均有()()f x f x '<，可得函数()g x 的单调性，进而得出结论． 【详解】 解：令()
()x
f x
g x e =，x ∈R ． ()()
()x
f x f x
g x e '-'=
， x R ∀∈，均有()()f x f x '<， ()g x ∴在R 上单调递增，
(2019)(0)(2019)g g g ∴-<<，
可得：2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f >． 故选B ． 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．B
解析：B 【分析】
对曲线y ＝xe ﹣x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．
【详解】
∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，
求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣
x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．
由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣
x ＝1，解得x ＝0，
当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），
P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离，
∴d min
故选B. 【点睛】
此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．
12．D
解析：D 【分析】
分别求得()f x 和()g x 的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入()f x 求得m 的值. 【详解】
()()2,64f x x g x x ''==
-，令6
24x x
=-，解得1x =，这就是切点的横坐标，代入()g x 求得切点的纵坐标为4-，将()1,4-代入()f x 得14,5m m +=-=-.故选D.
【点睛】
本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.
二、填空题
13．【分析】先求导得然后将代入解出再代入求解的值【详解】由题意可得则即所以故故答案为：【点睛】本题考查导数的求解问题解答时注意在原函数解析式中为常数得到是前提解出是关键
【分析】
先求导得()cos sin 4f x x x π'
'⎛
⎫
=
⎪
⎝⎭
，然后将4x π=代入，解出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭，再代入()'f x 求解6f π⎛⎫
' ⎪⎝⎭
的值.
【详解】
由题意可得()cos sin 4f x x x π'
'⎛
⎫
= ⎪⎝⎭
，
则cos sin 4444f ππππ''⎛
⎫
⎛⎫=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
即44f π'⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
， 所以1
()cos sin 2
f x x x '
=-，
故11cos sin 66264f πππ'⎛⎫=-=
⎪
⎝⎭
.
【点睛】
本题考查导数的求解问题，解答时注意在原函数解析式()sin cos 4f x x x π'⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
中，4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭
为常数，得到()cos sin 4f x x x π''⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是前提，解出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭是关键.
14．2【分析】设出切点坐标根据切点的纵坐标等于曲线在处的函数值以及导数的几何意义求解出的值从而的值可求【详解】设切点为则由得所以解得所以故答案为：【点睛】思路点睛：已知曲线的切线方程求解参数值的步骤：（
解析：2 【分析】
设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标等于曲线()f x 在0x x =处的函数值以及导数的几何意义求解出0x 的值，从而a 的值可求. 【详解】
设切点为()00,x y ，则()00001,ln y x y x a =+=+， 由()001
1f
x x a
'
=
=+得01x a +=， 所以()001ln ln10x x a +=+==，解得01x =-，所以012a x =-=, 故答案为：2. 【点睛】
思路点睛：已知曲线()y f x =的切线方程求解参数值的步骤：
（1）设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标0y 的值等于曲线在0x x =处的函数值
()0f x ，得到第一个方程；
（2）再根据导数的几何意义，即有切线斜率()0k f x '=，得到第二个方程； （3）两个方程联立求解出其中参数的值.
15．【解析】【分析】分别求出导数设出各自曲线上的切点得到切线的斜率结合切点满足曲线方程再设出两条切线方程变形为斜截式从而根据切线相同则系数相等可得切点坐标的关系式整理得到关于一个坐标变量的方程借助于函数 解析：1,2e ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，结合切点满足曲线方程，再设出两条切线方程，变形为斜截式，从而根据切线相同则系数相等，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的范围． 【详解】
1(),()22f x g x x x
''=
=+，设切点分别是()()2
1122
2,ln ,,2ln x x x x x a ++， 所以切线方程分别为：()()
()()21122221
1
ln ,2ln 22y x x x y x x a x x x x -=--++=+-， 化简为()()2
1221
1ln 1,22ln y x x y x x x a x =
+-=+-+， 所以212
1
21
22ln 1ln x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩消1x ，得()222ln ln 221a x x =-+-， 令2()ln(22)1,(10)f x x x x =-+--<<，1()201
f x x x '
=-
<+， 所以f (x )在(1,0)-单调递减，(0)ln 21,(1)f f =---→+∞，ln 21y >--，
故ln ln 21a >--，解得12a e
>. 所以本题答案为1,2e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
可导函数y =f (x )在0x x =处的导数就是曲线y =f (x )在0x x =处的切线斜率，这就是导数的几何意义，在利用导数的几何意义求曲线切线方程时，要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，已知y =f (x )在0x x =处的切线是()()()000y f x f x x x '-=-，若求曲线y =f (x )过点(m ，n )的切线，应先设出切点()()
00,x f x ，把(m ，n )代入
()()()000y f x f x x x '-=-，求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别
设切点求出切线方程，再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.
