新北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》检测卷(包含答案解析)(1)

一、选择题
1．已知b 为正实数，直线y x a =+与曲线x b
y e +=相切，则2
a b
的取值范围是（ ）
A ．[),e +∞
B ．2[,)e +∞
C ．[2,)+∞
D ．[4,)+∞
2．已知函数()2f x x bx =-的图象在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ）
A ．
20192020
B ．
2018
2019
C ．
2017
2018
D ．
2018
2017
3．设点P 是曲线()2
33
x
f x e x =-+
上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．20,,23πππ⎡⎫⎛⎫
⋃⎪
⎪⎢⎣⎭⎝⎭
C ．50,
,26πππ⎡⎫⎡⎫
⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
D ．5,26
ππ⎡⎫⎪⎢
⎣⎭
4．函数()2221sin cos 622
x x
f x x =
+-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
5．已知()ln 1x
f x x
=+，则()0f '等于（ ） A ．
12
B ．12
-
C ．
14
D ．14
-
6．已知函数()2
f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e x
g x a
=的图象相切，则实数
a =( )
A ．e
B ．
e e
2
C ．
e 2
D ．e e
7．设函数2
()sin f x x ππ
=-
在(0,)+∞上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点0(,0)x 处
的切线上有一点P ，曲线2
3ln 2
y x x =-上有一点Q ，则||PQ 的最小值为（ ） A ．
105
B ．
55
C ．
310
10
D ．
35
10
8．若曲线2y x ax b =++在点（0，b ）处的切线方程是x +y －1=0，则 A ．a=1，b=1
B ．a=－l ，b=l
C ．a=l ，b=－1
D ．a=－1，b=－16
9．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有
()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是
“上进”函数的个数是（ ） ①()x x f x e =，②()f x x =，③()()ln 1x f x x
+=，④()21x
f x x =+． A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
10．若存在过点()0,0O 的直线l 与曲线()3
2
32f x x x x =-+和2y x a =+都相切，则a 的值是( ) A ．1 B ．1
64
-
C ．1或164
-
D ．1或
164
11．函数
为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且
()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫
=⋅+ ⎪⎝⎭
'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为
A ．等腰锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰钝角三角形
12．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ） A ．
22
B ．
32
2
C ．
(41)2
2
e - D ．
(41)2
2
e + 二、填空题
13．若函数()()ln 2f x x =+的图象在点()00,P x y 处的切线l 与函数()x
g x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数为______.
14．若对于曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)的任意切线l 1，总存在曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________． 15．函数
在
处的切线与直线
垂直，则a 的值为______．
16．已知函数()cos2f x x =的图象与直线()4400kx y k k π--=>恰有三个公共点，这
三个点的横坐标从小到大分别为123,,x x x ，则
()()
2113tan x x x x -=
-________. 17．若对()0,,x ∀∈+∞都有ln x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________
18．已知函数()ln f x x x =+,若函数()f x 在点()()
00,P x f x 处切线与直线310x y -+=平行,则0x =____________
19．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '+的值为__________．
20．已知曲线1C ：x y e =与曲线2C ：2()y x a =+，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数a 的值为__________.
三、解答题
21．已知函数()1x f x e ax =+-（e 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （Ⅱ）若2()f x x ≥在区间(0,1)上恒成立，求实数a 的取值范围． 22．已知函数()31132
f x x =
+. （1）求曲线y =f （x ）在点51
6P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）求过点122A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，作曲线y =f （x ）的切线方程.
23．设函数()3
f x x =的图象上一点()()
1,1P f 处的切线l 与()3
f x x =的图象的另一交点
为Q ．
（1）确定点Q 的坐标；
（2）求函数()y f x =与切线l 围成的封闭图形面积．
24．已知平面向量(sin 2,cos2),(sin 2,cos2)a x x b ϕϕ==，设函数()f x a b =⋅（ϕ为常数且满足0πϕ-<<），若函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
图象的一条对称轴是直线8x π
=.
（1）求ϕ的值；
（2）求函数4y f x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值：
（330y -+=与函数4y f x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
的图象不相切． 25．已知函数()()2
1()1x f x e x a x a R ⎡⎤⎣⎦=-++∈.
