2021年高三数学模拟测试卷及答案(四)

2021年高三数学模拟测试卷及答案
第Ⅰ卷（选择题)
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合1|01x A x x -⎧⎫
=≥⎨⎬+⎩⎭
，{}2|log (3),B y y x x A ==+∈，则A B =（ ） A ．(,1)[2,)-∞-+∞
B ．(,1)[1,)-∞-+∞
C ．[]1,2-
D ．(]1,2-
【答案】D 【解析】 【分析】
解分式不等式得集合A ，求对数函数的值域得集合B ，再由并集概念计算． 【详解】
由题意101x
x -≥+(1)(1)010x x x -+≥⎧⇒⎨
+≠⎩(1)(1)01
x x x -+≤⎧⇒⎨≠-⎩11x ⇒-<≤，(1,1]A =-， 11x -<≤时，234x <+≤，21log (3)2x <+≤，(1,2]B =，
∴(1,2]A
B =-．
故选：D. 【点睛】
本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质．解分式不等式要注意分母不为0． 2．已知复数1i i
z （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-1
C ．i
D ．i -
【答案】A 【解析】 【分析】
先计算出复数z ，求出共轭复数z ，再由复数的定义得结论． 【详解】
2
1i i (1)1z
i i
i i ，1z i =+，其虚部为1．
故选：A ． 【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查共轭复数及复数的定义．属于基础题．
3．已知4log 5a =，()1
216log 2b =，sin 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．b c a <<
B ．c a b <<
C ．a b c <<
D ．c b a <<
【答案】A 【解析】 【分析】
利用换底公式化简12b =，而1,01a c ><<，利用sin y x =在[,]2ππ单调性比较c 与12
的大小关系，即可求解. 【详解】
()11
2
2
22164log 2log 2log 212b ⎛⎫⎪⎭
=== ⎝，
44log 5log 41a =>=，
5512<
,sin 2sin ,662
b c a ππ>=∴<<. 故选:A 【点睛】
本题考查比较数的大小关系，涉及到对数换底公式、对数函数和正弦函数的单调性，属于中档题. 4．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表： 附表：
参照附表，下列结论正确的是（ ）．
A ．在犯错误的概率不超5%过的前提下,认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；
B ．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”；
C ．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；
D ．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”． 【答案】A
【解析】试题分析：，故应选
．
考点：独立性检验
5．已知函数()f x 的图象关于原点对称，且满足()()130f x f ―x ++=，且当)4(2x ∈，
时，12()log (1)f x x m =--+，若(2021)1(1)2
f f -=-，则m =（ ）
A ．
43
B ．
34
C ．43
-
D ．34
-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意首先求出函数的周期为4，从而求出()()20211f f =；再由函数的奇偶性即可求出
1
(1)3
f =，由(1)(3)f f =-，代入解析式即可求解.
【详解】
因为()()()133f x f x f x +=--=-， 故函数()f x 的周期为4，则()()20211f f =； 而()()11f f -=-，由
(2021)1
(1)2f f -=-可得1(1)3
f =；
而12
1
(1)(3)(31)3
f f lo
g m =-=--=
, 解得43
m =-． 故选：C 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和周期性求函数值以及根据函数值求参数值，属于中档题. 6．已知空间中三条不同的直线a 、b 、c 和平面α，下列结论正确的是（ ）
A ．若a α⊥，b α⊥，则//a b
B ．若//a α，//b α，则//a b
C ．若a α⊂，//b α，则//a b
D ．若a c ⊥，b c ⊥，则//a b
【答案】A 【解析】 【分析】
利用空间中线线与线面的位置关系逐一分析各选项的正误，可得出合适的选项. 【详解】
对于A 选项，若a α⊥，b α⊥，由直线与平面垂直的性质定理可知//a b ，A 选项正确； 对于B 选项，若//a α，//b α，则a 与b 平行、相交或异面，B 选项错误； 对于C 选项，若a α⊂，//b α，则a 与b 平行或异面，C 选项错误； 对于D 选项，若a c ⊥，b c ⊥，则a 与b 平行、相交或异面，D 选项错误. 故选：A. 【点睛】
本题考查空间中线线位置关系的判断，可以充分利用空间中垂直、平行的判定和性质定理来判断，也可以利用模型来判断，考查推理能力，属于中等题.
