人教A版高中数学必修5《第一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》_92

阅读与思考 海伦和秦九韶（1课时）
（一）教学任务分析
1. 理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同；
2. 会证明秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；
3. 会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。

（二）教学重点、难点
重点：证明秦九韶海伦公式的过程
难点：海伦公式的本质
（三）教学基本流程
1. 从三角形面积的求法引入问题：如何由三角形的三边a ，b ，c 直接求出三角形的面积.
2. 海伦秦九韶公式的证明：启发学生从不同的角度得到海伦秦九韶公式的证明，或引导学生自己探索获得公式的证明.
3. 应用海伦秦九韶公式计算三角形面积.
（四）教学情境设计
问题1：三角形的面积如何计算，公式有哪些？
设计意图：引导学生回顾之前所学三角形面积计算公式，为引入本节内容作铺垫.
师生活动：总结学过的三角形面积公式；111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===；12S a h =⋅1()2S a b c r =++⋅（其中r 为ABC ∆内接圆的半径）;4abc S R
=（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）
问题2：问有沙田一段，有三斜. 其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里. 里法三百步. 欲知为田几何.
设计意图：利用此题，给出海伦公式S 其中，1().2p a b c =++ 师生活动：教师提出海伦公式，启发引导学生利用余弦定理和代数变形证明.
问题3：利用前几节所学有关三角形的知识，证明海伦公式.
设计意图：证明过程中会把式子化简成S =提出此为秦九韶推出的“三斜求积”公式，虽与海伦公式形式不一样，但本质相同.
师生活动：利用余弦定理证明海伦公式，并说明海伦公式和秦九韶的“三斜求积”公式本质相同.
问题4：利用海伦公式解决问题2.
设计意图：在应用中加深对公式的理解和记忆.
师生活动：1.计算问题2.
2.做已知三角形三边长求内切圆和外接圆半径的练习.
已知△ABC 的三边长为5，7，8，求△ABC 内切圆的半径和外接圆的半径
.
11()(578)1022S a b c r r r S =++⋅=++⋅====
22578S r a b c ⨯=
==+++
+4abc R S ===
问题5：因为三角形有外接圆，故考虑已知圆内接四边形的各边长，能否求四边形的面积？有没有四边形的面积公式？
设计意图：本节课的一个升华.
师生活动：
给出圆内接四边形面积公式S 引导学生想到，海伦公式是四边形面积公式的一种特殊情况，并在课下利用正余弦定理证明此公式.。