(I)若1a =-时，求曲线() y f x =在()(0)0f ，处的切线方程; (II)求函数()f x 的单调区间.
26．已知函数3()32f x x ax =-+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为
30x y m ++=.
（Ⅰ）求实数a ，m 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[1,2]上的最值.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
取导数为1计算得到切点为(),1b -，将切点代入直线，得到1b a =-+，换元利用均值不等式得到答案. 【详解】
x b y e +=，则'1x b y e +==，则x b =-，当x b =-，1y =，故切点为(),1b -，
将切点代入直线得到1b a =-+，()2
2
11224b a b b b b +==++≥=， 当1b =时等号成立.
故选：D. 【点睛】
本题考查了根据切线求参数，均值不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定
1b a =-+是解题的关键.
2．A
解析：A 【分析】
利用导数的几何意义，可求出直线l 的斜率，进而由l 与直线320x y -+=平行，可求出
b ，从而可得到()
111
1f n n n =-+，进而求出2019S 即可. 【详解】
由题意，()2f x x b '=-，则()12f b '=-，所以直线l 的斜率为2b -， 又直线320x y -+=的斜率为3，所以23b -=，解得1b =-. 则()2
f x x x =+，故
()21111
1
f n n n n n ==-++， 所以2019111111
11201911223342019202020202020S ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 故选：A. 【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，考查平行直线的性质，考查利于裂项相消求和法求数列的前n 项和，属于中档题.
3．B
解析：B 【分析】
先对函数进行求导，然后表示出切线的斜率，求出斜率范围，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系求倾斜角范围即可. 【详解】
由()23
x
f x e =+
，所以()'=x
f x e
又P 是曲线()2
3
x
f x e =+
上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，
所以点P 处的切线的斜率为tan α==x k e 0x e >，所以tan α>
所以角α的取值范围为20,,23ππ
π⎡⎫⎛⎫
⋃⎪
⎪⎢⎣⎭⎝⎭
. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义及导数的求法，属于基础题 .
4．C
解析：C 【分析】
将函数()y f x =的解析式化简，求出其导数()1
sin 3
f x x x '=+，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像. 【详解】 因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =
+-=-，()1
sin 3
f x x x '∴=+.
当03x <≤时，103x >，sin 0x >，则()1
sin 03
f x x x '=+>； 当3x >时，
113x >，1sin 1x -≤≤，则()1
sin 03
f x x x '=+>. 所以，当0x >时，()1
sin 03
f x x x '=+>，排除ABD 选项， 故选：C. 【点睛】
本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
5．C
解析：C 【分析】
首先利用换元法求出函数()f x 的解析式，再求出其导函数，最后代入求值即可； 【详解】 解：
()ln 1x f x x
=
+， 令ln t x =，t R ∈，则t x e =
()1t
t
e f t e ∴=+，t R ∈ ()1x
x e f x e ∴=
+，x ∈R ()()()
()
()
2
2
2
111x x x x
x x e e e e f x e e +-'∴=
=
++
()()
2
01041e f e '∴=
=
+
故选：C 【点睛】
本题考查换元法求函数解析式，导数的计算，属于中档题.
6．B
解析：B 【分析】
先求函数()2
f x x =的图象在1x =处的切线，再根据该切线也是函数()e x
g x a
=图象的切
线，设出切点即可求解. 【详解】
由()2
f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，
又(1)1f =，所以函数()2
f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-.
设21y x =-与函数()e x
g x a
=的图象相切于点00(,)x y ,
由e ()x
g x a '=，可得00
000
e ()2,e ()21,
x x g x a g x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩
'⎪
解得32031,e =
222
x a ==. 故选：B. 【点睛】
本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.