16．2【解析】【分析】设直线与曲线的的切点坐标为根据导数的几何意义求得切线的斜率为求得进而得到切点的坐标代入曲线的方程即可求解【详解】设直线与函数的的切点坐标为因为函数则所以切线的斜率为则所以代入切线的
解析：2 【解析】 【分析】
设直线1y x =+与曲线的的切点坐标为00(,)P x y ，根据导数的几何意义，求得切线的斜率为01k a x =-，求得011
x a =-，进而得到切点的坐标，代入曲线的方程，即可求解. 【详解】
设直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的的切点坐标为00(,)P x y ， 因为函数()ln f x ax x =-，则1
()f x a x '=-，所以切线的斜率为00
1()k f x a x =-'=，
则011a x -
=，所以011x a =-，代入切线的方程得01111
a
y a a =+=--，即1(
,)11
a P a a --， 把点P 代入曲线的方程可得11ln 111
a a a a a =⨯+---， 整理得1
ln 01
a =-，解得2a =. 【点睛】
本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中根据函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，求得切点的坐标，代入函数的解析式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
17．【解析】分析：求出函数的导数求得切线的斜率和切点坐标由点斜式方程即可得到切线方程整理成斜截式求得直线在轴上的截距求得结果详解：所以又所以对应的切线方程是即所以对应的直线在轴上的截距是点睛：该题考查的 解析：e -
【解析】
分析：求出函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程，整理成斜截式，求得直线在y 轴上的截距，求得结果.
详解：'()(x+1)e x x x f x e xe =+=，所以'(1)2f e =，又(1)f e =，所以对应的切线方程是2(1)y e e x -=-，即2y ex e =-，所以对应的直线在y 轴上的截距是e -.
点睛：该题考查的是导数的几何意义，对于如何求曲线在某个点的切线方程，注意先确定切点坐标，求导代值，求得切线的斜率，利用点斜式方程求得结果.
18．7【解析】分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该
点处的切线的斜率可得再由切点在切线上可得进而得到所求值详解：的图象在点处的切线方程是可得则所以答案是点睛：该题考查的是有关导数的几何
解析：7 【解析】
分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得
'(2)1f =，再由切点在切线上，可得(2)6f =，进而得到所求值.
详解：()y f x =的图象在点(2,(2))M f 处的切线方程是4y x =+，可得
(2)246f =+=，'(2)1f =，则(2)'(2)617f f +=+=，所以答案是7.
点睛：该题考查的是有关导数的几何意义，利用函数在某点处的导数等于该点处切线的斜率，再者就是切点在切线上，从而求得结果.
19．【解析】【详解】∵切线与直线平行∴斜率为∵∴∴∴∴切点为因此本题正确答案是： 解析：(0,1)
【解析】 【详解】
∵切线与直线10x y -+=平行， ∴斜率为1， ∵x y e =，e x y '=， ∴0()1y x '=， ∴01x e =， ∴00x =， ∴切点为(0,1)，
因此，本题正确答案是：(0,1)．
20．【解析】求导得：把代入得：解得故答案为 解析：2-
【解析】
求导得：()()221f x x f '=+'，把1x =代入得：()()1221f f '=+'，解得()12f '=-，故答案为2-.
三、解答题
21．（1）34
0x y （2）（ⅰ）a=1（ⅱ）223m e e ≥-
【解析】
试题分析：（1）当a=﹣1时，函数f （x ）=（x 2﹣2x ）lnx+ax 2+2=（x 2﹣2x ）lnx ﹣x 2+2，求出f′（x ），则k=f′（1），代入直线方程的点斜式可得切线的方程． （2）①令g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0，则（x 2﹣2x ）•lnx+ax 2+2=x+2，即
()12ln x x
a x
--⋅=
，构造函数h （x ）=
()12ln x x
x
--⋅，确定h （x ）在（0，1）上单调递
增，在（1，+∞）上单调递减，可得h （x ）max =h （1）=1，即可求a 的值； ②当a=1时，g （x ）=（x 2﹣2x ）•lnx+x 2﹣x ，若2e x e -<<，g （x ）≥m ，只需g （x ）
min ≥m ．
试题
（1）当1a =-时，()()
22
2ln 2f x x x x x =--+,()0,x ∈+∞，
∴()()()22ln 22f x x x x x =-+--' ()13f ∴'=-，又()11f = ∴()f x 在()()
1,1f 处的切线方程340x y +-=.