7．已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，满足3110S S -=，且124,,a a a 成等比数列，则3a =（ ） A ．2 B ．6
C ．5或6
D ．12
【答案】B 【解析】 【分析】
将题设条件转化为基本量的方程组，求出基本量后可求3a . 【详解】
设等差数列的公差为d ，则()()112
1
113310
3a d a a d a a d +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ ， 解得122a d =⎧⎨
=⎩或15
a d =⎧⎨=⎩（舍），故()322316a =+⨯-=，
故选：B.
【点睛】
等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 8．已知函数()sin()6
f x x π
=-，若方程4
()5
f x =
的解为1212,(0)x x x x π<<<，则12sin()x x +=（ ）
A ．
B
C ．
12
D ．12
-
【答案】B 【解析】 【分析】 由()sin()6
f x x π
=-
且方程4()5
f x =
的解为1212,(0)x x x x π<<<，可知12,x x 关于直线3x π=对
称，从而可得1223
x x π
+=，进而可得出答案. 【详解】
由()sin()6
f x x π
=-，可知3
x π
=
是函数的一条对称轴，
又方程4
()5
f x =
的解为1212,(0)x x x x π<<<， 1223x x π+∴
=，即1223
x x π
+=，
所以12sin()x x +=2
. 故选：B 【点睛】
本题考查了三角函数的对称性，需掌握住正弦函数的对称轴，属于基础题. 9．以下四个命题中，正确的是 （ ） A ．若11
23
OP OA OB =
+，则,,P A B 三点共线
B ．若{},,a b c 为空间的一个基底，则{}
,,a b b c c a +++构成空间的另一个基底 C ．()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅
D ．ABC △为直角三角形的充要条件是·0AB AC = 【答案】B 【解析】 【分析】
A,利用向量共线定理即可判断；B,利用共面向量基本定理即可判断；C,向量的数量积运算与实数运算的区别；D ，直角三角形顶点不确定. 【详解】 A 错误，115
+=
1236
≠ ，所以,,P A B 三点不共线；B 正确，假设{}
,,a b b c c a +++不能构成空间
的基底，则存在实数λμ，使得()()a b b c c a λμ+=+++，即(1)(1)()0a b c μλλμ-+--+= ，因为{}
,,a b c 为空间的一个基底，所以,,a b c 不共面，则10,10,0μλλμ-=-=+=，无解，故
{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底；C 错误，()|cos
,|a b c a b a b c ⋅⋅=⋅⋅⋅；D 错误，
直角边不确定. 【点睛】
在实数运算中，若,a b ∈R ，则ab a b =⋅，但对于向量,a b 却有a b a b ⋅≤⋅，当且仅当a b ∥时等号成立．这是因为|cos ,|a b a b a b ⋅=⋅⋅，而cos ,1a b ≤.
三点,,P A B 共线，对空间任一点,(1)O OP xOA x OB =+-.