7．D
解析：D 【分析】
由导数的几何意义可得：曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-， 由导数的应用可得：当Q 的坐标为3(1,)2
时，点Q 到切线l 的距离为||PQ 的最小值，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 解:令2
sin 0x ππ
-
=，(0)x >．则x k ππ=，即x k =，(*)k N ∈，
则x 的最小值为1，即0x =1，又'()2cos f x x π=-，所以'(1)2f =， 又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,0)处的切线l 的方程为2(1)y x =-， 由23ln 2
y x x =
-，则'13y x x =-，令132x x -=，解得1x =，此时32y =，
即当Q 的坐标为3
(1,)2
时，点Q 到直线l 的距离为||PQ 的最小值，
由点到直线的距离公式可得：min ||PQ
=
故选D. 【点睛】
本题考查了利用导数求切线方程及点到直线的距离公式，重点考查了运算能力，属中档题.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
求得函数的导数求得()0f a '=，由切线的方程为10x y +-=，求得1a =-，把点(0,)b 代入切线方程10x y +-=，求得b 的值，即可求解． 【详解】
由题意，函数()2
f x x ax b =++，则()2f x x a '=+，所以()0f a '=，
又由切线的方程为10x y +-=，所以1a =-，
把点(0,)b 代入切线方程10x y +-=，即010b +-=，解得1b =， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理利用切线的方程和切点的坐标适合切线，列出方程是解答的关键，着重考查了推基础题理与运算能力，属于．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数. 【详解】
由区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈， 总有()()
()()()12
1211x f x x f x f λλλλ+-+-，
等价为对任意x G ∈，有()0f x ''>成立（()''f x 是函数()f x 导函数的导函数）， ①()x x f x e =
的导数()1'x x f x e -=，()2''x
x
f x e
-+=，故在()2,3上大于0恒成立，故①为“上进”函数；
②()f x =()'
f x =
，()1''04f x =-
<恒成立，故②不为“上进”
函数； ③()()ln 1x f x x
+=
的导数()()()()21ln 11x x x f x x x ++'-=
+，
()()()
()
22
33221ln 11x x x x f x x x --+++=
+''
当21,3x ⎛
⎫∈-- ⎪⎝⎭
时，2320x x --<，()()21ln 10x x ++<，
()2
30,10x x <+>，则()''0f x >恒成立．故③为“上进”函数；
④()2
1x
f x x =
+的导数()()
2
2
2
1'1x f x x -=+，()()
33
2
26''1x x
f x x -=
+，当()2,3x ∈时，
()''0f x >恒成立．
故④为“上进”函数． 故选B . 【点睛】
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
点()0,0O 在()3
2
32f x x x x =-+上，分点()0,0O 是曲线()f x 上的切点，和点
()0,0O 不是曲线()f x 上的切点进行讨论，分别对两条曲线求导，利用切点处的导数即为
切线的斜率，列方程，可解出答案. 【详解】
解：点()0,0O 在()3
2
32f x x x x =-+上，且()2
'362f x x x =-+
①点()0,0O 是曲线()f x 上的切点 则()k '02f ==，切线l 的方程为：2y x =
设直线l 在2y x a =+上的切点为()
2
00,P x x a +
因为'2y x =，所以0k 22x ==，所以01x =，所以()1,1P a +, 又点P 在直线2l y x =：上，所以12a +=，即1a =
②点()0,0O 不是曲线()f x 上的切点，设曲线()f x 上的切点为()
32
0000
,32Q x x x x -+（00x ≠）
则()322
00000
00
32k '362x x x f x x x x -+==-+=，解得032x =，1
k 4=-
所以33,28Q ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，切线l 的方程为：14y x =-
设直线l 在2y x a =+上的切点为()
2
00,P x x a +
因为'2y x =，所以01k 24x ==-，所以018x =-，所以11,
864P a ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
, 又点P 在直线14l y x =-：上，所以1116448a ⎛⎫+=-⨯- ⎪⎝⎭，即164
a =
所以1a =或1
64
故选：D. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义，求解与切线方程有关的问题一定要先确定切点，题中没给切点的要先设切点坐标，然后根据切点处的导数即为切线的斜率列式求解.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状． 【详解】
函数的导数()''cos sin 6f x x x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
则131''cos sin ''666662262