（2）（ⅰ）令()()20g x f x x =--=，则()
22
2ln 22x x x ax x -++=+
∴()12ln x x
a x
--⋅=
令()()12ln x x
h x x
--⋅=
， 则
()222
1122ln 12ln x x x h x x x x x ---=-
+'-=. 令()12ln t x x x =--,则()22
1x t x x x
'--=--
= ()0,x ∈+∞， ()0t x '<，∴()t x 在()0,+∞上是减函数 又()()110t h '==，
∴当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， ∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，
()()max 11h x h ∴==，∴当函数()g x 有且只有一个零点时，1a =.
（ⅱ）当1a =，()()
22
2ln g x x x x x x =-+-，若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，
只需()max ,g x m ≤ ()()()132ln g x x x '=-+.令()0g x '=得1x =或3
2x e -=，
2
e x e -<<，∴函数()g x 在322
,e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在32,1e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()
1,e 上单调递增. 又∵33322122g e e e ---⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
， ()2
23g e e e =-
()3333
22213222222g e e e e e e e g e ----⎛⎫⎛⎫=-+<<<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32g e g e -⎛⎫< ⎪⎝⎭
.
∴()()2
max 23g x g e e e ==-，223m e e ∴≥-.
22．(1) 切线方程为y=x-1;（2）见解析；(3) 实数a 的最大值为1. 【解析】
试题分析：（1）求导得切线斜率，由点斜式可得切线方程； （2）令g （x ）=f （x ）-（1-
1x ）=lnx-l+1
x
，求导，得函数在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，进而得g （x ）≥g （1）=0，从而得证； （3）设h （x ）=x-1-alnx （x≥1），求导得h'（x ）=1-a x =x a
x
-，a≤1时，a>1时，判断函数的单调性，求解最值推出结论即可． 试题 （1）f'（x ）=
1
x
，f'（1）=1，又f （1）=0，所以切线方程为y=x-1. （2）由题意知x>0，令g （x ）=f （x ）-（1-1x ）=lnx-l+1x
. g'（x ）=
1x -21x =21
x x -， 令g'（x ）=
21
x x
-=0，解得x=1。

易知当x>l 时，g'（x ）>0，易知当0<x<l 时，g'（x ）<0. 即g （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增. 所以g （x ）min =g （1）=0，g （x ）≥g （1）=0， 即g （x ）=f （x ）-（1-
1x ）≥0，即f （x ）≥（1-1x
）. （3）设h （x ）=x-1-alnx （x≥1），依题意，对于任意x>l ，h （x ）>0恒成立. h'（x ）=1-
a x =x a
x
-， a≤l 时，h'（x ）>0，h （x ）在[1，+∞）上单调递增， 当x>l 时，h （x ）>h （1）=0，满足题意.
a>1时，随x 变化，h'（x ），h （x ）的变化情况如下表：
即当a>1时，总存在h （a ）<0，不合题意.
综上所述，实数a 的最大值为1.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 ()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若
()()f x g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）
23．（Ⅰ）1y =-；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据切线的几何意义得到切线的斜率()00k f ='=，()01f =-，所以切线方程为1y =-；（2）先证充分性再证必要性，含参讨论，函数图像和x 轴的交点情况。

（Ⅰ）依题意，()2,x
f x xe ax x R =+∈'
所以切线的斜率()00k f ='=
又因为()01f =-，所以切线方程为1y =-. （Ⅱ）先证不必要性.
当0a =时，()()1x
f x x e =-，令()0f x =，解得1x =.
此时，()f x 有且只有一个零点，故“()f x 有且只有一个零点则0a <”不成立. 再证充分性. 方法一：
当0a <时，()()
2x
f x x e a '=+.