10．如图，在ABC ∆中，sin sin BD B CD C =，2BD DC ==2AD =，则ABC ∆的面积为（ ）
A B C ．D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
过点D 分别作AB 和AC 的垂线，垂足分别为,E F ，结合题干条件得到AD 为BAC ∠的平分线，根据角平分线定理得到
2AB BD
AC DC
==，再由cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到
2AC =，在三角形中应用余弦定理得到sin BAC ∠=
. 【详解】
过点D 分别作AB 和AC 的垂线，垂足分别为,E F ，由sin sin BD B CD C =， 得DE DF =，则AD 为BAC ∠的平分线，∴
2AB BD
AC DC
==， 又cos cos 0ADB ADC ∠+∠=22
=，
解得2AC =;在ABC ∆中，(2
22
421cos 242
8
BAC +-∠=
=
⨯⨯，
∴sin BAC ∠=1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=∠=
. 故选B. 【点睛】
本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理
一定要熟记两种形式：（1）2
2
2
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要熟练掌握
运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o
等特
殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
11．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别为BC ，1CC ，11A D ，11C D 的中点，则直线EF ，MN 所成角的大小为（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 【答案】C 【解析】 【分析】
通过做平行线，得到直线EF ，MN 所成角的大小，可转化为111A C BC 与的夹角，三角形11A BC ,三边均为正方体的面对角线，是等边三角形，进而得到结果. 【详解】
连接1111,,AC BC A B ，根据E ，F ，M ，N 分别为BC ，1CC ，11A D ，11C D 的中点，可得到MN 是三角形111AC D 的中位线，
故得到11,MN AC 同理可得到1
BC EF ，进而直线EF ，MN 所成角的大小，可转化为111A C BC 与的夹角，三角形11A BC ,三边均为正方体的面对角线，是等边三角形，故得到111A C BC 与的夹角为.3
π
故答案为：C. 【点睛】
这个题目考查了异面直线的夹角的求法，常见方法有：通过做平行线将异面直线转化为同一个平面的直线，进而将空间角转化为平面角. 12
．
已知
()()
,f x g x 都是定义在R 上的函数，
()()()()()()()
()()
()()
115
0,0,,
112
x f x f f g x f x g x f x g x a g x g g -≠-<=+
'=
-'，则关于x 的方
程25
02
abx ++
=， ()0,1b ∈有两个不同的实根的概率为（ ） A ．35 B ．25 C ．15 D ．12
【答案】B
【解析】由已知， ()()()()()()()2'''0f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭
，∴函数()()x f x a g x =是减函数，∴01a <<，
又()()
()()
1115
112
f f a
g g a -+
=+
=-，
解得12a =或2a =，∴12a =，
方程2502abx ++=有两个不等的实根，则5242502ab b ∆=-⨯
=->， 25b <，又()0,1b ∈，所以2
05
b <<，因此所求概率为2
2
5105
P -==-，故选B ．
第Ⅱ卷（非选择题)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

13． 已知向量a ,b 满足||1a =，||2b =，()a a b ⊥+，则a 与b 夹角的大小是______．
【答案】
34
π 【解析】 【分析】
由向量垂直的充分必要条件可得2a b a ⋅=-，据此求得向量夹角的余弦值，然后求解向量的夹角即可. 【详解】
由()a a b ⊥+得，()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，
据此可得：2
cos ,a b a b a b a ⋅=⋅⋅=-，
cos ,21a b ∴=-
=-⨯， 又a 与b 的夹角的取值范围为[0,]π，故a 与b 的夹角为34
π
. 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积，向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．若下框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于整数k 的条件是_______________
【答案】8k >（或9k ≥）
【解析】
试题分析：由题意可知输出结果为20S =，第1次循环，11S =，9k =，第2次循环，20S =，8k
，
此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为8k >（或9k ≥）．故答案为8k >（或9k ≥）． 考点：算法框图．
15．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与
双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．
【解析】 如图所示，
由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，
∴
b，
∴
=
设双曲线C的一条渐近线y=b
a
x的倾斜角为θ，则tan
θ=
||
||
AP
OP
=．
又tan θ=b
a
，
b
a
=，解得a2=3b2，
∴
3
==．
答案：
3
点睛：
求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,
a b c的方程或不等式，再根据222
b c a
=-和
c
e
a
=转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．
16．已知函数()()1
f x x sinx cosx
=++，若对于任意的()
1212
,0,
2
x x x x
π
⎡⎤
∈≠
⎢⎥