f f f ππππππ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=-=-=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
则()'sin 2cos 6f x x x x π⎛
⎫
=-=+
⎪⎝
⎭
， ()
cos 2cos 3f x x x x π⎛
⎫=+=- ⎪⎝⎭，
()()'1f A f B ==，
()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
则6
3
B π
π
+
=
，得6
B π
=
，
()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
则3
3
A π
π
-
=
，则23
A π
=
，
则2366
C ππππ=-
-=， 则B C =，
即ABC 是等腰钝角三角形， 故选D ． 【点睛】
本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．
12．B
解析：B 【分析】
对曲线y ＝xe ﹣
x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可． 【详解】
∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，
求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣
x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．
由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ＝1，解得x ＝0， 当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），
P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离，
∴d min
故选B. 【点睛】
此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．
二、填空题
13．【分析】求得函数的导数可得切线的斜率和方程由两直线重合的条件解方程可得即可得到所求的个数【详解】解：函数的导数为可得点处的切线斜率为切线方程为函数的导数为设与相切的切点为可得切线斜率为切线方程为由题 解析：2
【分析】
求得函数()f x ，()g x 的导数，可得切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，解方程可得0x ，即可得到所求P 的个数． 【详解】
解：函数()(2)f x ln x =+的导数为1
()2
f x x '=+， 可得点0(P x ，0)y 处的切线斜率为01
2
x +， 切线方程为00001
(2)22
x y x ln x x x =
++-++， 函数()x g x e =的导数为()x g x e '=，设l 与()g x 相切的切点为(,)m n ， 可得切线斜率为m e ，切线方程为m m m y e x e me =+-， 由题意可得01
2m e x =+，000(2)2
m m x ln x e me x +-=-+， 可得
0000011(2)022
x x ln x x x ++-+=++，解得01x =-或2e -． 则满足条件的P 的个数为2， 故答案为：2． 【点睛】
本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及化简运算能力，属于中档题．
14．【分析】先求f′（x ）=﹣ex ﹣1令﹣ex ﹣1进一步得∈（01）再求g′（x ）=a ﹣2sinx 令=a ﹣2sinx ∈﹣2+a2+a 把l1⊥l2转化为集合间的包含关系求解即可【详解】由f （x ）=﹣ex ﹣ 解析：[]1,2-
【分析】
先求f′（x ）=﹣e x
﹣1，令1k =﹣e x ﹣1，进一步得11-=k x 1
e +1
∈（0，1），再求g′（x ）=a ﹣2sinx ，令2k =a ﹣2sinx ∈[﹣2+a ，2+a]，把l 1⊥l 2转化为集合间的包含关系求解即可． 【详解】
由f （x ）=﹣e x ﹣x ，得f′（x ）=﹣e x ﹣1，所以1k =﹣e x ﹣1 ∵e x +1＞1，∴11-
=k x 1
e +1
∈（0，1）， 由g （x ）=ax+2cosx ，得g′（x ）=a ﹣2sinx ，又﹣2sinx ∈[﹣2，2]， ∴a ﹣2sinx ∈[﹣2+a ，2+a]，
要使过曲线f （x ）=﹣e x ﹣x 上任意一点的切线为l 1，
总存在过曲线g （x ）=ax+2cosx 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2， 则-2+a 0
2+a 1
≤⎧⎨
≥⎩，解得﹣1≤a≤2．
故答案为：[－1,2] 【点睛】
本题考查了两个函数在点的切线斜率间的关系，利用了导数的几何意义，把问题转化为集合间的包含关系是解题的关键，属于中档题．
15．0【解析】【分析】求函数的导数根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果【详解】因为函数y=(x+a)ex 在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直所以函数y=(x+ 解析：
【解析】 【分析】
求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果. 【详解】 因为函数在处的切线与直线垂直，
所以函数在
处的切线斜率，
因为，所以
，解得
，
故答案是0. 【点睛】
该题考查的是有关利用导数研究曲线上某点处的切线的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，导数的几何意义，以及函数的求导公式，属于中档题目.