令()0f x '=，解得()120,ln 2x x a ==-. （i ）当()ln 20a -=，即12
a =-时，()()10x
f x x e -'=≥， 所以()f x 在R 上单调增. 又
()()2010,220f f e =-=-，
所以()f x 有且只有一个零点. （ii ）当()ln 20a -<，即1
02
a -
<<时， ()f x ，()f x '随x 的变化情况如下:
当0x ≤时，10x e -<，20ax ≤，所以0f x < 又()2
2
2420f e a e =+>->
所以()f x 有且只有一个零点. （iii ）当()ln 20a ->，即1
2
a <-
时，()f x ，()f x '随x 的变化情况如下:
因为010f =-<，所以,ln 2x a ⎤∈-∞-⎦时，0f x < 令01x a =-，则01x >. 下面证明当1x >时，2x e x >.
设()2
(1)x x g x x e =>，则()()2'x
x x g x e
-=. 当()1,2x ∈时，()()'0,g x g x >在1,2（）上单调递增；
当()2,+x ∈∞时，()()'0,g x g x <在2,+∞（）上单调递减.
所以当=2x 时，()g x 取得极大值()2
4
21g e =<. 所以当1x >时，()1g x <, 即2x x e <.
所以()(
)00
22
0000x
x f x ae ax a x e
=-+=->.
由零点存在定理，()f x 有且只有一个零点.
综上，0a <是函数()f x 有且只有一个零点的充分不必要条件. 方法二：
当0a <时，注意到0x ≤时，()10x
x e -<，20ax ≤，()0f x ∴<，
因此只需要考察()0,+∞上的函数零点. （i ）当()ln 20a -≤，即1
02
a -
≤<时，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， ()f x ∴单调递增.
又()()22
10,2420f a f e a e ==+≥-
()f x ∴有且只有一个零点.
（ii ）当()ln 20a ->，即1
2
a <-
时，以下同方法一. 点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
24．（1）'()4cos 4sin 4cos f x x x x x ==-+--；（2）2
1'()2ln 2(1)
x
f x x =-+. 【分析】
(1)利用积的导数和和差的导数法则求导.(2)利用商的导数和积的导数的法则求导. 【详解】
(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x. (2)f(x)=
1x x +-2x =1-11
x +-2x ,则f'(x)=21(1)x +-2x
ln 2. 【点睛】
本题主要考查对函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
25．（Ⅰ
2）22
2sin cos sin x x x x
x
-；（Ⅱ）1y x e =． 【解析】 试题分析：
(1)利用题中所给的函数解析式结合导数的求导法则即可求得导函数； (2)设出切点坐标，利用导函数与切线的关系可得切线方程为1
y x e
=． 试题
（Ⅰ
）32
y x ==，
∴31
12233'22y x x ===
（2）()()2
2
2
22'sin sin '2sin cos 'sin sin x x x x x x x x y x
x
--=
=； （Ⅱ）设切点为T （x 0，lnx 0），∵()1
'f x x
=，
()00000
ln 1
'ln 1OT x k f x k x x x ==
==⇒=切线，解x 0＝e ， 所以切点为T （e ，1），故切线方程为1
y x e
=． 26．(1) 2020;(2) 1;(3) 201940403⨯. 【分析】
(1)根据二项展开式的项数与指数n 的关系，再根据中间项的位置特点，就可以判断出展开
式中总共有多少项，从而可以求出指数n 的值；
(2)根据(1)式求得的n 值，观察所求与2
012(21)...n
n
n x a a x a x a x +=++++的特点，令
1x =-，即可求得所需要的结果；
(3) 根据(1)式求得的n 值，观察所求与2
012(21)...n
n
n x a a x a x a x +=++++的特点，令
2012()(21)...n n n f x x a a x a x a x =+=++++，求出()f x '，再令1x =，即可求得所需要
的结果. 【详解】
(1)根据二项式系数的对称性，2020n =； (2)由(1)及题意
2020220200122020(21)...x a a x a x a x +=++++，
∴令1x =-，
则[]
2020
2020
012301232020...(1)...(1)2(1)11n n a a a a a a a a a a -+-+-=-+-+-=⨯-+=；
(3)由(1)及题意令2020
220200122020()(21)
...f x x a a x a x a x =+=++++，
20192019122020()4040(21)2...2020f x x a a x a x '∴=+=+++，
2019123123202023...23...2020(1)40403n a a a na a a a a f '∴++++=++++==⨯.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.。