⎣⎦
，均有
()()1212|x x f x f x a e e --成立，则实数a 的取值范围为______．
【答案】[
)1,+∞ 【解析】 【分析】
求导可知函数()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为增函数，进而原问题等价于对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，均有()()1212x
x
f x ae f x ae ->-，构造函数()()x
h x f x ae =-，则函数()h x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为减函
数，求导后转化为最值问题求解即可． 【详解】
解：()()()sin 1cos sin 1cos f x x x x x x x =++-=+'，
任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤
∈≠⎢⎥⎣⎦
，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，
不妨设12x x <，则()()12f x f x <，又12x x e e <，
故()()1212|x
x
f x f x a e e --等价于()()2121x x
f x f x ae ae -<-，
即()()1212x
x
f x ae f x ae ->-，
设()()()1,0,
2x
x
h x f x ae x sinx cosx ae x π⎡⎤
=-=++-∈⎢⎥⎣⎦
， 易知函数()h x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为减函数，
故()()'10x
h x x cosx ae =+-≤在0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()1x
x cosx a e
+≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 设()
()1,0,
2x
x cosx g x x e π+⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
，
则()()()211'0()x x
x x
cosx x sinx e x cosx e xsinx sinx xcosx g x e e
⎡⎤-+-+⋅---⎣⎦==≤，
故函数()g x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为减函数，则()()01max g x g ==，故1a ≥． 故答案为：[
)1,+∞． 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分
17．设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈. （Ⅰ）求通项公式n a ；
（Ⅱ）求数列{|2n a n --|}的前n 项和.
【答案】（Ⅰ）1*
3,n n a n -=∈N ；（Ⅱ）2*
2,1,
3511,2,.2n n n T n n n n =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪
⎩
N . 【解析】 【详解】
试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力.
试题解析：（Ⅰ）由题意得12214{21a a a a +==+，则121{
3.
a a ==， 又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=， 得13n n a a +=.
所以，数列{}n a 的通项公式为1*
3,n n a n -=∈N .
（Ⅱ）设1
3
2n n b n -=--，*n ∈N ，122,1b b ==.
当3n ≥时，由于132n n ->+，故1
32,3n n b n n -=--≥.
设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则122,3T T ==.
当3n ≥时，229(13)(7)(2)3511
31322
n n n n n n n T --+---+=+-=
-， 所以，2*
2,1,
3511,2,.2n n n T n n n n =⎧⎪
=⎨--+≥∈⎪
⎩
N 【考点】
等差、等比数列的基础知识. 【方法点睛】
数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列{}n n a b 的求和，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等
比数列；（2）裂项法：形如数列()()1f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭或
⎧⎫的求和，其中()f n ，()g n 是关于n 的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．
18．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点.
（1）求异面直线1DC 、1B C 所成角的余弦值； （2）求二面角11
B D
C C --的平面角的余弦值.
【答案】(1)10
;(2)23.
【解析】
【详解】
试题分析：建立空间直角坐标系，由题意写出相关点的坐标；（1）求出直线11,DC B C 所在的方向向
量11,DC B C ，直接计算即可；（2）求出平面1B DC 与平面1DCC 的法向量，计算即可.
试题解析： （1）如图所示，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1为坐标轴，建立空间直角坐标系C -xyz 则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)，D(2，0，1). 所以1(2,0,1)DC =-，1(0,2,2)B C =--，
所以111111cos(,)5DC B
C DC B C DC B C
⋅=
=
=.即异面直线DC 1与B 1C 所成角的余弦值为
10
.
（2）因为(0,2,0)CB =，(2,0,0)CA =，1(0,0,2)CC =，所以0CB CA ⋅=，10CB CC ⋅=，所以CB 为平面ACC 1A 1的一个法向量。

因为1(0,2,2)B C =--，(2,0,1)CD =，设平面B 1DC 1的一个法向量为n ，n ＝(x,y,z). 由10,{
0,
n B C n CD ⋅=⋅=得220,
{
20.
y z x z --=+=令x ＝1，则y ＝2，z ＝－2，n ＝(1,2,－2).