16．【分析】求解直线恒过定点（0）k ＞0恰有三个公共点其直线必过f （x ）的对称点（0）其它两点是直线与f （x ）的切点那么x1+x3=由导函数几何意义：f′（2x ）=-sin2=k 再由切线方程即可求出【详 解析：12
-
【分析】
求解直线 440(0)kx y k k π--=>恒过定点（
4
π
，0），k ＞0恰有三个公共点，其直线必过f （x ）的对称点（4π，0），其它两点是直线与f （x ）的切点，那么x 1+x 3=2
π
，
31x =-x 2π
由导函数几何意义：f′（2x 1）=-sin21x =k ，再由切线方程即可求出.
【详解】
由题意，直线440(0)kx y k k π--=>可得y=k(x-4π)恒过定点（4π，0），即x 2=4
π
∵k ＞0恰有三个公共点，
其直线必与（x ）的相切，因为f （x ）关于（4π，0）对称，所以x 1+x 3=2
π
．
∴31x =-x 2
π
，导函数几何意义：f′（2x 1）=-sin21x =k
所以切线方程：y-111
cos2x =-2sin2x x-x （） 过（4
π
，0） 所以112-x tan2x =14
（
）π
，()21
13tan x x x x --=11x 4
tan 22x π
π-
⎛⎫- ⎪⎝⎭
=111
tan242
x x π⎛
⎫
-
=- ⎪⎝⎭ 故答案为1
2
- 【点睛】
本题考查了直线方程的定点和三角函数图象的交点问题．灵活判断定坐标值和对称点的和为定值是关键，再利用切线方程找到等式，求出结果即可，属于中档题.
17．【解析】分析：将原问题转化为函数图象之间的关系数形结合即可求得实数的取值范围详解：在区间上绘制函数和函数的图象满足题意时对数函数的图象应该恒不在一次函数图象的上方如图所示为临界条件直线过坐标原点与对
解析：1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
分析：将原问题转化为函数图象之间的关系，数形结合即可求得实数a 的取值范围. 详解：在区间()0,∞+上绘制函数ln y x =和函数y ax =的图象， 满足题意时，对数函数的图象应该恒不在一次函数图象的上方， 如图所示为临界条件，直线过坐标原点，与对数函数相切， 由ln y x =可得1
'y x =
，则在切点()00,ln x x 处对数函数的切线斜率为0
1k x =，
切线方程为：()000
1
ln y x x x x -=
-， 切线过坐标原点，则：()0001
0ln 0x x x -=-， 解得：0x e =，则切线的斜率011k x e
=
=. 据此可得：实数a 的取值范围为1,e
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
点睛：本题主要考查切线方程的求解，数形结合解题，转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．【解析】分析：求出导函数可得切线斜率利用切线斜率等于列方程求解即可详解：因为函数所以可得函数由函数在点处切线与直线平行可得解得故答案为点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于简单题应用导数的几何意义
解析：1
2
【解析】
分析：求出导函数，可得切线斜率，利用切线斜率等于3列方程求解即可. 详解：因为函数()ln f x x x =+， 所以可得函数()1
'1f x x
=
+， 由函数()f x 在点()()
00,P x f x 处切线与直线310x y -+=平行， 可得
0113x +=，解得012
x =，故答案为12. 点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于简单题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在：(1) 已知切点()()
00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数
()0
k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()1
1
,,A x f x 解方程()1
f x k '=即可.