所以
42
cos(,).323
n CB n CB n CB
⋅=
=
=⨯所以二面角B 1―DC―C 1的余弦值为
考点：空间向量的应用. 【名师点睛】
本题考查空间向量的应用，属中档题；在空间求线线角、线面角、二面角，是通过建立恰当的空间直角坐标系,正确写出各点的坐标，则通直线所在的方向向量、平面的法向量，通过向量的夹角间接求解，准确运算是解决这类问题的关键.
19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图所示）．
2
y x =AO BO
⊥
（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【解析】（I ）设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=
33
2121y y y x x x （1） ∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OA k k ,即12121-=+y y x x ，(2)
又点A ，B 在抛物线上，有2
222
11,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x ∴3
2332)3(31]2)[(31)(31322212212
22121+=+⨯=-+=+=+=
x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为
3
2
32+=x y . （II ）2
2
21212222212221222221212
1))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆ 由（I ）得
122
12)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB
当且仅当6
26
1x x =即121-=-=x x 时，等号成立，所以△AOB 的面积存在最小值为1.
AOB ∆AOB ∆
20．已知函数()()2
1f x alnx x a 1x 12
=+
-++． （Ⅰ）当a=2时，求f （x ）的单调递减区间；
（Ⅱ）若a ＞1，求f （x ）在区间（0，+∞）上的极大值与极小值． 【答案】（Ⅰ）(1,2)（Ⅱ）极大值1(1)2f a =-，极小值21
()ln 12
f a a a a a =--+. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）先求出f （x ）的导数，根据f ′（x ）＜0求得的区间是单调减区间；
（Ⅱ）先求出函数的导数，令导数等于0求出导数的零点，再令导数大于0求出单调增区间，导数
小于0求出函数的减区间，再由极值的定义，导数零点左增右减为极大值点，左减右增为极小值点，求出相应极值即可. 【详解】
（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞，当2a =时，
()2
12ln 312
f x x x x =+
-+， ()2232
30x x f x x x x -+=+-=<'，()f x 的单调递减区间为()1,2；
（Ⅱ）()()()2110x a x a a
f x x a x x
-++=+-+=='，121,x x a ==，
1a >，∴在()0,1是增函数，在()1,a 为减函数，在(),a +∞为增函数，
极大值()112f a =-，极小值()21
ln 12
f a a a a a =--+. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，要会根据函数的增减性得到函数的极值，本题还涉及了利用导数研究函数的单调性等知识，考查运算求解能力．要求会根据导函数的正负判断得到函数的单调区间，属基础题．
21．随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推；y 表示人数)：
（1）试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；
（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇
数与偶数的概率都是
1
2
，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。

遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从k 到1k +）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。

设遥控车移到第(119)n n ≤≤格的概率为n P ，试证明{}1n n P P --是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附：在线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+中，1
2
2
1
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y nx
y
b a
y b x x
nx ==-==--∑∑. 【答案】（1）ˆ4226y
x =-，预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人； （2）约400元. 【解析】 【分析】
（1）依题意，先求出5
5
21
1
3,100,
1920,55,i i
i i i x y x y
x ======∑∑，代入公式即可得到b ，a ，可得
回归方程为4226y x =-，令4226300x ->，8x N x +∈⇒．所以预计到2022年该公司的网购人数能超过300万；
（2）遥控车移到第n （219n ）格的情况是下列两种，而且也只有两种. ①遥控车先到第2n -格，又掷出偶数，其概率为
21
2n P - ②遥控车先到第1n -格，又掷出奇数，其概率为
112
n P - 所以2111
22
n n n P P P --=
+，即可证得{}1n n P P --是等比数列， 利用累加法求出数列{}n P 的通项公式，即可求得失败和获胜的概率，从而计算出期望. 【详解】 解：（1）12345
3,5
x ++++=
=
2050100150180
1005
y ++++=
=
5
11202503100415051801920i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑
5
2
222221
1234555,i
i x
==++++=∑
故192053100
42,5559
b -⨯⨯=
=-⨯ 从而10042326,a y bx =-=-⨯=-
所以所求线性回归方程为4226y x =-， 令*
4226300,x x N ->∈，解得8x ≥.