19．【解析】分析：利用导数的几何意义求出再利用切点在切线上求出详解：由题意得则点睛：1解决本题时要注意切点既在曲线上又在切线上学生往往忽视点在切线上；2利用导数的几何意义求曲线的切线时要注意区分曲线在某
解析：1-
【解析】
分析：利用导数的几何意义求出()4f '，再利用切点在切线上求出()4f ． 详解：由题意，得
(4)2f '=-，(4)2491f =-⨯+=，
则(4)(4)1f f '+=-．
点睛：1.解决本题时，要注意切点既在曲线上，又在切线上，学生往往忽视“点在切线上”；
2.利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意区分“曲线在某点处的切线”和 “曲线过某点的切线”的不同．
20．【解析】设交点为则切线斜率为 解析：22ln 2-
【解析】
设交点为(,)t
t e ，则切线斜率为2
22(),()(),4,2
t t
t
t
t
e e t a e t a e e =+=+∴==
22ln 422ln 2a t ∴=-=-=-
三、解答题
21．（Ⅰ）1
2(1)
e +（Ⅱ）2a e ≥-
【解析】
试题分析：（I ）当a=1时，f （x ）=e x +x-1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f （1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x 轴、y 轴的交点A 、B ，利用直角三角形的面积公式即可求得；
（II ）将f （x ）≥x 2
在（0，1）上恒成立利用参变量分离法转化为21x
x e a x
+-≥在（0，
1）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a 的取值范围． 试题
（Ⅰ）∵当1a =时，()1x
f x e x =+-，()1
111f e e =+-=，
()'1x f x e =+，()1'111f e e =+=+，
∴函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为()()11y e e x -=+-， 即()11y e x =+-．
设切线与,x y 轴的交点分别为,A B ， 令0x =得，1y =-，令0y =得，1
1
x e =
+，
∴1,01A e ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，()0,1B -，∴()11112121OAB S e e ∆=⨯⨯=++， ∴函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
()
1
21e +．
（Ⅱ）由()()()2
0,1f x x x ≥∈得，21x x e
a x
+-≥．
令()211x x
x e e h x x x x x
+-==+-，
则()()2211'1x e x h x x x -=-- ()()
211x x x e
x
-+-=， 令()1x
k x x e =+-，则()'1x
k x e =-．
∵()0,1x ∈，∴()'10x
k x e =-<，()k x 在区间()0,1上为减函数，
∴()()00k x k <=．
又10x -<，2
0x >，∴()()()
2
11'0x x x e h x x
-+-=
>，
∴()h x 在区间()0,1上为增函数，()()12h x h e <=-， 因此只需2a e ≥-即可满足题意． 点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；
（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值）. 22．（1）172
；（2）y 1
2=或18x ﹣2y ﹣35=0.
【分析】 （1）函数()31132f x x =
+的导数为()f x '=x 2，曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，处的切线的斜率为k =1，写出切线的方程，分别令x =0，y =0，得到在x ，y 轴上的截距，再利用三角形面积公式求解. （2）易得A （2，
1
2
）不在图象上，设切点为（m ，n ），则切线的斜率为m 2，切线的方程为y ﹣n =m 2（x ﹣m ），再由231221132n m m n m ⎧-⎪=⎪
-⎨⎪=+⎪
⎩
求解.
【详解】
（1）因为函数()31132
f x x =+， 所以()f x '=x 2， 所以()1=1f '
所以曲线y =f （x ）在点51
6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，处的切线的斜率为k =1， 则切线的方程为y 5
6
-=x ﹣1，即为6x ﹣6y ﹣1=0， 令x =0，可得y 1
6=-
；y =0，可得x 16
=. 则切线与坐标轴围成的三角形的面积为S 1111
26672
=⨯⨯=； （2）由A （2，
1
2）和()31132f x x =+，可得f （2）811322
=+≠， 即A 不在f （x ）的图象上，
设切点为（m ，n ），则切线的斜率为m 2， 切线的方程为y ﹣n =m 2（x ﹣m ），
则231221132n m m n m ⎧
-⎪=⎪
-⎨⎪=+⎪
⎩
， 解得012m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或3192m n =⎧⎪⎨=⎪⎩
，
故切线的方程为y 1
2
=或18x ﹣2y ﹣35=0. 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 23．（1）()2,8Q --；（2）274
． 【分析】
（1）利用导数求出函数()3
f x x =在点()()
1,1P f 处的切线方程，将此切线方程与函数
()y f x =的解析式联立，可求出点Q 的坐标；
（2）利用图象确定被积函数与被积区间，利用定积分可计算出由函数()y f x =的图象与切线l 围成的封闭图形面积. 【详解】
（1）点()1,1P ，()2
3f x x '=，故()13f '=，所以切线l 的方程为()131y x -=-，即
32y x =-.
联立3
32
y x y x ⎧=⎨=-⎩，得3320x x -+=，解得2x =-或1x =（舍去），所以点
()2,8Q --．
（2）由图，设函数()y f x =与切线l 围成的封闭图形面积为S ，
则()
1
2
3
4212
1327322424S x x dx x x x --⎛⎫=⎰-+=-+= ⎪⎝⎭，所以所求面积为274．
【点睛】
本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用定积分计算封闭区域的面积，考查计算能力，属于中等题.
24．(1) 3
8
ϕπ=- (2) 2
和-1. (3)证明见解析
【分析】
（1）利用向量的数量积求得函数()f x 、()4y f x π
=-的表达式，从而利用三角函数性质求
得ϕ的值；
（2）结合x 的取值范围求得函数最值；
（3）利用导函数求得三角函数的切线斜率取值范围，然后去判断直线与()4y f x π
=-图象
的关系． 【详解】
(1)可知()sin 2sin 2cos2cos2cos(22)f x a b x x x ϕϕϕ=⋅=+=-，
所以cos 22sin(22)44
f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
因为8
x π=是函数4y f x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭图象的一条对称轴， 所以22()8
2
k k Z π
π
ϕπ⨯
+=+
∈，得1()28
k k Z π
ϕπ=
+∈ 因为0πϕ-<<，所以3
1,8
k ϕπ=-=- (2)所以3sin 244y f x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
因为0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以332,444x πππ⎡⎤
-∈-⎢⎥⎣⎦
所以函数4y f x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为2和1-. (3)因为32cos 24y x π'
⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
所以2y '≤即函数4y f x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
图象的切线斜率的取值范围为[2,2]-，
30y -+=2>，
30y -+=与函数4y f x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的图象不相切. 【点睛】
本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
25．（Ⅰ）
10x y -+=；（Ⅱ）分类讨论，详见解析. 【分析】
(I)把1a =-代入求出()()
2
1x f x e x =+，根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜
式即可求解.
(II)对函数进行求导得()()()1x
f x e x a x '=-+，
讨论a 的取值，即可求出函数的单调区间.
【详解】
解: (I)当1a =-时，()()
2
1x f x e x =+，
()()221x f x e x x '∴=++，
() 01f '∴=
又()01f =，所以切点坐标为()0,1，
故切线方程为:
10x y -+=; (II)
()()2
11x f x e x a x =-++⎡⎤⎣⎦ (定义域为R )
()()()()2 11x x
f x e x a x a e x a x '∴=+--=⎦-⎤⎣+⎡，
0x e >，令()0f x '=，解得x a =或1x =-，
(1)当1a =-时，()0f x '≥， 所以函数()f x 在R 上单调递增， (2)当1a >-时，()()x f x f x '，，的变化如下表:
函数f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，,+a ∞， 单调递减区间为1,a -， 当1a <-时，()()x f x f x '，，的变化如下表:
函数f (x )的单调递增区间为(,)a -∞，1,+-∞， 单调递减区间为,1a -. 【点睛】
本题主要考查利用导数求切线方程、求函数的单调区间，同时也考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.
26．（Ⅰ）最大值为2-，最小值为2-（Ⅱ）最大值为2-，最小值为2- 【分析】
（Ⅰ）切点(1,)y 在函数3()32f x x ax =-+上，也在切线方程为30x y m ++=上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线()y f x =在1x =的导数，得到另外一个式子，联立可求实数a ，m 的值；（Ⅱ）函数()f x 在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值. 【详解】
解：（Ⅰ）2()33f x x a '=-，
∵曲线3()32f x x ax =-+在1x =处的切线方程为30x y m ++=， ∴(1)333
(1)333f a f a m
=-=-⎧⎨
=-=--'⎩解得2a =，0m =.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，3()62f x x x =-+，则2()36f x x '=-，
令()0f x '=，解得x =
∴
()f x 在上单调递减，在上单调递增， 又(1)1623f =-+=-，3(2)26222f =-⨯+=-，
3
622f
=-=-，
∴()f x
在区间[1,2]上的最大值为2-，最小值为2- 【点睛】
本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.。