故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人
（2）遥控车开始在第0格为必然事件，01P =，第一次掷骰子出现奇数，遥控车移到第一格，其概率为
12,即112
P =.遥控车移到第n （219n ）格的情况是下列两种，而且也只有两种. ①遥控车先到第2n -格，又掷出奇数，其概率为
21
2n P - ②遥控车先到第1n -格，又掷出偶数，其概率为
112
n P - 所以211122
n n n P P P --=
+，1121
()2n n n n P P P P ---∴-=--
∴当119n 时，数列1{}n n P P --是公比为1
2
-
的等比数列 23121321
11111,(),(),()2222
n
n n P P P P P P P -∴-=--=--=-⋅⋅⋅-=- 以上各式相加，得231111
1()()()()2222
n
n P -=-+-+-+⋅⋅⋅+-=11()1()32n ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦
1211()32n n P +⎡⎤∴=
--⎢⎥⎣⎦
（0,1,2,,19n =⋅⋅⋅）， ∴获胜的概率2019211()32P ⎡⎤
=
--⎢⎥⎣⎦
失败的概率1920181111232P P ⎡⎤=
=+⎢⎥⎣⎦
（）
∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X 元，200X =或500 ∴X 的期望20191921
11
1
5001()2001()1004()32322
EX ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤=⨯-+⨯+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎣
⎦⎣
⎦
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为191
1004()2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
，约400元.
【点睛】
本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，等比数列的证明，等比数列求和公式，累加法求数列的通项公式以及数学期望的计算，属于难题．
（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为sin 14ρπθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，圆C 的圆心是1,4C π⎛⎫
⎪⎝⎭
，半径为1.求：
(1)圆C 的极坐标方程； (2)直线l 被圆C 所截得的弦长．
【答案】(1)20ρθθ--= ；(2)2. 【解析】 【分析】
(1)先将圆心坐标化为直角坐标,求出圆的直角坐标方程,再利用互化公式化为极坐标方程即可;(2)直接利用两角和的正弦公式以及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程,先判断直线过圆心,可得直线被圆C 所截得的弦长等于直径. 【详解】
(1)因为圆C 的圆心是1,
4C π⎛⎫
⎪⎝⎭
，半径为1，
所以圆心的直角坐标为22C ⎛ ⎝⎭
，半径为1，
所以圆C 的方程为22
1x y ⎛⎛+= ⎝⎭⎝⎭，
220x y +-=,
故圆C
的极坐标方程为0ρθθ=. (2) 因为直线l 的极坐标方程为sin 14ρπθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
，
所以122ρθθ⎛⎫+= ⎪
⎪⎝⎭
，即0x y +=，
圆心22C ⎛ ⎝⎭
满足直线l 的方程，
所以直线经过圆心，所以直线被圆C 所截得的弦长等于直径2. 【点睛】
利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222
tan x y y x
ρθ
⎧+=⎪
⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，极坐标问题一
般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 23．选修4-5：不等式选讲 函数()223f x x x =-++
（1）求不等式()25f x x ≥+的解集；
（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c 满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥ 【答案】（1）(,0][4,)-∞⋃+∞（2）证明见解析 【解析】 【分析】
(1)分类去绝对值符号后解不等式，最后取并集；(2)求出函数的最小值k ，根据基本不等式得出结论. 【详解】
（1）①当3x <-时，不等式即为3125x x --≥+，解得6,35
x x ≤-∴<- ②当31x -≤≤时，不等式即为525x x -≥+，030x x ≤∴-≤≤ ③当1x >时，不等式即为3125x x +≥+，44x x ≥∴≥ 综上，()25f x x ≥+的解集为(,0][4,)-∞⋃+∞
（2）由51,3()5,3131,1x x f x x x x x --<-⎧⎪
=--≤≤⎨⎪+>⎩
∴当1x =时，()f x 取最小值4，即4,()4k a b c =∴+=，即4ab ac +=
()()22222222228a b c a b a c ab ac ∴++=+++≥+=
当且仅当a b c ===时等号成立 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题.。